張豐麒 劉俊州 劉蘭鋒 時 磊 韓 磊

(①頁巖油氣富集機(jī)理與有效開發(fā)國家重點實驗室，北京 100083；②中國石化彈性波理論與探測技術(shù)重點實驗室，北京 100083；③中國石化石油勘探開發(fā)研究院，北京 102206)

0 引言

高分辨率地震反演技術(shù)對于預(yù)測薄儲層、薄互層油氣藏具有至關(guān)重要的意義。確定性反演技術(shù)發(fā)展日趨成熟，其代表性方法包括遞推反演、基于模型的反演、稀疏脈沖反演以及有色反演等。雖然確定性反演更忠實于地震資料本身，然而這也決定了反演結(jié)果難以突破地震資料的極限分辨率，方法本身受限于地震資料頻帶。隨機(jī)地震反演結(jié)合隨機(jī)模擬技術(shù)與地震反演理論，可以產(chǎn)生高分辨率反演結(jié)果。Joumel等[1]、Hass等[2]首先提出隨機(jī)地震反演方法。Dubrule[3]利用地震數(shù)據(jù)約束地質(zhì)建模。De-beye等[4]、Sams等[5]將模擬退火和蒙特卡洛—馬爾科夫鏈(MCMC)算法引入隨機(jī)反演，提高了計算效率。Mosegaard等[6]將貝葉斯理念引入地球物理反演問題，修正了MCMC算法系列的Metropolises—Hastings(M-H)算法，提出了更高效的擴(kuò)展M-H算法，該算法只需評估概率轉(zhuǎn)移前、后兩個狀態(tài)的似然函數(shù)值。Hansen等[7]結(jié)合序貫?zāi)M和Gibbs采樣提出了序貫Gibbs采樣，根據(jù)地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)從復(fù)雜先驗分布中抽樣；實驗證明，該方法配合擴(kuò)展M-H算法可快速收斂于目標(biāo)分布，提高了隨機(jī)反演的計算效率。張繁昌等[8]將此隨機(jī)反演思想用于疊后波阻抗反演，并在擴(kuò)展M-H算法中引入退火因子，進(jìn)一步提高了計算效率。張廣智等[9]將經(jīng)典M-H算法用于疊前地震反演，但未考慮子波效應(yīng)，屬于帶限反演。王保麗等[10]引入快速傅里葉變換—滑動平均(FFT—MA)譜模擬與逐步變形算法(GDM)，形成了一種快速疊后隨機(jī)反演算法。劉興業(yè)等[11]聯(lián)合多點地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)反演與序貫高斯模擬隨機(jī)反演巖相與物性參數(shù)。趙晨等[12]聯(lián)合直接序貫協(xié)模擬與擴(kuò)展M-H算法，構(gòu)建了基于全局迭代反演策略的疊前隨機(jī)反演，并進(jìn)一步引入平滑約束和二階差分橫向約束，以提高反演結(jié)果的橫向連續(xù)性。本文在前人的工作[6-8]基礎(chǔ)上，提出了一種更適合實際資料的高分辨率疊后隨機(jī)反演算法。該算法以序貫Gibbs擾動模擬、擴(kuò)展M-H算法為核心，進(jìn)一步引入層序地層網(wǎng)格，自適應(yīng)融入地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)、構(gòu)造以及沉積模式等信息，整個反演過程無需計算地層的局部傾角或進(jìn)行復(fù)雜的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。針對隨機(jī)地震反演結(jié)果的高頻成分仍具有較大的不確定性，造成不同實現(xiàn)展示的儲層特征差異較大，本文結(jié)合序貫Gibbs擾動模擬與同位協(xié)同克里金，通過引入確定性反演結(jié)果的協(xié)同約束，進(jìn)一步限定隨機(jī)反演候選解空間，從而降低隨機(jī)地震反演高頻成分的不確定性。本文首先結(jié)合地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)、貝葉斯原理以及反演理論嚴(yán)謹(jǐn)、詳實地推導(dǎo)了算法；隨后在實際資料試算中，通過對比確定性反演結(jié)果以及隨機(jī)地震反演的四個不同實現(xiàn)，驗證了算法的有效性。

1 層序地層網(wǎng)格

傳統(tǒng)反演技術(shù)通常采用均勻地震網(wǎng)格計算(圖1b)，網(wǎng)格的橫向間距為CDP間距，垂向間距為地震采樣率。本文的隨機(jī)反演基于層序地層網(wǎng)格(圖1a)，網(wǎng)格的橫向間距為CDP間距，但是垂向間距并不等于地震采樣率。

基于構(gòu)造解釋層位和沉積模式建立層序地層網(wǎng)格，通過結(jié)合不同的沉積模式(平行頂、底或平行于頂及平行于底等)在層段中建立層序地層，每個層序地層與CDP間隔線相交便剖分出層序地層網(wǎng)格(圖1a)。利用層序地層網(wǎng)格進(jìn)行隨機(jī)反演，自適應(yīng)融入了地層構(gòu)造和沉積模式信息，因此只需沿著網(wǎng)格的水平方向利用水平變差約束隨機(jī)反演結(jié)果的橫向連續(xù)性；若采用均勻地震網(wǎng)格，則需要進(jìn)一步計算地層的局部傾角或進(jìn)行復(fù)雜的坐標(biāo)變換，從而增加反演算法的難度以及降低計算效率。

圖1 層序地層網(wǎng)格(平行頂、底沉積模式)(a)與均勻地震網(wǎng)格(b)示意圖

2 先驗分布

模型參數(shù)的先驗分布作為貝葉斯反演框架的重要組成部分，具有限定反演解空間以及減少反演過程的不確定性和多解性等作用。在確定性反演中，先驗分布轉(zhuǎn)化為反演目標(biāo)函數(shù)的約束項，可有效改善反演的病態(tài)性和不適定性，根據(jù)先驗分布是否服從“長尾分布”，決定反演結(jié)果是“塊化”還是“光滑”[13]；在隨機(jī)地震反演中，先驗分布還可有效限定解的搜索空間，如果利用先驗分布產(chǎn)生候選解，則能有效加速反演的收斂過程[7]。

通過在先驗分布中引入空間約束改善單道隨機(jī)反演的橫向不連續(xù)性問題。假設(shè)工區(qū)內(nèi)待反演的地震道數(shù)為K，K道波阻抗的聯(lián)合概率服從多變量高斯分布，記為

(1)

式中：m=[1m2m…Km]為由K道波阻抗組成的列向量，每道波阻抗jm=[jm1jm2…jmN](j=1，2，…，K為道號)包含N個元素(N表示層序地層網(wǎng)格采樣點數(shù))，因此m的維數(shù)為K×N；μm為期望，通過分層段統(tǒng)計工區(qū)內(nèi)的測井?dāng)?shù)據(jù)或者建立反演低頻模型得到；Cm為協(xié)方差矩陣，為K×N行、K×N列的對稱矩陣，直接影響反演結(jié)果的垂向分辨率和橫向連續(xù)性。

Cm的對角線元素表示波阻抗的方差，決定了反演結(jié)果的動態(tài)范圍，通過分層段統(tǒng)計測井?dāng)?shù)據(jù)獲?。籆m的非對角線元素表示同一道、不同采樣點，不同道、相同采樣點以及不同道、不同采樣點之間的協(xié)方差。其中同一道、不同采樣點之間的協(xié)方差與垂向變差有關(guān)，通過分層段統(tǒng)計測井?dāng)?shù)據(jù)獲取，決定了反演結(jié)果的垂向分辨率；不同道、相同采樣點之間的協(xié)方差與水平變差有關(guān)，通過統(tǒng)計地震數(shù)據(jù)沿層切片獲取，決定了反演結(jié)果的橫向連續(xù)性；根據(jù)變差函數(shù)的幾何各向異性，計算水平變差和垂向變差得到不同道、不同采樣點之間的協(xié)方差[14]。

3 似然函數(shù)

在貝葉斯反演理論中，利用似然函數(shù)表征合成地震數(shù)據(jù)與實測地震數(shù)據(jù)之間的相似性，進(jìn)而建立反演參數(shù)與地震數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系。

經(jīng)過前期去除相干噪聲(異常噪聲、線性干擾、面波以及多次波等)處理，殘留噪聲僅剩隨機(jī)噪聲，因此利用高斯分布描述疊后地震反演的似然函數(shù)。由于不同采樣點、不同道之間的隨機(jī)噪聲獨立不相干，因此似然函數(shù)l(d|m)為

l(d|m)∝

(2)

由于反演波阻抗基于層序地層網(wǎng)格采樣，地震數(shù)據(jù)基于均勻網(wǎng)格采樣，因此須在G(jm)中引入重采樣矩陣R(附錄A)，將波阻抗在均勻網(wǎng)格重采樣，并結(jié)合近似公式計算反射系數(shù)r

r≈?ln(m)/2

(3)

最后將反射系數(shù)與子波褶積，便得到j(luò)s，則

(4)

式中：W為子波褶積矩陣；D為一階差分矩陣；ln(·)表示對向量中每一個元素取自然對數(shù)；Rj為第j道重采樣矩陣。可見，雖然反演波阻抗基于層序地層網(wǎng)格采樣，但仍在地震網(wǎng)格進(jìn)行褶積正演。

式(2)為無測井?dāng)?shù)據(jù)約束的似然函數(shù)，當(dāng)有Kw口井的測井?dāng)?shù)據(jù)參與約束時，則似然函數(shù)為

l(d,mw|m)∝

(5)

(6)

4 后驗分布的降維分解

根據(jù)貝葉斯定理，整合反演參數(shù)的先驗分布p(m)與似然函數(shù)l(d,mw|m)，可以得到反演參數(shù)的后驗分布

p(m|d,mw)∝p(m)·l(d,mw|m)

(7)

將式(1)與式(5)代入式(7)，得

(8)

實際上，確定性反演結(jié)果等價于反演參數(shù)的最大后驗概率解；隨機(jī)反演結(jié)果則可以看作是對后驗概率分布的一次隨機(jī)抽樣[15]。式(8)表明，后驗分布是復(fù)雜的高維分布，無法采用直接抽樣的方式從后驗分布中獲取一次隨機(jī)反演實現(xiàn)。本文結(jié)合序貫?zāi)M的思想，將后驗分布降維分解

p(m|O)=p(1m|O)p(2m|1m,O)…

p(Km|1m,2m,…,K-1m,O)

(9)

式中O為觀測數(shù)據(jù)的集合，包含地震數(shù)據(jù)和參與約束的測井?dāng)?shù)據(jù)，即O=d∪mw。因此jO代表第j道觀測數(shù)據(jù)，如果第j道是井旁道，則jO=jd∪jmw，反之jO=jd。進(jìn)一步，假設(shè)第j道的反演參數(shù)僅與第j道觀測數(shù)據(jù)相關(guān)，而與第i道(i≠j)觀測數(shù)據(jù)獨立不相關(guān)，則式(9)簡化為

p(m|O)=p(1m|1O)p(2m|1m,2O)…

p(Km|1m,2m,…,K-1m,KO)

(10)

由式(10)可見，對后驗分布p(m|O)的抽樣，可以借助序貫?zāi)M的思想實現(xiàn)，即先對p(1m|1O)抽樣，再將抽樣結(jié)果1m作為條件數(shù)據(jù)，參與對p(2m|1m,2O)的抽樣，得到2m的抽樣結(jié)果，以此類推，直到完成最后一道Km的抽樣[17-21]。

利用序貫?zāi)M的思想，將復(fù)雜的高維(維度為K×N)后驗分布p(m|O)化簡為K個低維(維度為N)后驗分布p(jm|1m,2m,…,j-1m,jO)的乘積。然而p(jm|1m,2m,…,j-1m,jO)仍然不便于直接抽樣。為此，進(jìn)一步結(jié)合貝葉斯定理，將p(jm|1m,2m,…,j-1m,jO)轉(zhuǎn)化為

p(jm|1m,2m,…,j-1m,jO)=

(11)

由于jO為已知，因此p(jO)為一個不影響后驗概率分布形狀的常數(shù)，則

p(jm|1m,2m,…,j-1m,jO)∝

p(jm|1m,2m,…,j-1m)·l(jO|jm)

(12)

式中l(wèi)(jO|jm)為第j道的似然函數(shù)。結(jié)合式(2)和式(5)可知，當(dāng)該道為非井旁道時

l(jO|jm)∝

(13)

當(dāng)該道為井旁道時

(14)

針對式(12)的抽樣，利用序貫Gibbs擾動模擬從先驗分布p(jm|1m,2m,…,j-1m)產(chǎn)生候選解，并配合擴(kuò)展M-H算法進(jìn)行概率轉(zhuǎn)移，通過多次迭代，便可收斂于后驗分布p(jm|1m,2m，…，j-1m,jO)。

5 序貫Gibbs同位協(xié)同擾動模擬與擴(kuò)展M-H概率轉(zhuǎn)移

序貫Gibbs擾動模擬結(jié)合序貫?zāi)M的思想與Gibbs采樣，從復(fù)雜先驗分布中抽樣。該算法配合擴(kuò)展M-H算法形成一種改進(jìn)的MCMC算法，進(jìn)而可以從復(fù)雜的后驗分布中抽樣。Hansen等[7]指出，序貫Gibbs擾動模擬可以從更逼近真實情況的復(fù)雜先驗分布中抽樣，因此反演結(jié)果也更逼近真實解，并且可較大幅度地提高隨機(jī)反演效率。

擴(kuò)展M-H算法由經(jīng)典M-H算法發(fā)展而來，屬于MCMC算法的一個分支。MCMC算法利用建議分布產(chǎn)生候選解，并以一定概率接受候選解，經(jīng)過多次迭代，便可以收斂于目標(biāo)分布[6]。當(dāng)建議分布為后驗分布對應(yīng)的全條件概率分布時，MCMC算法轉(zhuǎn)化為Gibbs采樣；當(dāng)建議分布為均勻分布時，MCMC算法轉(zhuǎn)化為經(jīng)典M-H算法；當(dāng)建議分布為先驗分布對應(yīng)的條件概率分布時，MCMC算法轉(zhuǎn)化為擴(kuò)展M-H算法。

相對于經(jīng)典M-H算法，擴(kuò)展M-H算法的候選解來自先驗分布而非廣泛的均勻分布，因此有效地限定了解空間的搜索范圍，其反演結(jié)果也可以更快速地收斂于真實解[6]。另外，與經(jīng)典M-H算法相比，擴(kuò)展M-H算法在計算轉(zhuǎn)移概率時，無需評估轉(zhuǎn)移前、后兩個狀態(tài)的后驗概率值，只需評估似然函數(shù)值，由于省略了評估先驗分布概率值，因此提高了計算效率。

實際上，隨機(jī)反演的高頻成分(60Hz～Nyquist頻率)僅受變差函數(shù)和測井?dāng)?shù)據(jù)約束，并不受地震數(shù)據(jù)約束。當(dāng)工區(qū)內(nèi)參與約束的測井?dāng)?shù)據(jù)較少時，反演結(jié)果的高頻成分仍然有較大的不確定性，從而造成隨機(jī)反演的不同實現(xiàn)展現(xiàn)的儲層特征差異較大，因此對后續(xù)的儲層精細(xì)預(yù)測帶來一定困擾。為此，本文結(jié)合同位協(xié)同克里金修改式(12)，提出確定性反演協(xié)同約束的隨機(jī)反演算法，利用確定性反演結(jié)果約束隨機(jī)反演的高頻成分。通過在先驗分布中引入確定性反演結(jié)果作為條件數(shù)據(jù)，則式(12)修正為

p(jm|1m,2m,…,j-1m,jO,jξ)∝

p(jm|1m,2m,…,j-1m,jξ)·l(jO|jm)

(15)

式中：jξ為第j道波阻抗確定性反演結(jié)果；p(jm|1m,2m,…,j-1m,jO,jξ)為修正后驗分布；p(jm|1m,2m,…,j-1m,jξ)為修正先驗分布。

式(15)表明，當(dāng)前道的波阻抗隨機(jī)反演結(jié)果不僅與其他道的隨機(jī)反演結(jié)果相關(guān)，還與當(dāng)前道的確定性反演結(jié)果相關(guān)。

由于從先驗分布p(jm|1m,2m,…,j-1m,jξ)抽樣產(chǎn)生候選解，需要結(jié)合序貫Gibbs擾動模擬和同位協(xié)同簡單克里金(序貫Gibbs同位協(xié)同擾動模擬)。以后驗分布p(jm|1m,2m,…,j-1m,jO,jξ)為目標(biāo)分布，結(jié)合序貫Gibbs同位協(xié)同擾動模擬與擴(kuò)展M-H算法構(gòu)建的MCMC算法流程如下。

(2)從第j道N個采樣點中隨機(jī)選擇一點i(i=1,2,…,N)；

(3)利用同位協(xié)同簡單克里金計算第i個采樣點的條件均值和條件方差(附錄B)，進(jìn)而構(gòu)建第i個采樣點的局部條件概率密度函數(shù)p(jmi|jm-i,1mi,2mi,…，j-1mi,jξi)

式中：jξi為第j道的第i個采樣點的波阻抗確定性反演結(jié)果；jmi為第j道的第i個采樣點的波阻抗，其他以此類推；jm-i為第j道的第i個采樣點以外的波阻抗。

(5)計算接受概率

(6)從均勻分布U(0,1)產(chǎn)生一個隨機(jī)數(shù)Б，如果Б≤α，則jm=jmΔ，反之則維持jm不變。

為了降低克里金方程組的維度以提高計算效率，針對jmi的條件數(shù)據(jù)，只選取其他道的第i個采樣點的波阻抗1mi,2mi,…,j-1mi，而忽略其他道的第i個采樣點以外的波阻抗。引入這種近似合乎地質(zhì)認(rèn)識，因為jm基于層序地層網(wǎng)格采樣，同一采樣點處于同一層序地層。由于不同道、同一層序地層之間的波阻抗的相關(guān)性較強(qiáng)，而不同道、不同層序地層之間的波阻抗相關(guān)性較弱，因此可以忽略。在實際地震數(shù)據(jù)反演時，還可以結(jié)合垂向變程和水平變程，進(jìn)一步縮減jmi條件數(shù)據(jù)的有效個數(shù)。

以上為某一道的算法流程。對于整個三維工區(qū)而言，須結(jié)合序貫?zāi)M和改進(jìn)的MCMC算法(圖2)：

圖2 反演流程

(1)從三維工區(qū)中隨機(jī)選擇一道j，結(jié)合水平變程，將當(dāng)前道鄰域內(nèi)已反演道以及當(dāng)前道的確定性反演結(jié)果作為條件數(shù)據(jù)；

(2)利用序貫Gibbs同位協(xié)同擾動模擬與擴(kuò)展

M-H算法對目標(biāo)分布p(jm|1m,2m,…,j-1m,jO,jξ)抽樣，獲取當(dāng)前道的隨機(jī)反演結(jié)果jm；

(3)將jm在地震網(wǎng)格重采樣；

(4)重復(fù)步驟(1)～(3)，直到完成三維工區(qū)所有道的反演。

6 模型試算

利用模型數(shù)據(jù)(圖3)驗證所提隨機(jī)反演算法的效果。由于該模型數(shù)據(jù)為一維數(shù)據(jù)，因此不用考慮橫向變差，只需考慮波阻抗的期望、方差以及垂向變差。通過對時間域波阻抗曲線進(jìn)行10Hz低通濾波獲取波阻抗的期望，在此基礎(chǔ)上計算波阻抗的方差。圖4為垂向?qū)嶒炞儾钆c垂向擬合變差，其中變差函數(shù)模型由0.48倍的指數(shù)模型與0.52倍的高斯模型混合而成，兩個模型的垂向變程均為3ms。

圖3 模型數(shù)據(jù)

圖4 垂向?qū)嶒炞儾?黑點)與垂向擬合變差(紅線)

圖5為反演結(jié)果。由圖可見：①確定性反演結(jié)果與實測曲線整體吻合度較高，但是垂向分辨率較為了更逼近真實情況，圖a選自一段實際測井曲線，經(jīng)過Backus濾波(500Hz)再線性插值，得到圖b(采樣間隔為1ms)；在此基礎(chǔ)上計算法向反射系數(shù)，并與主頻為30Hz的雷克子波褶積，并加入高斯隨機(jī)噪聲得到圖c低，僅為實測曲線的一種近似平滑(圖5a)；②隨機(jī)反演的高頻細(xì)節(jié)與實測數(shù)據(jù)并不完全吻合(圖5b、圖5c)；③基于確定性反演協(xié)同約束的隨機(jī)反演(圖5b)的“灰色條帶”寬度明顯小于常規(guī)隨機(jī)反演(圖5c)，說明前者通過引入確定性反演協(xié)同約束，有效降低了隨機(jī)反演高頻成分的不確定性。造成以上現(xiàn)象的原因為：由于合成記錄中含有隨機(jī)噪聲，且反演中無測井?dāng)?shù)據(jù)約束，合成記錄的帶限特性決定地震數(shù)據(jù)無法約束隨機(jī)反演的高頻成分(高頻成分僅僅來自隨機(jī)模擬的數(shù)學(xué)實現(xiàn))，因此高頻成分具有不確定性。

圖5 反演結(jié)果

為了進(jìn)一步量化隨機(jī)反演的不確定性，提出不確定性指示公式

(16)

式(16)的計算結(jié)果表明，確定性反演協(xié)同約束的隨機(jī)反演的高頻成分不確定性僅為244364.55，遠(yuǎn)小于常規(guī)隨機(jī)反演的434247.63。

7 實際資料試算

實際資料取自中國陸上M區(qū)塊的過A井的地震剖面，目的層巖性主要為碎屑巖，反演時窗從層位T1到T4，共3個層段(圖6)。首先根據(jù)解釋的4個層位構(gòu)建層序地層網(wǎng)格，由于區(qū)內(nèi)沉積相對平穩(wěn)，地層厚度變化不大，因此3個層段的沉積模式均為平行頂、底。

圖6 過A井的地震剖面

A井?dāng)?shù)據(jù)未參與約束，僅用于估算波阻抗的期望、方差和垂向變差。建立波阻抗期望的方法與建立確定性反演低頻模型的方法一致，即對A井的波阻抗曲線沿層位橫向插值并由0～10Hz的低通濾波獲取(圖7)。根據(jù)擬合的高斯分布(圖8)求得T1-T2、T2-T3、T3-T4層段的波阻抗標(biāo)準(zhǔn)差，分別為867225、990082、898831kg·m-2·s-1。利用A井?dāng)?shù)據(jù)統(tǒng)計了T1-T2、T2-T3以及T3-T4層段的波阻抗垂向?qū)嶒炞儾?圖9)，變差函數(shù)模型由0.8倍的指數(shù)型變差函數(shù)與0.2倍的高斯型變差函數(shù)混合而成，得到T1-T2、T2-T3、T3-T4層段的垂向變程，分別為2.5、4.5、5.0ms。通過統(tǒng)計波阻抗確定性反演結(jié)果的層段計算均方根屬性，得到水平實驗變差(圖10)，變差函數(shù)模型與垂向變差一致，得到T1-T2、T2-T3、T3-T4層段的水平變程，分別為1000、1400、800m。

圖7 確定性反演的低頻模型

圖8 T1-T2(左)、T2-T3(中)、T3-T4(右)層段的波阻抗統(tǒng)計直方圖及擬合的高斯分布(紅線)

圖9 T1-T2(上)、T2-T3(中)以及T3-T4(下)層段的波阻抗垂向?qū)嶒炞儾?藍(lán)圈)及垂向擬合變差(紅線)

圖10 T1-T2(上)、T2-T3(中)以及T3-T4(下)層段的波阻抗水平實驗變差(藍(lán)圈)及水平擬合變差(紅線)

圖11為波阻抗確定性反演剖面，可見確定性反演結(jié)果更忠實于地震數(shù)據(jù)本身，其垂向分辨率與地震數(shù)據(jù)基本一致。圖12和圖13分別為隨機(jī)地震反演的實現(xiàn)A和實現(xiàn)B。由圖可見：①與確定性反演結(jié)果(圖11)相比，隨機(jī)地震反演的垂向分辨率更高，在水平變差以及層序地層網(wǎng)格的雙重約束下，橫向連續(xù)且自然，井旁道反演結(jié)果與實測曲線吻合度較高(圖12、圖13)。但是由于隨機(jī)地震反演結(jié)果的高頻成分來自隨機(jī)模擬和變差函數(shù)，當(dāng)參與約束的測井?dāng)?shù)據(jù)較少時，其高頻成分的不確定性較大。②雖然兩次實現(xiàn)地震數(shù)據(jù)參與約束的程度一致，但是兩者的儲層整體特征差異較大(圖12、圖13)，并且與圖11的整體特征也有較大差異。

圖11 波阻抗確定性反演剖面

圖14和圖15分別為確定性反演協(xié)同約束的隨機(jī)地震反演的實現(xiàn)C和實現(xiàn)D。由圖可見：與圖12、圖13之間的差異相比，圖14和圖15的差異相對減??；圖14、圖15的整體特征更接近圖11，但前兩者的垂向分辨率更高。這是由于序貫Gibbs同位協(xié)同擾動模擬是借助同位協(xié)同簡單克里金而非簡單克里金確定隨機(jī)反演的先驗解空間。相比常規(guī)隨機(jī)反演，確定性反演協(xié)同約束的隨機(jī)地震反演的某個采樣點的波阻抗隨機(jī)反演結(jié)果不僅與鄰近采樣點的波阻抗值相關(guān)，還與當(dāng)前采樣點的波阻抗確定性反演結(jié)果相關(guān)，在一定程度上增強(qiáng)了波阻抗隨機(jī)反演結(jié)果與確定性反演結(jié)果之間的相關(guān)性，從而降低隨機(jī)反演結(jié)果高頻成分的不確定性。

圖12 波阻抗隨機(jī)反演實現(xiàn)A

圖13 波阻抗隨機(jī)反演實現(xiàn)B

圖14 確定性反演協(xié)同約束的隨機(jī)地震反演實現(xiàn)C

圖15 確定性反演協(xié)同約束的隨機(jī)地震反演實現(xiàn) D

圖16為隨機(jī)反演四個不同實現(xiàn)的信噪比，可見信噪比值約為10，說明地震數(shù)據(jù)對反演結(jié)果的約束程度基本相同，但這四個實現(xiàn)展現(xiàn)的儲層細(xì)節(jié)存在一定差異，從而驗證了地震反演具有多解性。

圖16 隨機(jī)反演四個不同實現(xiàn)的信噪比

8 結(jié)論

(1)相比確定性反演，隨機(jī)地震反演可以產(chǎn)生高分辨率的反演結(jié)果，其中垂向變差影響隨機(jī)反演的垂向分辨率，橫向變差影響隨機(jī)反演的橫向連續(xù)性。

(2)與均勻地震網(wǎng)格相比，由于層序地層網(wǎng)格融入了構(gòu)造和沉積模式等信息，因此更適合變差函數(shù)橫向約束隨機(jī)反演；借助重采樣矩陣，在層序地層網(wǎng)格進(jìn)行抽樣模擬，在均勻地震網(wǎng)格進(jìn)行褶積正演，整個反演過程既滿足構(gòu)造和沉積模式的約束，同時又符合地球物理原理。

(3)常規(guī)隨機(jī)反演的高頻成分來自隨機(jī)模擬、變差函數(shù)以及約束井?dāng)?shù)據(jù)等。當(dāng)工區(qū)內(nèi)參與約束的測井?dāng)?shù)據(jù)較少時，常規(guī)隨機(jī)反演高頻成分的不確定性較大。通過引入確定性反演的協(xié)同約束，可進(jìn)一步限定候選解的解空間，增強(qiáng)波阻抗隨機(jī)反演結(jié)果與確定性反演結(jié)果的相關(guān)性，進(jìn)而降低隨機(jī)反演高頻成分不確定性。實際數(shù)據(jù)試算表明，通過對比隨機(jī)反演的四個不同實現(xiàn)，驗證了所提算法的有效性。

附錄A 重采樣矩陣

(A-1)

(A-2)

因此，重采樣矩陣為Ns行、N列的稀疏矩陣

(A-3)

附錄B 同位協(xié)同簡單克里金計算克里金估值和克里金方差

同位協(xié)同簡單克里金是同位協(xié)同克里金與簡單克里金的結(jié)合[16]，其克里金權(quán)重由線性方程組

(B-1)

(B-2)

和

(B-3)