李羽辰，姚鳳麒

(安徽工業(yè)大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243032)

眾所周知，經(jīng)典的Lyapunov穩(wěn)定描述了系統(tǒng)在無(wú)窮時(shí)間內(nèi)的漸進(jìn)特征[1]。然而，它只反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，并不能反映系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間、峰值時(shí)間、超調(diào)量等暫態(tài)特性[2]。這在實(shí)際工程中并不適用，如網(wǎng)絡(luò)通信系統(tǒng)、火箭發(fā)射系統(tǒng)、高精度機(jī)械臂等，都需要系統(tǒng)滿足一定的暫態(tài)性能要求[3]。因此，20世紀(jì)60年代就提出了有限時(shí)間穩(wěn)定(FTS)的概念。有限時(shí)間穩(wěn)定性是指當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)在一定范圍內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)在一定時(shí)間間隔內(nèi)不超過(guò)預(yù)定的限度[4-6]。本文結(jié)合實(shí)際，考慮了隨處可見(jiàn)的時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)的影響，并引入了脈沖控制，構(gòu)建了一個(gè)Lyapunov-Krasovskii泛函，得到系統(tǒng)的有限時(shí)間均方穩(wěn)定性能，最后通過(guò)Matlab，驗(yàn)證了結(jié)論的有效性。

符號(hào)說(shuō)明：Rn代表n維歐式空間，N代表非負(fù)整數(shù)集，E[·]為數(shù)學(xué)期望算子，diag{·}代表對(duì)角矩陣，λmax(A)(λmin(A))代表矩陣A的最大(最小)特征值，A>0代表A是正定矩陣，A<0代表A是負(fù)定矩陣，*代表矩陣的對(duì)稱(chēng)項(xiàng)。

1 預(yù)備知識(shí)

考慮具有定時(shí)滯的線性脈沖隨機(jī)系統(tǒng)

(1)

定義1 對(duì)于給定正常數(shù)c1，c2，T，c1

(2)

則稱(chēng)系統(tǒng)(1)關(guān)于(c1,c2,T)有限時(shí)間均方穩(wěn)定。

定義2 給定脈沖序列{tk}(k∈N)，如果存在正數(shù)τa和正整數(shù)N0，滿足

(3)

則該脈沖序列的平均脈沖區(qū)間為τa，N(t,s)代表脈沖序列在時(shí)間(t,s)內(nèi)脈沖發(fā)生的次數(shù)。

引理1 令u:[t0,∞)→R+滿足時(shí)滯微分不等式

若η+ξ>0，可得

u(t)≤Me(η+ξ)(t-t0),t∈[t0,T],

dx(t)=f(t,x(t))dt+g(t,x(t))dω(t)

dV(t,x(t))=LV(t)dt+Vx(t,x)gdω(t)。

(4)

2 有限時(shí)間穩(wěn)定性分析

首先，利用Lyapunov-Krasovskii泛函和李雅普諾夫函數(shù)，結(jié)合時(shí)滯微分不等式，建立了系統(tǒng)(1)在u(t)=0下的有限時(shí)間均方穩(wěn)定的充分條件。

定理1 假設(shè)脈沖序列滿足平均脈沖區(qū)間條件，給定正數(shù)c1,c2,T(0≤c10,Q>0，使得

(5)

FTPF-μP≤0,

(6)

(7)

(8)

式中：λ1=λmax(P),λ2=λmax(P),λ3=λmin(Q),則系統(tǒng)(1)(u(t)≡0)關(guān)于(c1,c2,T)有限時(shí)間均方穩(wěn)定。

證明:選擇Lyapunov-Krasovskii泛函

當(dāng)t≠tk，k∈N時(shí)，系統(tǒng)(1)軌跡上的Kolmogorov算子

dV(t)≤αV(t)dt+2xT(t)P[Dx(t)+Ex(t-h)]dw(t)

(9)

將式(9)在tk到t上積分并在兩邊取期望，可得

(10)

由Gronwall 不等式可得

EV(t)≤eα(t-tk)EV(tk),t∈[tk,tk+1),k=0,1,2,…。

(11)

由條件(6)和μ≥1，可得

進(jìn)一步可得

(12)

令

EV(t)≤μN(yùn)(t,t0)EV(t0)eα(t-t0),t≥t0。

(13)

當(dāng)t∈[t0,t1),N(t,t0)=0時(shí)，由式(13)，可得

EV(t)≤EV(t0)eα(t-t0),t∈[t0,t1),

(14)

當(dāng)t∈[t1,t2),N(t,t0)=1時(shí)，利用式(11)、式(12)可得

(15)

類(lèi)似地，當(dāng)t∈[t2,t3),N(t,t0)=2時(shí)，

(16)

所以，通過(guò)簡(jiǎn)單的歸納法說(shuō)明式(13)成立。因此，結(jié)合平均脈沖區(qū)間以及μ≥1，由式(13)可得

(17)

對(duì)于給定形式的Lyapunov函數(shù)V(t)，有

(18)

所以，系統(tǒng)(1)(u(t)≡0)是關(guān)于(c1,c2,T)有限時(shí)間均方穩(wěn)定的。

3 數(shù)值算例

考慮時(shí)滯脈沖隨機(jī)系統(tǒng)(1)，其系數(shù)矩陣如下：

取N0=3,τa=0.24，假設(shè)脈沖序列滿足假設(shè)，如圖1所示。

圖1 脈沖序列N0=3,τa=0.24

取c1=0.1,c2=10,T=2,h=0.5,μ=1.121 0,α=0.794 1，使用Matlab中的線性矩陣不等式求解定理1中的不等式(5)～不等式(8)，得到t<0說(shuō)明存在可行解，得到

易得矩陣的最大、最小特征值，λ1=102.074 9,λ2=122.594 0,λ3=220.771 4。當(dāng)系統(tǒng)(1)在u(t)=0時(shí)的均方樣本軌跡如圖2所示。由圖2可知，系統(tǒng)(1)在u(t)=0時(shí)是關(guān)于c1,c2,T有限時(shí)間均方穩(wěn)定的，結(jié)論可證。

圖2 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的均方狀態(tài)軌跡

4 結(jié) 語(yǔ)

本文研究了一類(lèi)線性時(shí)滯脈沖隨機(jī)系統(tǒng)的有限時(shí)間均方穩(wěn)定問(wèn)題。利用Lyapunov穩(wěn)定性理論、時(shí)滯微分不等式和平均脈沖區(qū)間方法,利用Matlab中常用的LMI工具箱，建立了有限時(shí)間穩(wěn)定的一些易于驗(yàn)證的充分條件。以本文的方法為基礎(chǔ)，可以繼續(xù)研究具有時(shí)變時(shí)滯的切換系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定、非線性脈沖隨機(jī)系統(tǒng)的有限時(shí)間同步等課題。