余慧杰，張 升

（上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海200093）

金屬橡膠是一種彈性多孔狀的金屬材料，內(nèi)部為金屬絲相互交錯(cuò)勾連形成的空間網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，在承受交變載荷時(shí)，可以耗散大量振動(dòng)能量，起到阻尼減振作用，因此金屬橡膠常作為隔振器的核心元器件。許多學(xué)者對(duì)金屬橡膠建立了各種動(dòng)力學(xué)模型，用各種方法求解了模型并分析了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)隔振性能的影響[1-3]。Yu等[4]用平均法求解了單自由度非線性干摩擦隔振系統(tǒng)，并分析了利用干摩擦隔振器實(shí)現(xiàn)低頻時(shí)的無諧振現(xiàn)象。李玉龍等[5]研究了金屬橡膠隔振器在不同激勵(lì)情況下的參數(shù)變化情況。吳榮平等[6]研究了遲滯干摩擦隔振系統(tǒng)，詳細(xì)分析了非線性剛度，靜摩擦力對(duì)系統(tǒng)的力傳遞率的影響。這些模型主要針對(duì)單層金屬橡膠隔振器，但由于單層金屬橡膠隔振器本身特性的限制，當(dāng)運(yùn)用于某些含有高精度電子元器件的設(shè)備中，其隔振效果并不理想。雙層隔振器有更高效的隔振效果，但雙層金屬橡膠隔振器由于模型復(fù)雜、參數(shù)眾多，在實(shí)際隔振器設(shè)計(jì)中難以取得最優(yōu)效果。趙建學(xué)等[7]研究了阻尼比、質(zhì)量比、剛度比等參數(shù)對(duì)于雙層隔振系統(tǒng)的影響。本文將建立一種包含非線性剛度和干摩擦力的2自由度隔振器模型，并用該模型指導(dǎo)雙層隔振器的設(shè)計(jì)。

1 金屬橡膠隔振器力學(xué)模型

1.1 力學(xué)模型的建立

由金屬橡膠泛函本構(gòu)關(guān)系，隔振器模型中應(yīng)含有三次非線性剛度以及摩擦阻尼力[3]。因此建立如圖1所示的2自由度非線性干摩擦隔振器模型，該模型分為上下兩層。其中kc為三次非線性剛度，F(xiàn)1為干摩擦阻尼，k1、k2為線性剛度，c1、c2線性黏性阻尼，該隔振系統(tǒng)受到簡諧位移激勵(lì)。根據(jù)牛頓第二定理，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行受力分析，并且列出如下微分方程組：

圖1 金屬橡膠隔振器力學(xué)模型

對(duì)于干摩擦阻尼[8]F1，其大小為f1，方向與相對(duì)速度相反，用符號(hào)函數(shù)表示為：

為了計(jì)算方便，引入相對(duì)位移：

為了求解式（1），引入如下參數(shù)：

然后進(jìn)行無量綱化，做如下變換：

對(duì)式（1）進(jìn)行化簡可得：

1.2 力學(xué)模型的近似理論求解

由于微分方程組（3）含有三次非線性剛度以及干摩擦阻尼，為了計(jì)算方便，采用平均法求解該微分方程組。系統(tǒng)受到簡諧位移激勵(lì)，可以設(shè)方程的解為：

其中：A(t1),C(t1),θ1(t1)和θ2(t1)均為時(shí)間t1的慢變函數(shù)，將系統(tǒng)化為自治系統(tǒng)[9]，經(jīng)過平均法理論推導(dǎo)，令A(yù)′=θ′1=C′=θ′2=0，可以求出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解，可得：

再結(jié)合以下條件：

最終可以得到一個(gè)非線性方程組，方程組中含7個(gè)未知量，分別為Ω，A，C，sinθ1，sinθ2，cosθ1，cosθ2。為了得到最終的絕對(duì)位移傳遞函數(shù)，可以假設(shè)頻率比Ω為已知量，編程求出Ω所對(duì)應(yīng)的其他6 個(gè)未知量[11]。由式子（2）可知，將相對(duì)位移轉(zhuǎn)化為絕對(duì)位移，并求出其絕對(duì)位移傳遞率函數(shù)，如下：

對(duì)上式整理可得：

由上面所求出的Ω對(duì)應(yīng)的其他未知量的值，代入（4）中，便可以求出T2關(guān)于Ω的絕對(duì)位移傳遞曲線。

1.3 力學(xué)模型的數(shù)值仿真

通過一個(gè)實(shí)際算例對(duì)上述理論方法進(jìn)行驗(yàn)證，在此算例中，金屬橡膠隔振器力學(xué)模型的相關(guān)參數(shù)分別為α1=0.1，ρ=1，γ=0.1，λ=2，ζ1=0.09，ζ2=0.06。通過上述理論方法，推導(dǎo)求出絕對(duì)位移傳遞率曲線。然后運(yùn)用龍格-庫塔數(shù)值算法，利用數(shù)學(xué)軟件編程求出數(shù)值解，與上述理論方法所求結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，所求結(jié)果如圖2所示。

圖2 隔振器數(shù)值仿真與理論結(jié)果

從圖2 中可以看出兩者基本一致，驗(yàn)證了理論求解的準(zhǔn)確性。

2 金屬橡膠隔振器的設(shè)計(jì)與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 隔振器模型的參數(shù)分析

基于此模型，主要分析非線性剛度以及干摩擦阻尼對(duì)隔振效果的影響，通過改變這兩個(gè)參數(shù)來觀察隔振效果，最終達(dá)到指導(dǎo)隔振器設(shè)計(jì)的目的。

首先分析干摩擦阻尼對(duì)隔振效果的影響，設(shè)定γ=0.1，ρ=1，λ=1.5，ζ1=0.06，ζ2=0.03，α1分別為0、0.2、0.4。從圖3 求解結(jié)果可以看出，隨著干摩擦力的增加，兩個(gè)隔振峰值有明顯的降低，并且第一個(gè)峰值處的非線性也明顯減弱，這說明增大干摩擦力對(duì)隔振器的隔振性能有較好的影響。從圖3中還可以看出當(dāng)干摩擦增大到一定程度時(shí)，第二個(gè)峰值的位置會(huì)往前移，說明干摩擦在一定程度上會(huì)影響系統(tǒng)的固有頻率。

圖3 不同干摩擦下的絕對(duì)位移傳遞率曲線

再分析非線性剛度對(duì)隔振效果的影響。設(shè)定α1=0.1，ρ=1，λ=2，ζ1=0.09，ζ2=0.06，γ分別為0.1、0.2、0.3。從圖4所求結(jié)果中可以看出，隨著非線性剛度的增加，第一個(gè)共振峰值會(huì)明顯增加，同時(shí)共振峰向右彎曲更加明顯。這表明非線性剛度增大不僅會(huì)降低隔振效率，還會(huì)使共振峰處的跳躍現(xiàn)象更加明顯，增加了系統(tǒng)的不穩(wěn)定性。因此在設(shè)計(jì)隔振器時(shí)，應(yīng)盡量減小非線性剛度。

圖4 不同非線性剛度下的絕對(duì)位移傳遞率曲

2.2 隔振器模型的參數(shù)調(diào)整

根據(jù)上述參數(shù)分析可知，增大干摩擦力，減弱非線性剛度可以提高隔振器的隔振效果。通過不斷調(diào)整這兩個(gè)參數(shù)并觀察理論的絕對(duì)位移傳遞曲線可知，設(shè)計(jì)如下參數(shù)的隔振器，能夠較好地滿足實(shí)際需要，其中α1=0.2，ρ=1，γ=0.1，λ=14，ζ1=0.09，ζ2=0.06。所求結(jié)果如圖5所示，從圖中可以看出曲線存在兩個(gè)共振峰值，第一個(gè)峰值位置在15 Hz 附近，峰值大小約為9，第二個(gè)峰值位置在200 Hz 附近，峰值大小約為0.15，并且第一個(gè)峰值有很明顯的非線性現(xiàn)象。從此可以看出，隔振系統(tǒng)對(duì)低于23 Hz的低頻區(qū)域，由于干摩擦阻尼的增大減小了共振峰的峰值，而大于23 Hz 的區(qū)域絕對(duì)位移傳遞率小于1，已經(jīng)完全處于隔振區(qū)域。因此，通過參數(shù)的調(diào)整可以明顯提高隔振系統(tǒng)的隔振效率。

圖5 隔振器絕對(duì)位移傳遞率曲線

2.3 隔振器的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了實(shí)際隔振的需要，設(shè)計(jì)出如圖6 所示的雙層金屬橡膠隔振器。該隔振器由內(nèi)層、中間層以及外層組成；其中內(nèi)層與中間層、中間層與外層都通過金屬橡膠連接，同時(shí)每個(gè)金屬橡膠均使用導(dǎo)桿進(jìn)行限位。該隔振器采用承載式設(shè)計(jì)和對(duì)稱式布局，以避免結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的耦合，主要應(yīng)用于對(duì)隔振要求非常高的精密儀器。

圖6 2自由度金屬橡膠隔振器實(shí)物

根據(jù)金屬橡膠理論設(shè)計(jì)隔振器的相關(guān)參數(shù)[12-13]，使這些參數(shù)大小與上述經(jīng)過調(diào)整優(yōu)化后的參數(shù)保持一致。其中m1=1.96 kg，m2=0.1 kg，k1=17.4 KN/m，k2=17.43 KN/m，kc=1.74×109N/m3，c1=33 N·s/m，c2=15.8 N·s/m，f1=3.47 N，u0=1 mm。將隔振對(duì)象晶體振蕩器安裝到隔振器上面，晶體振蕩器直接與隔振器內(nèi)層剛性連接，隔振器外層通過夾具與振動(dòng)臺(tái)相連。對(duì)此隔振系統(tǒng)進(jìn)行掃頻實(shí)驗(yàn)，得到了如圖7所示結(jié)果。

圖7 掃頻實(shí)驗(yàn)結(jié)果

從圖7可以看出，第一個(gè)共振峰出現(xiàn)在14 Hz左右，此時(shí)峰值處的響應(yīng)放大倍數(shù)約為10。第二個(gè)共振峰出現(xiàn)在200 Hz左右，此時(shí)的響應(yīng)放大倍數(shù)約為0.14。并且從圖7 中可以看出隔振器的隔振頻率較低，整體隔振效果較好，同時(shí)也證明了上述參數(shù)優(yōu)化的可靠性。

對(duì)比上述理論求解可知，其傳遞率的共振峰位置以及共振峰的大小基本一致。但是由于實(shí)際設(shè)計(jì)過程中，金屬橡膠隔振器的參數(shù)可能存在一些偏差，此外實(shí)驗(yàn)夾具以及傳感器的質(zhì)量均會(huì)影響到隔振系統(tǒng)的整體剛度，因此，理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果會(huì)存在一些偏差。不過從實(shí)驗(yàn)與理論的對(duì)比來看，曲線的峰值大小和共振點(diǎn)的位置基本一致，因此實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步驗(yàn)證了平均法求解的正確性。

3 結(jié)語

本文建立雙層金屬橡膠隔振器的力學(xué)模型并利用平均法求解得到絕對(duì)位移傳遞率，分析了干摩擦阻尼以及非線性剛度對(duì)絕對(duì)位移傳遞率的影響，并設(shè)計(jì)出雙層隔振器來驗(yàn)證理論分析結(jié)果。得到了如下結(jié)論：

（1）采用干摩擦阻尼和非線性剛度能夠較為準(zhǔn)確地描述金屬橡膠隔振器。

（2）干摩擦阻尼增大能夠極大降低振動(dòng)幅值，而非線性剛度的增加對(duì)隔振效果有不利的影響，在設(shè)計(jì)隔振器時(shí)應(yīng)增大干摩擦阻尼，減小非線性剛度。

（3）設(shè)計(jì)的雙層隔振系統(tǒng)共振峰值為10，并且在23 Hz 以后能夠達(dá)到較好的隔振效果，對(duì)于電子設(shè)備的隔振具有一定的實(shí)際意義。