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        千秋各異 殊途同歸
        ——十種方法解析一道三角函數(shù)中的“給值求值”問(wèn)題

        2021-10-21 00:25:52盧會(huì)玉
        數(shù)理化解題研究 2021年28期
        關(guān)鍵詞:解題利用方法

        盧會(huì)玉

        (甘肅省嘉峪關(guān)市第一中學(xué) 735100)

        不論是教師的教學(xué)還是學(xué)生的學(xué)習(xí),如果遇到一個(gè)題目只是就題論題的用一種方法解決問(wèn)題,這無(wú)疑就沒(méi)有利用好題目的價(jià)值.相反地,如果對(duì)一些有價(jià)值的好題進(jìn)行多角度的分析與挖掘,就會(huì)打開(kāi)一扇思維的窗戶,對(duì)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是大有裨益的.

        三角函數(shù)是高考中每年必考的內(nèi)容,而其中“給值求值”問(wèn)題更是屢見(jiàn)不鮮.本文將對(duì)一道三角中的“給值求值”問(wèn)題進(jìn)行十種角度的分析,以下便是筆者的分享.

        很明顯本題主要考查弦化切的技巧,難度并不大.但是可以用多種方法切入,是可以鍛煉學(xué)生邏輯思維能力,提高解題能力,夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)的好題.

        解法1 (利用秒殺法解題)

        解法2 (利用數(shù)形結(jié)合法解題)

        很明顯點(diǎn)(cosα,sinα)在單位圓x2+y2=1上.

        解法3(利用方程思想解題)

        本方法雖然略顯笨拙,但是對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是最容易想到的,畢竟sin2α+cos2α=1是常識(shí)性的知識(shí),可以信手拈來(lái).

        解法4 (利用化單名稱解題)

        本方法也是學(xué)生容易想到的,算是一個(gè)好方法.

        解法5 (利用平方化簡(jiǎn)解題)

        形如sinα+cosα=m的式子都比較適合先平方再化簡(jiǎn)的辦法解題,是學(xué)生容易想到的.

        解法6(利用1的代換解題)

        sin2α+2sinαcosα+cos2α=2,

        則sin2α+2sinαcosα+cos2α=2(sin2α+cos2α),

        所以sin2α-2sinαcosα+cos2α=0,

        即(sinα-cosα)2=0,

        所以sinα=cosα,所以tanα=1.

        1的代換法是利用1=sin2α+cos2α消除常數(shù)項(xiàng)的方法,也是三角求值問(wèn)題中使用率很高的方法.

        解法7 (利用弦化切解題)

        平方可得sin2α+2sinαcosα+cos2α=2,

        則sin2α+2sinαcosα+cos2α=2(sin2α+cos2α),

        所以sin2α-2sinαcosα+cos2α=0,

        兩邊同時(shí)除以cos2α,得到tan2α-2tanα+1=0,解得tanα=1.

        弦化切法非常適合于直接求正切的題目,只要保證齊次即可.

        解法8 (構(gòu)造等差數(shù)列解題)

        再利用sin2α+cos2α=1,

        本方法對(duì)學(xué)生要求較高,可以幫助學(xué)生打開(kāi)思維.

        解法9 (柯西不等式法解題)

        由柯西不等式可得

        (sin2α+cos2α)(12+12)≥(sinα+cosα)2,

        柯西不等式對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)較難,是一個(gè)不太容易想到的方法,尤其是等號(hào)成立的條件可能會(huì)使得部分學(xué)生望而卻步.

        解法10 (利用向量法解題)因?yàn)閨a·b|≤|a||b|,

        所以由題可構(gòu)造向量a=(sinα,cosα),b=(1,1),

        平方得(sin2α+cos2α)(12+12)≥(sinα+cosα)2,接下來(lái)的步驟和柯西不等式法基本一致,這里不再贅述.

        以上十種方法,有解決此類問(wèn)題的通法,也有針對(duì)性很強(qiáng)的特殊方法,可從中很明顯的看出解法之間是繁簡(jiǎn)有別的.所以,平時(shí)一定要注重方法的積累,要學(xué)會(huì)觀察,學(xué)會(huì)具體問(wèn)題具體分析,既要掌握通性通法,又要有對(duì)付特殊問(wèn)題的絕招,這樣才能快速找到解決問(wèn)題的最優(yōu)解.

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