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        四種策略解三角形最值問題

        2021-10-21 00:26:24陳映森劉延霞
        數(shù)理化解題研究 2021年28期
        關(guān)鍵詞:關(guān)系式動點最值

        陳映森 劉延霞

        (1.云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 650500;2.贛南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院 341603)

        一、題根研究

        (1)求角B的大小;

        (2)解法1基本不等式法,將所求用“邊”表示

        解法2三角函數(shù)的有界性法,將所求用“角”表示

        點評在解三角形的題型時常常要用到“化角為邊”或者“化邊為角”,此題通過三角形的正弦定理將邊關(guān)系用角的關(guān)系表示,再通過三角函數(shù)的有界性去求解最值問題.

        解法3幾何法,利用動點的幾何性質(zhì)求解

        圖1

        點評通過數(shù)形結(jié)合和幾何性質(zhì),將解三角形面積的最值問題,等價為圓上動點問題,進而得出結(jié)論.

        解法4三角換元法,利用換元代替求解

        點評此方法類似三角函數(shù)的有界性,但是思想與解法二有所不同,最終運算方法相同,解法2應(yīng)用的正弦定理,而解法4是通過構(gòu)造參數(shù)方程的方法求解,主要思想是換元.

        二、變式訓(xùn)練

        點評通過余弦定理,利用(a+c)2-2ac=a2+c2,構(gòu)造出a+c的式子,利用基本不等式再將ac轉(zhuǎn)化為只含有a+c的關(guān)系式子.

        點評此題的解題思想是將邊的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為只含有角的關(guān)系式,利用三角函數(shù)的有界性即可.

        解法3 延長BC到點A′,使得A′B=AB=c連接A′A,轉(zhuǎn)化成求求A′C的最大值.

        圖2

        點評幾何法是歸到動點問題,無論面積還是周長,都可以通過數(shù)形結(jié)合的方法構(gòu)造出運動軌跡,從而進行求解.

        三、解后反思

        總之,解三角形最值問題的這四種策略,有相似之處,也有它們不同的地方.面對變化多端的題型,我們需要從不同的角度挖掘,理解題目的本質(zhì),考查的知識點是哪些,思考這個問題后再選擇合適的方法去解題.相對來說,學(xué)生可以根據(jù)自身對知識點的掌握程度合理地去選擇方法.

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