高文萍,唐應(yīng)輝,唐蓓蕾

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,四川成都610068)

1.引言

在有控制策略和服務(wù)員休假的排隊(duì)系統(tǒng)研究中,經(jīng)典的一維控制策略有N-策略、T-策略與D-策略等[1?3],典型的服務(wù)員的休假規(guī)則有單重休假、多重休假與多級(jí)適應(yīng)性休假等[4?5].之后,根據(jù)實(shí)際背景和應(yīng)用需要,許多關(guān)于N-策略、D-策略、T-策略,以及上述這些經(jīng)典控制策略和服務(wù)員休假相結(jié)合的推廣研究成果陸續(xù)出現(xiàn)[6?17].例如文[6]把N-策略與“延遲休結(jié)合起來(lái),提出建立了“延遲N-策略M/G/1排隊(duì)模型”,文[11]根據(jù)實(shí)際背景,提出建立了“帶啟動(dòng)時(shí)間的N-策略M/G/1排隊(duì)模型”等.目前,在具有Min(N,V)-策略、Min(N,D)-策略、Min(D,V)-策略以及Min(N,D,V)-策略的排隊(duì)模型研究中[15?16,22?26],從控制策略方面講,都是一維控制策略與服務(wù)員休假機(jī)制結(jié)合,或是兩個(gè)方面的一維控制策略的組合,但是從雙閥值(雙水平)或多閾值(多水平)的角度,在具有雙閥值(雙水平)或多閾值(雙水平)控制策略下的推廣研究要少得多.文[18-20]在N-策略的基礎(chǔ)上提出了一個(gè)雙閥值(m,N)-控制策略,即當(dāng)系統(tǒng)變空時(shí),服務(wù)員就立刻關(guān)閉系統(tǒng)直到系統(tǒng)中有m(m ≥1)個(gè)顧客就啟動(dòng)系統(tǒng),而且啟動(dòng)系統(tǒng)需要一定的時(shí)間.如果在啟動(dòng)時(shí)間完成后系統(tǒng)中的顧客數(shù)沒(méi)有達(dá)到N(N ≥m)個(gè),則服務(wù)員就待在系統(tǒng)中直到有N個(gè)顧客到達(dá)才開(kāi)始服務(wù),如果在啟動(dòng)時(shí)間完成后系統(tǒng)中的顧客數(shù)大于等于N個(gè),則服務(wù)員立即為顧客服務(wù)直到系統(tǒng)變空又關(guān)閉系統(tǒng).文[21]把這種雙閥值(m,N)-控制策略推廣到了離散時(shí)間排隊(duì)模型研究中.但是,到目前為止,我們還未見(jiàn)有文獻(xiàn)把這樣的雙閥值(m,N)-控制策略與服務(wù)員的休假機(jī)制結(jié)合起來(lái),而且目前在有策略控制和服務(wù)員休假機(jī)制的排隊(duì)系統(tǒng)研究中[5,16,21?26],作者大都假定服務(wù)員的休假可根據(jù)系統(tǒng)所采取的控制策略可以中斷休假.事實(shí)上,在實(shí)際中情況并非完全如此,例如在服務(wù)員所從事的輔助工作不能立即中斷的情況下,只有等待服務(wù)員完成輔助性工作后才能回到系統(tǒng)為顧客服務(wù),因此,文[27]就把N-策略與服務(wù)員的延遲單重休假結(jié)合,提出了“休假不中斷的N-策略和延遲單重休假的M/G/1排隊(duì)模型”.本文將“延遲休假”、“雙閥值控制策略”、“服務(wù)員單重休假且休假不中斷”結(jié)合起來(lái),提出建立一類具有雙閥值(雙水平)控制策略和延遲單重休假且休假不中斷的M/G/1排隊(duì)系統(tǒng),不僅模型更廣泛、更復(fù)雜,而且更有現(xiàn)實(shí)意義和研究?jī)r(jià)值.使用全概率分解技術(shù)和拉普拉斯變換等數(shù)學(xué)工具,在任意初始狀態(tài)下我們討論了系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性質(zhì),得到了隊(duì)長(zhǎng)瞬態(tài)分布關(guān)于時(shí)間t的拉普拉斯變換的表達(dá)式,然后通過(guò)直接計(jì)算獲得了穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)分布的遞推表達(dá)式,以及穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)分布的概率母函數(shù)和平均隊(duì)長(zhǎng)的顯示表達(dá)式.本文提出的系統(tǒng)模型描述如下：

在系統(tǒng)中,顧客的相繼到達(dá)是相互獨(dú)立的,相繼到達(dá)的間隔時(shí)間τ有分布F(t)= 1?e?λt,對(duì)每個(gè)顧客的服務(wù)也是相互獨(dú)立的,且每個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間χ有任意分布G(t),平均服務(wù)時(shí)間設(shè)為1/μ(0<μ<∞).進(jìn)一步假設(shè)：

1)服務(wù)員的休假機(jī)制是延遲單重休假且休假不中斷,即每當(dāng)系統(tǒng)變空時(shí),服務(wù)員不是馬上去休假,而是進(jìn)行一段隨機(jī)時(shí)間C的“休假準(zhǔn)備”,這段時(shí)間稱為“延遲休假時(shí)間”.如果有顧客在延遲休假時(shí)間C內(nèi)到達(dá),那服務(wù)員就停止“休假準(zhǔn)備”而立即為顧客服務(wù)又直到系統(tǒng)再次變空而重新做“休假準(zhǔn)備”;如果沒(méi)有顧客在延遲休假時(shí)間C內(nèi)到達(dá),那服務(wù)員在“休假準(zhǔn)備”結(jié)束后就去進(jìn)行一次隨機(jī)時(shí)間長(zhǎng)度為V的休假(或去做輔助性的其他工作),直到本次休假結(jié)束再回到系統(tǒng)(休假不中斷),休假時(shí)間V是任意分布V(t).

2)系統(tǒng)的啟動(dòng)閾值為1,即當(dāng)服務(wù)員從休假歸來(lái)時(shí),若系統(tǒng)中已有顧客等待,服務(wù)員就立即啟動(dòng)系統(tǒng),若服務(wù)員休假歸來(lái)系統(tǒng)中沒(méi)有顧客等待,則服務(wù)員待在系統(tǒng)中直到有一個(gè)顧客到達(dá)時(shí)才啟動(dòng)系統(tǒng).系統(tǒng)的啟動(dòng)需要一段隨機(jī)時(shí)間Y的啟動(dòng)時(shí)間(例如服務(wù)員做服務(wù)準(zhǔn)備所需的準(zhǔn)備時(shí)間等),且啟動(dòng)時(shí)間Y服從任意分布Y(t).

3)服務(wù)員開(kāi)始服務(wù)的閥值為N(N ≥1),即在系統(tǒng)啟動(dòng)完成后,若系統(tǒng)中顧客數(shù)大于等于N(N ≥1),則服務(wù)員立即為在場(chǎng)的顧客服務(wù)直到系統(tǒng)再次變空,若系統(tǒng)中顧客數(shù)小于N,則服務(wù)員待在系統(tǒng)中直到累計(jì)有N個(gè)顧客時(shí)立即開(kāi)始服務(wù)直到系統(tǒng)再次變空.

另外,假定到達(dá)間隔時(shí)間τ、服務(wù)時(shí)間χ、延遲關(guān)閉時(shí)間C、休假時(shí)間V、啟動(dòng)時(shí)間Y是相互獨(dú)立的,而且在t=0時(shí)刻,如果系統(tǒng)是空的,則系統(tǒng)不采取該控制策略,服務(wù)員也不休假,留在系統(tǒng)中等待第一個(gè)顧客到達(dá)后馬上服務(wù)(這樣的假設(shè)更符合實(shí)際背景).

2.一些準(zhǔn)備

3.隊(duì)長(zhǎng)的瞬態(tài)分布

圖3.1.

情形2 延遲期里沒(méi)有顧客到達(dá),在假期V中到達(dá)k(1≤k

圖3.2.

情形3 延遲期里沒(méi)有顧客到達(dá),在假期V中到達(dá)k(≥N)個(gè)顧客,則服務(wù)員結(jié)束休假回到系統(tǒng)后就立即啟動(dòng)系統(tǒng),此時(shí)在系統(tǒng)的啟動(dòng)時(shí)間里任意到達(dá)n個(gè)顧客,服務(wù)員在系統(tǒng)啟動(dòng)完成后立即為顧客服務(wù)(此情形類似于圖3.1).

于是(3.5)式中第一項(xiàng)為

(3.5)式中第二項(xiàng)表示延遲期和假期中都沒(méi)有顧客到達(dá),時(shí)刻t處于第二個(gè)系統(tǒng)閑期之后且隊(duì)長(zhǎng)為零”的概率,又可分解為如下2種情形:

情形1 在延遲期和假期V中都沒(méi)有顧客到達(dá),則服務(wù)員結(jié)束休假回到系統(tǒng)后需等待,直到系統(tǒng)中到達(dá)1個(gè)顧客時(shí)就立即啟動(dòng)系統(tǒng),且在啟動(dòng)時(shí)間里到達(dá)n(≥N ?1)個(gè)顧客,此時(shí)服務(wù)員在系統(tǒng)啟動(dòng)完成后就立即為顧客服務(wù)(見(jiàn)圖3.3).

圖3.3.

情形2 在延遲期和假期V中都沒(méi)有顧客到達(dá),則服務(wù)員結(jié)束休假回到系統(tǒng)后需等待,直到系統(tǒng)中到達(dá)1個(gè)顧客時(shí)就立即啟動(dòng)系統(tǒng),且在啟動(dòng)時(shí)間里到達(dá)n(0≤n

圖3.4.

圖3.5.

圖3.6.

情形3 時(shí)刻t處于啟動(dòng)期之后的一段服務(wù)員等待期且隊(duì)長(zhǎng)為j(見(jiàn)圖3.7和圖3.8)；

圖3.7.

圖3.8.

情形4 時(shí)刻t處于啟動(dòng)期之后的服務(wù)員忙期,此時(shí)類似于(3.5)式的討論.

于是(3.16)式中的第三項(xiàng)為

4.隊(duì)長(zhǎng)的穩(wěn)態(tài)分布與隨機(jī)分解結(jié)構(gòu)