安翔,郭精軍

(蘭州財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅蘭州730020)

1.引言

隨著金融市場(chǎng)的快速發(fā)展,期權(quán)作為一種金融衍生品應(yīng)運(yùn)而生,因其具有規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)與投資保值的功能,受到了許多投資者的青睞.回望期權(quán)[1]是一種強(qiáng)路徑依賴期權(quán),即期權(quán)的收益不僅依賴于到期日當(dāng)天標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格,而且依賴于整個(gè)有效期(稱為回望期)內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化幅度.該期權(quán)給予持有者“低買(mǎi)高賣(mài)”的權(quán)利,這是期權(quán)持有者夢(mèng)寐以求的情形,他可以選取回望期內(nèi)最低(高)的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格,買(mǎi)入(賣(mài)出)標(biāo)的資產(chǎn).由于持有者始終處于最有利的位置,這保證了他可以得到較高的收益,從而回望期權(quán)的價(jià)格也十分昂貴.因此,回望期權(quán)的定價(jià)一直是期權(quán)定價(jià)中的熱點(diǎn)話題之一.

近年來(lái),金融機(jī)構(gòu)為了滿足不同市場(chǎng)的各種需求,衍生出了許多新型期權(quán),美式回望期權(quán)就是其中一種.該期權(quán)是一種具有回望特征的美式期權(quán),相對(duì)于傳統(tǒng)的美式期權(quán),其收益更高.眾所周知,美式期權(quán)的定價(jià)是一個(gè)非線性問(wèn)題,除了永久美式期權(quán),一般不存在閉式解.因此,美式回望期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題常用數(shù)值方法求其近似解[2?3].為了更好地研究美式回望期權(quán),DAI[4]提出了永久美式回望期權(quán),其收益與時(shí)間無(wú)關(guān),只依賴于回望期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的最值;并給出了該期權(quán)價(jià)格的閉式解與最優(yōu)實(shí)施邊界,這可作為研究美式回望期權(quán)的一個(gè)基本框架,用于對(duì)美式回望期權(quán)的價(jià)格進(jìn)行近似計(jì)算.除此之外,永久型期權(quán)還可以應(yīng)用于各種金融問(wèn)題,譬如與實(shí)物期權(quán)相關(guān)的最優(yōu)投資時(shí)機(jī)問(wèn)題[5].因此,對(duì)于永久美式回望期權(quán)的研究具有一定的現(xiàn)實(shí)意義.

然而,上述的研究都是在經(jīng)典的Black-Scholes模型(以下簡(jiǎn)稱B-S模型)下進(jìn)行的,即都假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格變化服從幾何布朗運(yùn)動(dòng).但是,對(duì)于金融市場(chǎng)的大量實(shí)證研究表明:金融資產(chǎn)對(duì)數(shù)收益率的分布呈“尖峰厚尾”狀,并不服從正態(tài)分布,而且金融資產(chǎn)的價(jià)格變化具有長(zhǎng)相依、自相似等分形特征,幾何布朗運(yùn)動(dòng)無(wú)法刻畫(huà)這些特征.因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)能夠較好地刻畫(huà)這些分形特征[6],所以為了改進(jìn)經(jīng)典的B-S模型,有學(xué)者用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)B-S模型的隨機(jī)部分[7?8].

但是,分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)不是半鞅,直接將其應(yīng)用于金融模型中會(huì)產(chǎn)生套利機(jī)會(huì).為了刻畫(huà)長(zhǎng)相依、自相似等特征,并消除套利機(jī)會(huì),一些學(xué)者提出用混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)或混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)代替分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng).目前,基于混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)研究期權(quán)定價(jià)的文獻(xiàn)較多.[9?11]與混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)相比,混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)不僅具有長(zhǎng)相依、自相似等特征,而且還具有非平穩(wěn)的二階矩增量,從而混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)能更好地刻畫(huà)金融資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng).Charles等[12]證明了Hurst指數(shù)H ∈[0.75,1)時(shí),混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)具有長(zhǎng)相依、自相似等特征,并且是一個(gè)半鞅,此時(shí),由混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的金融市場(chǎng)是完備的.郭精軍等[13]基于混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng),給出了永久美式期權(quán)的定價(jià)公式及其最優(yōu)實(shí)施邊界.

為了更好地刻畫(huà)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化趨勢(shì),本文對(duì)文[4]中的模型進(jìn)行改進(jìn).在考慮標(biāo)的資產(chǎn)帶紅利的基礎(chǔ)上,結(jié)合混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng),建立了混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下帶紅利的永久美式回望期權(quán)的定價(jià)模型,得到了該期權(quán)的定價(jià)公式和最優(yōu)實(shí)施邊界.行文安排如下:第2部分介紹相關(guān)的預(yù)備知識(shí);第3部分建立定價(jià)模型;第4部分給出該期權(quán)價(jià)格的閉式解與最優(yōu)實(shí)施邊界;第5部分為數(shù)值實(shí)驗(yàn);第6部分為結(jié)論.

2.預(yù)備知識(shí)

3.定價(jià)模型

Ⅰ 模型假設(shè)

假設(shè)金融市場(chǎng)中存在兩種可自由連續(xù)交易的資產(chǎn):無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)Bt(如債券)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)St(如股票),并滿足以下條件:

1)市場(chǎng)是無(wú)摩擦的,即交易費(fèi)用為零,無(wú)稅收;

4.模型求解

zη是方程λ2(1?λ1)z2θ+1+λ1λ2z2θ ?λ1(1?λ2)z ?λ1λ2=0在(0,1)內(nèi)的唯一解.

證明過(guò)程與定理4.1類似.

5.數(shù)值實(shí)驗(yàn)

以永久美式回望看跌期權(quán)為例,根據(jù)定理4.1,運(yùn)用R語(yǔ)言與MATLAB軟件,進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn).首先,考察x與y等比例變化時(shí),對(duì)定價(jià)結(jié)果的影響.為此,將部分參數(shù)設(shè)為

r=0.5,q=0.05,H=0.75,σ1=0.2,σ2=0.3,t=1.5,

取標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格x= 5,標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的最大值y=6,將x與y等比例放大,運(yùn)用R語(yǔ)言作出V(x,y)的散點(diǎn)圖,如圖5.1所示.

圖5.1 永久美式回望看跌期權(quán)價(jià)格的線性等比例放縮性質(zhì)

由圖5.1可以看出當(dāng)x與y等比例變大時(shí),永久美式回望看跌期權(quán)價(jià)格V以相同的比例變大.這表明在混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下,永久美式回望看跌期權(quán)的價(jià)格V具有線性等比例放縮性質(zhì)[14],即對(duì)于任意的非負(fù)常數(shù)a,有

V(ax,ay)=aV(x,y).

這種變化趨勢(shì)符合實(shí)際情況,從而說(shuō)明了該定價(jià)公式的正確性.

然后,考察Hurst指數(shù)對(duì)永久美式回望看跌期權(quán)價(jià)格的影響.為此,固定y= 6,取標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格x ∈[5.75,6),Hurst指數(shù)H ∈[0.75,1),其余參數(shù)保持不變.運(yùn)用MATLAB軟件作圖,如圖5.2所示.

圖5.2 永久美式回望看跌期權(quán)價(jià)格隨Hurst指數(shù)變化圖

圖5.2描述了當(dāng)Hurst指數(shù)H ∈[0.75,1)時(shí),永久美式回望看跌期權(quán)的價(jià)格V隨著Hurst指數(shù)的變化情況.該圖表明,在混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下,隨著Hurst指數(shù)的增大,永久美式回望看跌期權(quán)的價(jià)格V不斷減小.這種變化趨勢(shì)符合實(shí)際情況,因?yàn)楫?dāng)Hurst指數(shù)增加時(shí),標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的路徑會(huì)更光滑,即價(jià)格波動(dòng)變小,此時(shí),期權(quán)帶來(lái)的回報(bào)就會(huì)降低,從而導(dǎo)致期權(quán)價(jià)格下降.

最后,在波動(dòng)率σ1與σ2取不同值的情況下,考察標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格增加時(shí),永久美式回望看跌期權(quán)的價(jià)格變化情況.為此,固定y= 6,令x ∈[5,6),分別取σ1= 0.20,σ2= 0.30;σ1= 0.25,σ2= 0.35;σ1= 0.30,σ2= 0.40;σ1= 0.35,σ2= 0.45;σ1= 0.40,σ2= 0.50.其余參數(shù)不變,運(yùn)用MATLAB作圖,如圖5.3所示.

圖5.3 永久美式回望看跌期權(quán)價(jià)格隨波動(dòng)率的變化曲線

另外,表5.1列出了當(dāng)x=5時(shí),不同波動(dòng)率下期權(quán)價(jià)格的具體值.

表5.1 不同波動(dòng)率下永久美式回望看跌期權(quán)的價(jià)格

由表5.1與圖5.3可以看出,當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格增加時(shí),永久美式回望看跌期權(quán)的價(jià)格V越來(lái)越大;同時(shí),隨著波動(dòng)率的增大,該期權(quán)的價(jià)格V不斷增大,與實(shí)際情況相同.

6.結(jié)論

本文在混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下,考慮標(biāo)的資產(chǎn)帶紅利的情形,給出了永久美式回望期權(quán)的定價(jià)公式與最優(yōu)實(shí)施邊界.運(yùn)用R語(yǔ)言、MATLAB等軟件進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn),說(shuō)明了該定價(jià)公式具有回望期權(quán)價(jià)格的線性等比例放縮性質(zhì),并且Hurst指數(shù)與波動(dòng)率等對(duì)期權(quán)價(jià)值有顯著影響.