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        如何利用法向量確定二面角是銳角還是鈍角
        ——從一道題目談起

        2021-10-20 09:21:30徐加華李霞和法文
        數(shù)理化解題研究 2021年28期

        徐加華 李霞 和法文

        (山東省新泰市第一中學(xué) 271200)

        一、前言

        我們知道,二面角的平面角與兩個平面的法向量的夾角相等或互補(bǔ).那么到底什么情況下相等,什么情況下互補(bǔ)呢?2020年5月投入使用的普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊也沒有給出相應(yīng)的判斷方法,而是采用將問題改成求平面的夾角來回避這個問題.

        二、引例解析

        我們先看摘自薛金星老師主編的《解透教材·高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(RJ·A)》第85頁上的一道題目:如圖1在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥BC,E是棱PC的中點(diǎn).∠DAB=90°,AB∥CD,AD=CD=2AB=2.

        圖1

        (1)求證:平面PA⊥平面ABCD.

        (2)若二面角E-BD-P大于60°,求四棱錐P-ABCD體積的取值范圍.

        我們先看資料給出的答案:

        (1)證明 ∵∠DAB=90°,∴AB⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,∴AB⊥平面PAD,∴AB⊥PA.∵PA⊥BC,AB∩BC=B,∴PA⊥平面ABCD.

        (2)解如圖2,以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AP所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.

        圖2

        1.基本常識

        圖3

        2.基本結(jié)論

        3.結(jié)論證明

        已知m,n分別是平面α,β的法向量,設(shè)M,N分別是平面α,β內(nèi)的點(diǎn),且兩點(diǎn)都不在平面α與β的交線l上,二面角α-l-β的大小為θ,為向量m與n的夾角.

        圖4

        圖5

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