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        探析“廣義”彈性碰撞中“一動一靜”模型兩組解的取舍問題

        2021-10-20 09:21:32李紅紅郭金珂
        數(shù)理化解題研究 2021年28期
        關(guān)鍵詞:模型

        李紅紅 郭金珂

        (1.河北省邯鄲市第四中學(xué) 056107;2.河北省邯鄲市第二中學(xué) 056107)

        碰撞是動量守恒定律中非常重要的過程模型之一,因其所反映出來的物理過程、狀態(tài)變化及能量關(guān)系,能夠全方位地考查學(xué)生的理解能力、信息加工能力、模型建構(gòu)能力、邏輯推理能力及分析綜合能力,從而培養(yǎng)學(xué)生“運(yùn)用守恒思想、模型方法分析、解決物理實(shí)際問題的能力等”相關(guān)的物理學(xué)科核心素養(yǎng).因此碰撞問題成為歷年高考試題命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn),自然也就成為高考復(fù)習(xí)備考的重點(diǎn)和難點(diǎn).

        一、狹義碰撞與廣義碰撞

        1. 狹義碰撞

        狹義碰撞就是指兩個(gè)運(yùn)動的物體相遇而接觸,在極短的時(shí)間內(nèi),相互作用的這兩個(gè)物體動量發(fā)生突變,但兩物體的位移卻可近似認(rèn)為是零的一個(gè)過程.因其相互作用的內(nèi)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于外力,故碰撞時(shí)系統(tǒng)的動量守恒.這種碰撞的主要特點(diǎn)是“作用時(shí)間極短”和“內(nèi)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于外力”,屬于“短暫性過程”.

        2. 廣義碰撞

        廣義上的碰撞則是指兩個(gè)物體的相互作用時(shí)間不是很短,相互作用的內(nèi)力也不是很大,相互作用的內(nèi)力而使系統(tǒng)內(nèi)每個(gè)物體的動量發(fā)生變化的過程.

        廣義碰撞可近似看作是狹義碰撞的“慢鏡頭”,把“短暫性過程”緩慢拉長,成為“持續(xù)性過程”.如圖1所示的兩個(gè)小鋼球之間的“瞬間、短暫”的碰撞過程就可以看成圖2所示的兩個(gè)物塊A、B與彈簧組成的系統(tǒng)彈簧由原長變到下一次原長的過程.所以,許多類似于圖2的相互作用過程都可以看作“廣義碰撞”問題模型,如圖3中兩個(gè)帶正電小球在光滑的水平面上相互作用的過程,圖4中小球從小車左端滑上光滑弧形軌道,又滑回軌道底端的過程.

        碰撞分為彈性碰撞、非彈性碰撞、完全非彈性碰撞.其中彈性碰撞動能沒有損失,完全非彈性碰撞動能損失最多,而非彈性碰撞的能量介于彈性碰撞與完全非彈性碰撞之間.故平時(shí)主要研究彈性碰撞和完全非彈性碰撞.而在彈性碰撞中,被稱為“黃金二級結(jié)論”的“一動一靜”模型更是師生關(guān)注的重點(diǎn),如果能夠熟記“一動一靜”彈性碰撞中兩物體的碰后速度,則可大大提高做題效率,但我們卻經(jīng)常忽略“一動一靜”模型中的另外一組解的應(yīng)用情況.下面我們通過舉例來逐步分析,希望能對大家有所啟發(fā).

        二、“一動一靜”彈性碰撞模型兩組解的分析

        以人教版高中物理教材(2019年版)選擇性必修1第一章第5節(jié)《彈性碰撞和非彈性碰撞》中對“彈性碰撞的實(shí)例分析”為例,物體m1以速度v1與原來靜止的物體m2發(fā)生正碰,如圖5所示,碰撞后它們的速度分別為v1′和v2′.

        碰撞過程遵從動量守恒定律,據(jù)此可列出包含上述各已知量和未知量的方程

        m1v1=m1v1′+m2v2′

        (1)

        彈性碰撞中沒有動能損失,于是可以列出另一個(gè)方程

        (2)

        從方程 (1)(2)可以解出兩個(gè)物體碰撞后的速度分別為

        (4)

        方程組解得的(3)和(4)這組解是教材中給出符合兩物體真實(shí)運(yùn)動情境的一組解,也是前面提到的彈性碰撞模型中的“黃金二級結(jié)論”之一,熟記這個(gè)二級結(jié)論,確實(shí)可大大提高解題的效率.

        但從數(shù)學(xué)角度來看由(1)(2)組成的方程組,還有一組解就是

        v1′=v1(5)v2′=0

        (6)

        由(5)(6)組成的這組解,其代表的含義是“后面的物體m1以速度v1與前面原來靜止的物體m2發(fā)生正碰,碰后兩個(gè)物體的運(yùn)動狀態(tài)保持不變”,這看上去確實(shí)很荒謬,完全不符合真實(shí)情境,所以在教學(xué)中直接將這組解舍棄理所當(dāng)然,甚至這組解在教學(xué)中都不曾被提及.但如果題中給出廣義碰撞中的相互作用情境,我們就需要考慮那組被舍棄的解了.

        三、廣義彈性碰撞之“上下坡類”模型

        例1如圖6所示,小車的上面是由中突的兩個(gè)對稱的光滑曲面組成,整個(gè)小車的質(zhì)量為m,原來靜止在光滑的水平面上,今有一個(gè)可以看作質(zhì)點(diǎn)的小球,質(zhì)量也為m,以水平速度v從左端滑上小車,恰好到達(dá)小車的最高點(diǎn)后,又從右側(cè)曲面滑下,當(dāng)小球滑到右側(cè)曲面底端時(shí),求小車和小球的速度分別為多少?

        分析與解:小球在小車曲面上運(yùn)動的過程中,小球與小車組成的系統(tǒng)水平方向動量守恒,由小車上中突的曲面光滑可知,小球由左端滑上曲面至小球滑到右側(cè)曲面底端的過程中,系統(tǒng)機(jī)械能守恒,且初末位置動能相等.

        小球與小車的相互作用過程可等效為“一動一靜”彈性碰撞過程,故由前面分析,可對小球與小車組成的系統(tǒng)列動量守恒方程mv=mv1+mv2

        相互作用過程中沒有機(jī)械能損失,初末位置系統(tǒng)動能相等,于是可以列出另一個(gè)方程

        若套用“黃金二級結(jié)論”,則可得出小球的速度v1與小車的速度v2分別為

        這表明:當(dāng)小球滑到右側(cè)曲面底端時(shí),小球速度為0,而小車速度為向右的v,小車運(yùn)動速度比小球大,而由實(shí)際運(yùn)動情境可知,小球滑到曲面最高點(diǎn)時(shí),小球與小車速度相等,小球由右側(cè)曲面滑下的過程中,小球速度在增加,小車速度在減小,故不可能出現(xiàn)上述結(jié)果.所以此種情境下,合理的速度應(yīng)該是方程的另一組解,即小球速度變回原來的v,而小車速度減為0.

        變式1若將例1中的小車變?yōu)槿鐖D7所示,光滑弧形軌道足夠長,小球不會從軌道上端滑出,求小球再次滑回弧形軌道底端時(shí),小車與小球的速度分別為多少?

        分析與解由分析可知,小球與小車之間的相互作用過程仍然屬于廣義彈性碰撞中“一動一靜”模型,套用“黃金二級結(jié)論”可直接解得二者的速度分別為

        即因小球與小車質(zhì)量相等,小球與小車交換速度.這種運(yùn)動情境完全可套用“一動一靜”模型的結(jié)論.

        思考倘若上述例1和變式1中小車質(zhì)量為M,小球質(zhì)量為m,二者質(zhì)量不相等,那上述兩種情況下,小球與小車的速度又如何呢?

        四、廣義彈性碰撞之“彈簧——滑塊類”模型

        例2如圖8所示,一輕彈簧的兩端與質(zhì)量分別是m1和m2的兩物體A、B拴接在一起,它們靜止在光滑水平地面上,現(xiàn)給物體A一個(gè)瞬時(shí)沖量,使它獲得水平向右的速度v0,從此時(shí)刻開始計(jì)時(shí),求彈簧每次恢復(fù)原長時(shí)兩物體A、B的速度.

        分析與解由于兩物體與彈簧組成的系統(tǒng)所受外力為0,所以系統(tǒng)動量守恒,又由于系統(tǒng)只存在勢能與動能之間的轉(zhuǎn)化,故機(jī)械能守恒.當(dāng)物體A獲得初速度之后,兩物體和彈簧一起在水平面上做“先壓縮、再恢復(fù)原長、再拉伸、再恢復(fù)原長”地重復(fù)性地向前運(yùn)動,且在彈簧原長時(shí),彈性勢能為0,系統(tǒng)只有動能.設(shè)第一次恢復(fù)原長時(shí)物體A、B的速度分別為v1和v2.第二次恢復(fù)原長時(shí)物體A、B的速度分別為v1′和v2′.

        (1)從開始運(yùn)動到彈簧第一次恢復(fù)到原長時(shí)

        此過程彈簧一直處于壓縮狀態(tài),B物體一直做加速運(yùn)動,A物體一直做加速運(yùn)動,當(dāng)彈簧恢復(fù)到原長時(shí)物體B速度達(dá)到最大,物體A速度減到最小.由動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律可得

        m1v0=m1v1+m2v2

        此方程與“一動一靜”彈性碰撞方程一致,解得速度

        (2)從彈簧第一次恢復(fù)到原長到彈簧第二次恢復(fù)到原長時(shí)

        此過程彈簧一直處于伸長狀態(tài),B物體一直做減速運(yùn)動,A物體一直做減速運(yùn)動,當(dāng)彈簧恢復(fù)到原長時(shí)物體B速度減到最小,物體A速度達(dá)到最大.由動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律可得

        m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′

        等價(jià)于m1v0=m1v1′+m2v2′

        此方程與“一動一靜”彈性碰撞方程也一致,但我們通過分析可知,此次彈簧恢復(fù)原長時(shí)物體的速度與第一次彈簧恢復(fù)原長時(shí)物體的速度不相同.所以,第二次恢復(fù)原長時(shí),解得的速度應(yīng)為方程組的另一組解,即v1′=v0;v2′=0,其含義為:當(dāng)彈簧第二次恢復(fù)原長時(shí),物體A恢復(fù)為原來的初速度v0,物體B速度正好減小為0,所有物理量及狀態(tài)都恢復(fù)為開始運(yùn)動的初狀態(tài).依此類推,在此后的運(yùn)動過程中,當(dāng)彈簧第奇數(shù)次恢復(fù)原長時(shí),物體A、B的速度均與第一次速度相同;當(dāng)彈簧第偶數(shù)次恢復(fù)原長時(shí),物體A、B的速度均與第二次恢復(fù)原長時(shí)速度相同.

        變式2如圖9所示,物體A、B間拴接一個(gè)壓縮后被鎖定的輕質(zhì)彈簧,整個(gè)系統(tǒng)靜止放在光滑水平地面上,其中A物體最初與左側(cè)的固定擋板相接觸,B物體質(zhì)量為2 kg.現(xiàn)解除對彈簧的鎖定,在A離開擋板后的某時(shí)刻開始,B物體的v-t圖象如圖10所示,則可知( ).

        A.A的質(zhì)量為4kg

        B.運(yùn)動過程中A最大速度為4m/s

        C.在A離開擋板前,系統(tǒng)動量守恒、機(jī)械能守恒

        D.彈簧原來儲存的彈性勢能為9J

        分析與解通過對A、B的運(yùn)動分析,配合題中所給B物體的v-t圖象,可知B物體速度最大為3m/s時(shí),A物體速度為0;B物體速度最小為1m/s時(shí),A物體速度最大為v,由“黃金二級結(jié)論”可得,彈簧第一次恢復(fù)原長時(shí)速度滿足

        在A離開擋板前,由于擋板對A有作用力,所以系統(tǒng)合外力不為0,則系統(tǒng)動量不守恒,C錯(cuò)誤;

        總結(jié)在碰撞類動量守恒定律中,記住模型及其對應(yīng)的結(jié)論固然重要,但結(jié)論的得出及取舍過程更能體現(xiàn)物理學(xué)科的嚴(yán)密思維及推理過程,同時(shí)也是培養(yǎng)學(xué)生知識獲取能力、模型建構(gòu)能力、邏輯推理能力、分析綜合能力、信息加工能力的最佳途徑.所以建議在教學(xué)過程中應(yīng)該讓學(xué)生親自去計(jì)算、去體會方程組不同的解進(jìn)行取舍的原因,而不是純粹記結(jié)論、套公式.

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