楊天才

(重慶實(shí)驗(yàn)學(xué)校 400000)

壓軸題某校舉行托乒乓球跑步比賽，賽道為水平直道，比賽距離為x.比賽時(shí)，某同學(xué)將球置于球拍中心，以大小為a的加速度從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度達(dá)到v0時(shí)，再以v0做勻速直線運(yùn)動(dòng)跑至終點(diǎn)，整個(gè)過程中球一直保持在球拍中心不動(dòng).比賽中，該同學(xué)在勻速直線運(yùn)動(dòng)階段保持球拍的傾角為θ0，如圖1所示.設(shè)球在運(yùn)動(dòng)中受到空氣阻力大小與其速度大小成正比，方向與運(yùn)動(dòng)方向相反，不計(jì)球與球拍之間的摩擦，球的質(zhì)量為m，重力加速度為g.求：

圖1

(1)空氣阻力大小與球速大小的比例系數(shù)k；

(2)在加速跑階段球拍傾角θ隨速度v變化的關(guān)系式；

(3)整個(gè)勻速跑階段，若該同學(xué)速度仍為v0，而球拍的傾角比θ0大了β并保持不變，不計(jì)球在球拍上的移動(dòng)引起的空氣阻力變化，為保證到達(dá)終點(diǎn)前球不從球拍上距離中心為r的下邊沿掉落，求β應(yīng)滿足的條件.

解題思路剖析問題(1)：(您在生活中觀察到或參與過此項(xiàng)比賽嗎？)分析乒乓球在過程中(1)(2)問的運(yùn)動(dòng)情況，你能畫出它做直線運(yùn)動(dòng)的大致v-t圖像嗎？

解析乒乓球先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，然后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，其v-t圖像如圖2所示；

問題(2)：“球在運(yùn)動(dòng)中受到空氣阻力大小與其速度大小成正比”意味著什么？

解析f=kv，比例系數(shù)k不變.

問題(3)：“不計(jì)球與球拍之間的摩擦”意味著什么？請(qǐng)作出乒乓球做勻速直線運(yùn)動(dòng)的受力分析圖.

解析不計(jì)球與球拍之間的摩擦意味著乒乓球在勻速直線運(yùn)動(dòng)階段只受三個(gè)力的作用，受力分析如圖3所示.

問題(4)：求空氣阻力大小與球速大小的比例系數(shù)k為多少？

解析根據(jù)(3)的受力分析，正交分解后由力的平衡條件列方程得：

N0sinθ0-f0=0N0cosθ0-mg=0f0=kv0

①

問題(5)：乒乓球勻加速運(yùn)動(dòng)階段受力分析又怎樣？求球拍傾角θ的正切隨速度v變化的關(guān)系式？

解析受力分析如圖4所示，正交分解，由牛頓第二定律列方程得：

Nsinθ-f=maNcosθ-mg=0f=kv

②

問題(6)：在球拍勻加速直線運(yùn)動(dòng)階段，球拍的傾角如何變化才能保持乒乓球與球拍相對(duì)靜止？

解析由方程②可知，傾角θ應(yīng)逐漸增大；

問題(7)：如果某同學(xué)在勻速直線運(yùn)動(dòng)階段未控制好球拍的傾角為θ0，而是θ0+β并保持不變，乒乓球還能相對(duì)球拍靜止嗎？乒乓球相對(duì)球拍(以球拍為參考系)做什么運(yùn)動(dòng)？乒乓球的運(yùn)動(dòng)形式怎樣分解？

解析不能相對(duì)球拍靜止，乒乓球相對(duì)球拍做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，乒乓球?qū)嶋H做的是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，可分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和沿球拍斜向下的勻加速直線運(yùn)動(dòng)；

問題(8)：?jiǎn)栴}(7)與問題(3)相比，乒乓球所受的三個(gè)力發(fā)生了哪些變化？

解析乒乓球的重力、空氣阻力(不計(jì)球在球拍上的移動(dòng)引起的空氣阻力變化)均未發(fā)生變化，球拍的支持力大小和方向都發(fā)生了變化，如圖5所示；

問題(9)：如何求解乒乓球在沿球拍方向運(yùn)動(dòng)的加速度？

解析受力分析如圖5所示，以球拍方向?yàn)閤軸正交分解，由牛頓第二定律列方程得：

mgsin(θ0+β)-f0cos(θ0+β)=ma′

解得：a′=gsinβ/cosθ0

③

問題(10)：如何求球拍勻加速直線運(yùn)動(dòng)階段的位移？如何求解球拍在勻速直線運(yùn)動(dòng)階段所用時(shí)間t？

④

問題(11)：乒乓球不從球拍上掉落的條件是什么？

⑤

問題(12)：求角β的正弦應(yīng)滿足的條件？

⑥

思維超越問題(13)：求乒乓球勻速直線運(yùn)動(dòng)階段球拍對(duì)乒乓球做功的功率為多少？

解析球拍對(duì)乒乓球做功的功率

⑦

問題(14)：怎樣簡(jiǎn)化問題(4)(5)？

解析由牛頓第二定律列方程得：

Nsinθ-f=ma

Ncosθ-mg=0f=kv

解得：mgtanθ-kv=ma.

將θ=θ0，a=0代入求出

⑧

問題(15)：怎樣簡(jiǎn)化問題(8)？

⑨

問題(16)：實(shí)際競(jìng)賽過程中，乒乓球與球拍的摩擦力較小可忽略，但球在球拍上的移動(dòng)引起的空氣阻力變化不可忽略，分析球拍勻速運(yùn)動(dòng)階段球相對(duì)球拍的運(yùn)動(dòng)形式？實(shí)際的值β比理論值大還是??？

解析在乒乓球相對(duì)球拍向下運(yùn)動(dòng)過程中，空氣阻力逐漸增大，球做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，由a′=gsinβ/cosθ0可知β比理論值?。?/p>

問題(17)：若乒乓球在球拍上相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)所受阻力仍滿足f=kv，球拍中心與下邊沿的距離r足夠大，求乒乓球相對(duì)球拍運(yùn)動(dòng)的最大速度？

解析由a′=gsinβ/cosθ0-kv/m知，當(dāng)a′=0時(shí)，速度達(dá)最大，且為vm=v0sinβ/sinθ0

⑩

點(diǎn)評(píng)這是一道與學(xué)生生活實(shí)際聯(lián)系緊密的好題，它緊扣《課程標(biāo)準(zhǔn)》中強(qiáng)調(diào)的：“從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)， 讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成物理模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程”.既有利于高校選拔人才的同時(shí)，還有利于課程改革的縱深推進(jìn)，對(duì)推進(jìn)素質(zhì)教育起到很好的導(dǎo)向作用.