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        壓軸題進(jìn)階解析及拓展

        2021-10-20 09:21:32楊天才
        數(shù)理化解題研究 2021年28期

        楊天才

        (重慶實(shí)驗(yàn)學(xué)校 400000)

        壓軸題某校舉行托乒乓球跑步比賽,賽道為水平直道,比賽距離為x.比賽時(shí),某同學(xué)將球置于球拍中心,以大小為a的加速度從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng),當(dāng)速度達(dá)到v0時(shí),再以v0做勻速直線運(yùn)動(dòng)跑至終點(diǎn),整個(gè)過程中球一直保持在球拍中心不動(dòng).比賽中,該同學(xué)在勻速直線運(yùn)動(dòng)階段保持球拍的傾角為θ0,如圖1所示.設(shè)球在運(yùn)動(dòng)中受到空氣阻力大小與其速度大小成正比,方向與運(yùn)動(dòng)方向相反,不計(jì)球與球拍之間的摩擦,球的質(zhì)量為m,重力加速度為g.求:

        圖1

        (1)空氣阻力大小與球速大小的比例系數(shù)k;

        (2)在加速跑階段球拍傾角θ隨速度v變化的關(guān)系式;

        (3)整個(gè)勻速跑階段,若該同學(xué)速度仍為v0,而球拍的傾角比θ0大了β并保持不變,不計(jì)球在球拍上的移動(dòng)引起的空氣阻力變化,為保證到達(dá)終點(diǎn)前球不從球拍上距離中心為r的下邊沿掉落,求β應(yīng)滿足的條件.

        解題思路剖析問題(1):(您在生活中觀察到或參與過此項(xiàng)比賽嗎?)分析乒乓球在過程中(1)(2)問的運(yùn)動(dòng)情況,你能畫出它做直線運(yùn)動(dòng)的大致v-t圖像嗎?

        解析乒乓球先做勻加速直線運(yùn)動(dòng),然后做勻速直線運(yùn)動(dòng),其v-t圖像如圖2所示;

        問題(2):“球在運(yùn)動(dòng)中受到空氣阻力大小與其速度大小成正比”意味著什么?

        解析f=kv,比例系數(shù)k不變.

        問題(3):“不計(jì)球與球拍之間的摩擦”意味著什么?請(qǐng)作出乒乓球做勻速直線運(yùn)動(dòng)的受力分析圖.

        解析不計(jì)球與球拍之間的摩擦意味著乒乓球在勻速直線運(yùn)動(dòng)階段只受三個(gè)力的作用,受力分析如圖3所示.

        問題(4):求空氣阻力大小與球速大小的比例系數(shù)k為多少?

        解析根據(jù)(3)的受力分析,正交分解后由力的平衡條件列方程得:

        N0sinθ0-f0=0N0cosθ0-mg=0f0=kv0

        問題(5):乒乓球勻加速運(yùn)動(dòng)階段受力分析又怎樣?求球拍傾角θ的正切隨速度v變化的關(guān)系式?

        解析受力分析如圖4所示,正交分解,由牛頓第二定律列方程得:

        Nsinθ-f=maNcosθ-mg=0f=kv

        問題(6):在球拍勻加速直線運(yùn)動(dòng)階段,球拍的傾角如何變化才能保持乒乓球與球拍相對(duì)靜止?

        解析由方程②可知,傾角θ應(yīng)逐漸增大;

        問題(7):如果某同學(xué)在勻速直線運(yùn)動(dòng)階段未控制好球拍的傾角為θ0,而是θ0+β并保持不變,乒乓球還能相對(duì)球拍靜止嗎?乒乓球相對(duì)球拍(以球拍為參考系)做什么運(yùn)動(dòng)?乒乓球的運(yùn)動(dòng)形式怎樣分解?

        解析不能相對(duì)球拍靜止,乒乓球相對(duì)球拍做勻加速直線運(yùn)動(dòng),乒乓球?qū)嶋H做的是勻變速曲線運(yùn)動(dòng),可分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和沿球拍斜向下的勻加速直線運(yùn)動(dòng);

        問題(8):?jiǎn)栴}(7)與問題(3)相比,乒乓球所受的三個(gè)力發(fā)生了哪些變化?

        解析乒乓球的重力、空氣阻力(不計(jì)球在球拍上的移動(dòng)引起的空氣阻力變化)均未發(fā)生變化,球拍的支持力大小和方向都發(fā)生了變化,如圖5所示;

        問題(9):如何求解乒乓球在沿球拍方向運(yùn)動(dòng)的加速度?

        解析受力分析如圖5所示,以球拍方向?yàn)閤軸正交分解,由牛頓第二定律列方程得:

        mgsin(θ0+β)-f0cos(θ0+β)=ma′

        解得:a′=gsinβ/cosθ0

        問題(10):如何求球拍勻加速直線運(yùn)動(dòng)階段的位移?如何求解球拍在勻速直線運(yùn)動(dòng)階段所用時(shí)間t?

        問題(11):乒乓球不從球拍上掉落的條件是什么?

        問題(12):求角β的正弦應(yīng)滿足的條件?

        思維超越問題(13):求乒乓球勻速直線運(yùn)動(dòng)階段球拍對(duì)乒乓球做功的功率為多少?

        解析球拍對(duì)乒乓球做功的功率

        問題(14):怎樣簡(jiǎn)化問題(4)(5)?

        解析由牛頓第二定律列方程得:

        Nsinθ-f=ma

        Ncosθ-mg=0f=kv

        解得:mgtanθ-kv=ma.

        將θ=θ0,a=0代入求出

        問題(15):怎樣簡(jiǎn)化問題(8)?

        問題(16):實(shí)際競(jìng)賽過程中,乒乓球與球拍的摩擦力較小可忽略,但球在球拍上的移動(dòng)引起的空氣阻力變化不可忽略,分析球拍勻速運(yùn)動(dòng)階段球相對(duì)球拍的運(yùn)動(dòng)形式?實(shí)際的值β比理論值大還是???

        解析在乒乓球相對(duì)球拍向下運(yùn)動(dòng)過程中,空氣阻力逐漸增大,球做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng),由a′=gsinβ/cosθ0可知β比理論值?。?/p>

        問題(17):若乒乓球在球拍上相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)所受阻力仍滿足f=kv,球拍中心與下邊沿的距離r足夠大,求乒乓球相對(duì)球拍運(yùn)動(dòng)的最大速度?

        解析由a′=gsinβ/cosθ0-kv/m知,當(dāng)a′=0時(shí),速度達(dá)最大,且為vm=v0sinβ/sinθ0

        點(diǎn)評(píng)這是一道與學(xué)生生活實(shí)際聯(lián)系緊密的好題,它緊扣《課程標(biāo)準(zhǔn)》中強(qiáng)調(diào)的:“從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā), 讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成物理模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程”.既有利于高校選拔人才的同時(shí),還有利于課程改革的縱深推進(jìn),對(duì)推進(jìn)素質(zhì)教育起到很好的導(dǎo)向作用.

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