吳鵬飛，李再幃，劉曉舟，何越磊

(1. 上海工程技術(shù)大學(xué) 城市軌道交通學(xué)院，上海 201620；2. 深圳技術(shù)大學(xué) 城市交通與物流學(xué)院，深圳 518118)

軌道不平順是指軌道幾何位置相對于軌道初始設(shè)計位置的偏差，其偏差值主要是通過軌檢車動態(tài)檢測來采集的[1]。軌道不平順是引起輪軌振動的主要原因，其幅值與波長的分布特征是影響列車運行速度、安全性以及乘客舒適性的重要因素[2]，因此，深入挖掘軌道不平順的波長分布特征，實現(xiàn)波長的定量化評定具有顯著的現(xiàn)實意義。目前，許多學(xué)者采用不同的研究手段從時域、頻域以及時頻域等角度對軌道不平順狀態(tài)進行了刻畫，形成了TQI，功率譜及時頻能量譜的管理方法。但隨著線路運營速度的不斷提高，軌道幾何幅值超限問題極少發(fā)生，為了深刻地表征無砟軌道不平順狀態(tài)，國內(nèi)外學(xué)者引入了分形理論進行軌道不平順的分形特征研究，HYSLIP[3]采用分形尺碼法計算有砟線路高低不平順的分形維數(shù)，利用分形維數(shù)對不同波段的軌道幾何狀態(tài)進行評估；LANDGRAF 等[4]結(jié)合歐盟相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)，將軌道不平順波長分成短波、中波和長波3類，同樣采用分形維數(shù)進行定量化表征；TACIRO?LU 等[5]對土耳其某高鐵線路軌道不平順數(shù)據(jù)進行分析，采用4種不同的分形維數(shù)來表征軌道短波和中長波不平順。陳光雄等[6]利用分形功率譜法對摩擦面波狀磨耗進行定量化的計算，得出分形維數(shù)能夠定量描述摩擦面的波狀磨耗。這些研究極大地深化了對軌道不平順細部特征的認識，提供了定量化評價軌道不平順波長和狀態(tài)的途徑。但同樣值得注意的是，目前，對于我國高鐵無砟軌道不平順的分形特征尚無針對性研究，分形維數(shù)定量化評定我國高鐵無砟軌道不平順波長特征的能力需要進一步分析。基于此，本文從分形幾何的基本原理出發(fā)，利用蘊含波長特征的分形尺碼法，計算我國高鐵無砟軌道不平順的分形維數(shù)，分析無砟軌道不平順波長的分形維數(shù)表征，為進一步研究分形維數(shù)評估無砟軌道幾何平順狀態(tài)奠定技術(shù)基礎(chǔ)。

1 分形幾何基礎(chǔ)

1.1 分形原理

分形是指一種復(fù)雜性高且無法用傳統(tǒng)的歐氏幾何來描述，但其局部與整體在形態(tài)、功能、時間及空間具有一定自相似的圖形和集合的總稱[7]；分形的基本屬性是自相似性、標(biāo)度不變性和分形維數(shù)[8]。自相似性和標(biāo)度不變性通常是判斷對象是否可以利用分形理論對其進行分析的重要指標(biāo)。分形維數(shù)表征了充滿空間的能力，是定量描述分形對象復(fù)雜程度和不規(guī)則性的參數(shù)，其既可以是整數(shù)也可以是分數(shù)。自然界中的分形與數(shù)學(xué)分形相比，其自相似性并不是嚴格意義上的自相似，而是統(tǒng)計意義上的自相似；另外，其分形特征只存在于有限的層次范圍內(nèi)而非無限層次范圍內(nèi)。這是自然界中的分形與數(shù)學(xué)分形的根本差別所在，也是導(dǎo)致分形維數(shù)測量不穩(wěn)定的根本原因[9]。目前，計算分形維數(shù)的方法主要有尺碼法、盒維數(shù)法、結(jié)構(gòu)函數(shù)法等，其中尺碼法是軌道幾何形位評價中應(yīng)用較為有效的方法[3-5]，此方法的突出特點是可以定量化地確定軌道不平順波長特征。因此，本文采用尺碼法進行高速鐵路無砟軌道不平順分形維數(shù)的計算。

1.2 尺碼法原理與計算流程

尺碼法源于海岸線長度測量問題，根據(jù)Man‐delbrot的理論[10]，尺碼與測量長度之間具有明顯的冪律關(guān)系：

等式兩邊同取對數(shù)為：

式中：δ為尺碼長度，其為無量綱量；N為測量曲線所需的尺碼段數(shù)；R(δ)為利用尺碼δ測量曲線所得的長度；D為曲線的分形維數(shù)。

采用不同的尺碼δ去測量曲線會得到不同的R(δ)，小尺碼δ測得的曲線長度R(δ)較大，大尺碼δ測得的曲線長度R(δ)則較小。當(dāng)?shù)玫蕉嘟M(δ，R(δ))數(shù)據(jù)之后就可以利用式(2)在雙對數(shù)坐標(biāo)系中繪制出一系列的點，利用最小二乘線性回歸可得到回歸直線的斜率k，則k與D關(guān)系如下：

上述為尺碼法的原始定義，而在實際測量分形維數(shù)中，尺碼的形式較為多樣，不局限于一定長度的線段，也可采用圓形、正方形及長方形等形式[11]。

尺碼法的算法流程如下。

Step 1：確定度量的初始尺碼，按照式(4)進行取值[12]：

式中：a0為初始尺碼；N為數(shù)據(jù)點數(shù)；i=1,…,N?1；ki為曲線上相鄰2 個數(shù)據(jù)點之間的歐氏距離，x，y分別為數(shù)據(jù)點的橫縱坐標(biāo)。

Step 2：以曲線的起始數(shù)據(jù)點為尺碼的起點，以a0為初始尺碼跟蹤曲線的數(shù)據(jù)點，若尺碼的端點位于相鄰2個數(shù)據(jù)點之間，則端點值由三角函數(shù)插值和相似定理求出。當(dāng)尺碼測量至曲線末端時，最后一段尺碼末端不一定和曲線的末端相重合，需要將計算剩余的曲線長度與測量的曲線長度相加。Step 3：當(dāng)尺碼測量至曲線末端時，將測量的尺碼段數(shù)乘以尺碼加上剩余的曲線長度即可得到該尺碼下測量曲線的總長度，計算公式如下：

式中：(xj,yj)為尺碼末端點的坐標(biāo)；(xN,yN)為曲線末端點坐標(biāo)；R(δ)同前；r為剩余的曲線長度。

Step 4：采用不同的尺碼測量整個曲線，為了抵消線性回歸帶來的誤差，每一次測量的尺碼長度應(yīng)為a0←2*a0[13]；記錄下每次測量完曲線的總長度R(δ)和尺碼長度δ，在雙對數(shù)坐標(biāo)系中繪制出數(shù)據(jù)點，采用最小二乘線性回歸可得到回歸直線的斜率k，利用式(3)即可求得曲線的分形維數(shù)D。

2 軌道不平順波長分形維數(shù)特征

2.1 尺碼法的測量過程及結(jié)果分析

本文利用Matlab 軟件實現(xiàn)上述算法，由于軌道不平順已被驗證具有典型的統(tǒng)計自相似分形特征[3?5]，因此，這里利用尺碼法對我國高速鐵路無砟軌道不平順的分形維數(shù)進行分析。數(shù)據(jù)來源為某300 km/h高鐵線路，軌道結(jié)構(gòu)類型為CRTS Ⅱ型板式無砟軌道，軌檢車型號為CRH380AJ-0203，采樣間隔為0.25 m。利用左高低不平順樣本說明尺碼法的整個測量過程，樣本數(shù)據(jù)、測量過程及計算結(jié)果如圖1～圖3所示。

圖1 樣本數(shù)據(jù)Fig.1 Data of sample

由圖2可知，隨著波長尺碼的逐漸減小，由尺碼連接的曲線逐漸趨近于原始曲線，即較小波長尺碼受原始波形短波長成分的影響較大，而較大波長尺碼受原始波形中長波成分的影響較大[3]。

圖2 測量過程Fig.2 Measurement process

圖3為式(3)的具體計算結(jié)果，可知無砟軌道不平順分形維數(shù)無法用單一的波長區(qū)段進行表征，其結(jié)果具有典型的分段函數(shù)特征，需要按照不同波長區(qū)段進行分形維數(shù)的計算。因此，本文將進一步地討論不同波長區(qū)段下，軌道不平順的分形維數(shù)特征。

圖3 測量結(jié)果Fig.3 Measurement results

2.2 單一波長的軌道不平順分形維數(shù)特征

一般而言，軌道不平順可以認為是典型的隨機波形，是由無窮多個不同波長和幅值的正弦波疊加而成[14]，因此，單一波長的不平順可表示為：

其中：A為振幅，控制幅值的大小；ω為角速度；λ為波長，其與角速度的換算關(guān)系式如式(9)所示。

根據(jù)文獻所述，按照波長劃分軌道不平順，通常分為3 m 以下的短波不平順、3 至30 m 之間的中波不平順和大于30 m 的長波不平順[15]。本文利用式(8)和式(9)得到幅值為1 mm，波長分別為2，10 和50 m 的軌道不平順，采樣間隔為0.25 m，樣本長度為200 m，采用尺碼法分別進行計算，結(jié)果如圖4所示。

由圖4 可知，分形維數(shù)結(jié)果可分為D1，D2和D33 個區(qū)段，其中2 m 波長對應(yīng)的分形維數(shù)D1較大而D2和D3幾乎沒有變化；10 m 波長對應(yīng)的分形維數(shù)D2較大而D1和D3幾乎沒有變化；50 m 波長對應(yīng)的分形維數(shù)D3較大而D2和D3幾乎沒有變化；這說明分形維數(shù)D1，D2和D3分別表征了軌道不平順的短波、中波和長波成分，可以利用分形維數(shù)對軌道不平順的波長特征進行針對性管理。

圖4 單一波長的軌道不平順及計算結(jié)果Fig.4 Track irregularities of a single wavelength and calculation results

3 實例分析

本節(jié)選取長度為200 m 的左、右高低和左、右軌向不平順數(shù)據(jù)樣本作為分析對象，數(shù)據(jù)來源同前，利用尺碼法計算樣本數(shù)據(jù)的分形維數(shù)，結(jié)果如圖5所示。

由圖5可知，左、右高低不平順分形維數(shù)的D2較D1與D3值大，說明左、右高低不平順中雖然存在一定的短波長和長波長成分，但中波長成分占據(jù)了主要地位。左、右軌向不平順分形維數(shù)的D1，D2值較大，D3則接近于水平直線，說明存在較多的短波長成分和少量的中波長成分，長波長成分則很少。本文同樣給出了高低與軌向功率譜和標(biāo)準(zhǔn)譜的計算結(jié)果，高低不平順中波長區(qū)段曲線遠高于中國無砟軌道不平順標(biāo)準(zhǔn)譜，驗證了分形維數(shù)的計算結(jié)果，同理，軌向不平順功率譜結(jié)果與分形維數(shù)對應(yīng)也較好。所以，可以采用分形維數(shù)指標(biāo)對軌道不平順區(qū)段波長進行定量化評定管理。

圖5 實測不平順樣本及計算結(jié)果Fig.5 Samples of measured irregularities and calculation results

在此基礎(chǔ)上，本文對同前線路全線約140 km的左、右高低及軌向不平順數(shù)據(jù)進行分析，將其按照200 m 切分，共分成700 組，討論其波長尺碼的穩(wěn)定性，結(jié)果如圖6所示。

圖6 700組不同不平順樣本的尺碼長度Fig.6 Sizes length of 700 samples of different irregularities

由圖6 可知，對軌道不平順進行分形維數(shù)計算，共有11 種不同的波長尺碼，且波長尺碼的波動性較小，僅在一個小范圍內(nèi)波動，為了進一步的對比分析，將圖6波長尺碼進行均值化處理，結(jié)果如圖7所示?？梢源_定3段分形維數(shù)D1，D2及D3所對應(yīng)的固定尺碼分別為(0.135～2.16)，(4.32～17.28)和(34.56～138.24)。所以，可利用波長尺碼計算不同樣本的軌道不平順分形維數(shù)，進而實現(xiàn)對軌道不平順波長區(qū)段的定量化評價。

圖7 不同樣本的尺碼長度平均值Fig.7 Average size length of different samples

4 結(jié)論

1) 分形維數(shù)可以有效地表征高速鐵路無砟軌道軌道不平順的波長分布特征，可以將其分為3個波長區(qū)間，即D1為(0.135～2.16 m)，D2為(4.32～17.28 m)，D3為(34.56～138.24 m)。

2)分形維數(shù)對應(yīng)波長尺碼具有較好地穩(wěn)定性；采用分形維數(shù)指標(biāo)可以有效地對區(qū)段軌道不平順的波長進行定量化的評定，建議在此基礎(chǔ)上進一步研究分形維數(shù)表征軌道幾何平順狀態(tài)的能力，為現(xiàn)場養(yǎng)護維修作業(yè)提供有效的指導(dǎo)。