金 璇,劉文慧

(南京師范大學南瑞電氣與自動化學院,江蘇 南京 210023)

近年來非線性系統(tǒng)的控制問題引起了廣泛的關注,許多有效的控制方法陸續(xù)被提出,例如滑?？刂芠1]、模糊控制[2]、魯棒控制和自適應控制[3-6]. 自適應反步控制法[7-8]可以根據系統(tǒng)本身的狀態(tài),構造保證系統(tǒng)存在不確定性時仍具有強魯棒性的結構,因此被廣泛用于穩(wěn)定非線性系統(tǒng)[9-11]. 眾所周知,參數不確定的非線性自適應控制也是非線性控制設計中的熱點問題,自適應反步技術被廣泛用來解決不確定非線性系統(tǒng)的控制問題[12-15]. 然而參數化非線性系統(tǒng)狀態(tài)約束和有限時間控制問題鮮有研究.

工業(yè)實際應用中存在各種各樣的物理條件約束,例如機械臂系統(tǒng)中位置和速度的限制[16],連續(xù)攪拌釜反應器中溫度和壓力的限制[17]等,系統(tǒng)狀態(tài)約束成為一個具有挑戰(zhàn)性的熱點問題. 近來,構造Barrier Lyapunov函數使系統(tǒng)狀態(tài)被約束在給定區(qū)域內的方法得到大量應用[18-19]. 另一方面,不同于漸近穩(wěn)定理論,有限時間穩(wěn)定能夠保證系統(tǒng)內的變量在有限時間內快速收斂于平衡點,使系統(tǒng)擁有更好的瞬態(tài)特性. 對于大多數工程應用,需要系統(tǒng)在有限時間內達到期望性能,因此有限時間控制格外重要. 近年,有限時間控制問題取得了巨大的進展,許多新的控制方法應運而生[20-21].

由于測量和計算等的延遲,輸入時滯現(xiàn)象常見于化工生產、生物反應器等工業(yè)生產中,因此許多研究輸入時滯的文獻應運而生[22-24]. 然而研究全狀態(tài)約束系統(tǒng)的輸入時滯問題的文獻還比較少. 在此基礎上,本文研究了具有輸入時滯不確定非線性系統(tǒng)的有限時間全狀態(tài)約束跟蹤控制問題. 設計過程中利用Barrier Lyapunov函數和pade近似法解決了狀態(tài)約束和輸入時滯問題,再利用反步控制技術和有限時間控制方法設計了一個新的自適應控制器. 本文主要貢獻為:

(1)在有限時間控制系統(tǒng)中引入全狀態(tài)約束并在反步設計過程中使用Barrier Lyapunov函數使系統(tǒng)內所有的狀態(tài)都不超過給定的范圍;

(2)在全狀態(tài)約束非線性系統(tǒng)中考慮了輸入時滯并使用pade近似法解決其對系統(tǒng)性能的負面影響;

(3)在系統(tǒng)含有未知參數時,會給系統(tǒng)帶來性能的惡化甚至導致系統(tǒng)不穩(wěn)定. 為了消除其負面影響,需要應用新的自適應控制方法,這給控制器的設計帶來困難. 而本文在控制器設計過程中,根據控制結果所需為系統(tǒng)的未知參數設計了合適的自適應律,再利用自適應反步技術為參數化非線性系統(tǒng)設計了新的有限時間自適應跟蹤控制器,使閉環(huán)系統(tǒng)內的所有信號能在有限時間內有界,同時輸出信號追蹤給定參考信號的追蹤誤差很小.

1 問題描述

考慮如下參數化非線性嚴格反饋系統(tǒng)

(1)

為對系統(tǒng)(1)進行跟蹤控制器設計和穩(wěn)定性分析,需要做出如下假設并且使用如下引理.

假設2存在常數ρi>0是外部擾動di的上界,即|di|≤ρi.

本文的控制目標是設計一個有限時間跟蹤控制器,保證系統(tǒng)的輸出y(t)能夠跟蹤給定的參考信號yr(t),保證所有狀態(tài)不超過給定的范圍且閉環(huán)系統(tǒng)中的所有信號在有限時間內有界.

2 跟蹤控制器設計與穩(wěn)定性分析

我們運用自適應反步技術和有限時間控制理論針對系統(tǒng)(1)進行跟蹤控制器設計,再使用李雅普諾夫分析法進行系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析.

2.1 跟蹤控制器設計

這一部分利用自適應反步法進行控制器設計,設計過程分為n步. 為了處理帶有時滯的輸入項u(t-τ),本文引入pade近似法[28],系統(tǒng)(1)可重新表示為

(2)

式中,γ是待設計參數,xn+1是增加的中間變量.

首先進行如下坐標變換

(3)

式中,e1是跟蹤誤差,vi-1和vn-1是待設計的虛擬控制器.

第1步:對跟蹤誤差e1=x1-yr求導得

(4)

構建如下含有Barrier函數的Lyapunov函數:

(5)

(6)

設計虛擬控制器為:

(7)

代入式(6)中得到:

(8)

根據Young不等式,得到:

(9)

(10)

令自適應律為

(11)

則得到不等式:

(12)

式中,φr,1(x1)=φ1(x1).

(13)

根據不等式(9)、(10)、(12)和(13),式(8)可以重寫為

(14)

(15)

注1在設計Lyapunov函數時加入了Barrier函數,使狀態(tài)x1被限定在預定范圍內. 在接下來的步驟中,我們用了同樣的方法來確保狀態(tài)約束能夠滿足.

(16)

式中

與第1步相似,構造如下Lyapunov函數:

(17)

(18)

設計虛擬控制器和自適應律為

(19)

(20)

式中,μi>0(i=1,2,…,n)是待設計參數.

(21)

根據第1步中的步驟可得:

(22)

采用離散余弦變換(Discrete Cosine Transform，DCT)求解，將解纏過程轉換為采用DCT求解泊松方程的問題,即可恢復InSAR真實相位.

(23)

(24)

式中

設計實際控制器和自適應律為

(25)

(26)

2.2 穩(wěn)定性分析

本節(jié)給出以下定理來說明本文的主要結果. 如下文所示是有限時間穩(wěn)定的證明.

定理1對于具有輸入時滯、有界外部干擾和全狀態(tài)約束的的嚴格反饋參數化非線性系統(tǒng)(1),如果在假設1和假設2下使用控制器(25),則該閉環(huán)系統(tǒng)是半全局有限時間穩(wěn)定的.

證明設計如下Lyapunov函數:

(27)

式中,kbn之后會給出. 在集合Ωen={en:|en|

(28)

類似于之前的步驟,將實際控制器u和自適應律代入可以得到:

(29)

定義V=V1+V2+…+Vn且應用引理3得到:

(30)

所以根據引理1,可以得到系統(tǒng)(1)是半全局有限時間穩(wěn)定.

注2根據以上證明,顯然|x1|≤|e1|+|yr(t)|0使|vi|<εi,因此|xi|≤|ei|+|vi-1|≤εi-1+kbi(i=1,2,…,n),定義kbi=kci-εi-1,則|xi|

3 仿真算例

考慮如下非線性系統(tǒng):

(31)

式中,u和y是系統(tǒng)的輸入和輸出,θ1和θ2是未知常數向量.

在仿真中選擇θ1=0.1,θ2=[0.2,1]T,外部擾動為d1=0.02cos(0.5t),d2=0.06sin(t+0.25),輸入延遲選擇為τ=0.1.

仿真結果如圖1-圖4所示. 圖1表示系統(tǒng)輸出信號y與跟蹤信號yr的軌跡,圖2表示跟蹤誤差e1的仿真結果. 由圖1和圖2可以看出系統(tǒng)跟蹤性能良好且系統(tǒng)狀態(tài)x1不超出預定界限. 圖3表示系統(tǒng)狀態(tài)x2保持在預定界限內. 圖4表明自適應律是有界的. 以上結果都證明本文提出的新的跟蹤控制器能夠在有限時間內使系統(tǒng)達到預期.

圖1 y(t)和yr(t)的軌跡Fig.1 Trajectories of y(t)and yr(t)

圖2 誤差e1的軌跡Fig.2 Trajectory of error e1

圖3 x2(t)的軌跡Fig.3 Trajectory of x2(t)

圖4 自適應律和的軌跡Fig.4 Trajectories of adaptive laws

4 結論

本文針對具有輸入時滯、有界外部干擾和全狀態(tài)約束參數化非線性系統(tǒng)設計了一種新的有限時間自適應追蹤控制器. 為了消除輸入遲滯的影響,使用了pade近似法. 應用一些的引理確保系統(tǒng)能在有限時間內達到預期效果. 此外,利用自適應反步技術和Barrier Lyapunov函數推導出自適應控制器使系統(tǒng)輸出信號追蹤給定參考信號并保證系統(tǒng)狀態(tài)被約束在給定區(qū)域內且保證系統(tǒng)所有信號都在有限時間內有界. 最后,通過仿真實例驗證了本文提出的控制器的有效性.