未志杰，康曉東

（1.海洋石油高效開發(fā)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100028；2.中海油研究總院有限責(zé)任公司，北京 100028）

0 引言

煤層氣開采一般采取初采和注氣強(qiáng)化采收（ECBM）2 種方式，前者技術(shù)簡單，但采收率較低，后者理論上可實(shí)現(xiàn)煤層氣完全采收，同時(shí)可實(shí)現(xiàn)數(shù)量可觀的CO2地質(zhì)埋存，具有較廣泛的應(yīng)用前景。注入氣體通常是CO2，N2或煙道氣等，注CO2與注N2強(qiáng)化煤層氣采收的機(jī)理不同［1］：與CH4相比，基質(zhì)對CO2具有更強(qiáng)的吸附能力，注入的CO2優(yōu)先吸附于煤基質(zhì)，擠占附著空間并將CH4置換出來；基質(zhì)吸附N2的能力相對較弱，注入的N2更多地留在裂縫中，降低了CH4的分壓及其基質(zhì)表面的濃度，導(dǎo)致CH4由基質(zhì)擴(kuò)散進(jìn)入裂縫。相應(yīng)地，煤層氣強(qiáng)化采收模擬相比初采更為復(fù)雜，不僅需要刻畫復(fù)雜多相、多組分、多孔、多過程物質(zhì)運(yùn)移，如基質(zhì)中CO2/N2吸附和CH4解吸、基質(zhì)與裂縫之間多組分氣體擴(kuò)散、裂縫中氣液滲流，還需要考慮煤巖特有的復(fù)雜流固耦合作用。

煤層屬于天然裂縫性儲層，力學(xué)強(qiáng)度較低，具有顯著的應(yīng)力敏感性。研究表明，流固耦合作用考慮與否對于準(zhǔn)確預(yù)測煤層氣產(chǎn)能至關(guān)重要［2-4］。相比于其他裂縫性儲層，煤層流固耦合作用更為復(fù)雜，不僅存在有效應(yīng)力效應(yīng)，還包括特有的基質(zhì)膨脹或收縮作用，基質(zhì)會隨著多組分氣體的吸附或解吸產(chǎn)生形變。氣體吸附可使基質(zhì)膨脹，導(dǎo)致有效滲流孔道和滲透率減?。幌喾?，解吸可使基質(zhì)收縮，導(dǎo)致有效滲流孔道和滲透率增大。為刻畫煤層流固耦合作用，研究者提出了ARI，Gray，Palmer 以及Shi 等多種模型［5-8］。其中，ARI 模型為經(jīng)驗(yàn)公式，缺乏地質(zhì)力學(xué)理論基礎(chǔ)［5］；Gray，Palmer 以及Shi 模型均是基于地質(zhì)力學(xué)理論推導(dǎo)獲得，屬于解析流固耦合模型，但是推導(dǎo)過程中引入了一些強(qiáng)假設(shè)，包括將煤層視為均質(zhì)各向同性線彈性孔隙介質(zhì)，以及將基質(zhì)膨脹/收縮等效類比為熱膨脹［6-7］；Gray 模型首次考慮了基質(zhì)膨脹/收縮作用對滲透率的影響，但認(rèn)為基質(zhì)應(yīng)變與平衡氣體壓力呈線性關(guān)系，與實(shí)驗(yàn)測得的Langmuir 形態(tài)存在明顯差異；Shi 與Gray 模型不同于Palmer 模型，其認(rèn)為滲透率與水平有效應(yīng)力而非有效應(yīng)力呈對數(shù)關(guān)系［8］。這些經(jīng)驗(yàn)或解析流固耦合模型具有形式簡潔直觀、便于與商業(yè)模擬軟件結(jié)合的優(yōu)勢，但是需要引入較多假設(shè)，如固定上覆應(yīng)力與單軸向應(yīng)變假設(shè)，容易導(dǎo)致滲透率計(jì)算結(jié)果失真，影響產(chǎn)能預(yù)測精度，亟需建立煤層氣藏全流固耦合數(shù)學(xué)模型。

為此，擬通過引入煤巖形變本構(gòu)方程來準(zhǔn)確刻畫煤層地質(zhì)力學(xué)效應(yīng)，同時(shí)考慮水分揮發(fā)作用以及多組分氣體在水相中的溶解作用，構(gòu)建煤層氣藏強(qiáng)化采收全流固耦合數(shù)學(xué)模型，以期獲得更準(zhǔn)確的儲層物性參數(shù)及產(chǎn)量預(yù)測結(jié)果。

1 全流固耦合數(shù)學(xué)模型

煤層為裂縫性儲層，常用雙孔單滲模型描述［9-11］，即包括基質(zhì)與裂縫2 套孔隙系統(tǒng)，基質(zhì)吸附煤層氣，為主要的煤層氣存儲空間，裂縫提供主要滲流通道。煤巖力學(xué)性質(zhì)弱，因此地質(zhì)力學(xué)效應(yīng)（包括有效應(yīng)力效應(yīng)與基質(zhì)膨脹/收縮作用）明顯。煤層氣強(qiáng)化采收模擬相比初采更為復(fù)雜，涉及多相、多組分氣體流動(dòng)，同時(shí)基質(zhì)吸附也不再是簡單的單組分氣體吸附以及由此導(dǎo)致的復(fù)雜形變。為刻畫上述特征，構(gòu)建了全流固耦合、全組分、多相、多過程的煤層氣強(qiáng)化采收數(shù)學(xué)模型。

1.1 流動(dòng)模型

充分考慮煤層各組分（H2O，CO2，N2，CH4等）在氣液兩相之間的物質(zhì)交換，建立了煤層氣全組分流動(dòng)模型，即組分的相間分布處于熱動(dòng)力平衡狀態(tài)，由閃蒸運(yùn)算量化確定。如此，流動(dòng)模型由質(zhì)量守恒方程、達(dá)西滲流方程、相間逸度平衡方程構(gòu)成，分別為質(zhì)量守恒方程：

水組分：

第i種氣組分（i=CH4,CO2,N2,......）：

煤巖：

達(dá)西滲流方程：

對于可形變儲層，達(dá)西定律定義為流體對固相的相對速度。

逸度平衡方程：

式中：ρ為密度，kg/m3；K為滲透率，mD；Kr為相對滲透率；Φ為水或氣相的勢，Pa；S為飽和度；q為源匯項(xiàng)，s-1；V為速度，m/s；μ為黏度，mPa·s；φ為孔隙度；t為時(shí)間，s；i為組分編號；ψi,w與ψi,g分別為組分i在液相與氣相中的逸度，Pa；xi與yi分別為組分i在液相與氣相中的摩爾分?jǐn)?shù)；下標(biāo)f，m，w，g 及s 分別為裂縫、基質(zhì)、水相、氣相以及固相；為基質(zhì)與裂縫之間的物質(zhì)交換量，kg/（m·s）；?與??分別為梯度與散度算子。

計(jì)算氣液相各組分逸度時(shí)，Peng-Robinson 狀態(tài)方程按照Soriede等［12］方法進(jìn)行改進(jìn)。

將達(dá)西滲流方程式（4）、式（5）代入式（1）和式（2），同時(shí)考慮煤巖體應(yīng)變e的導(dǎo)數(shù)-偏導(dǎo)數(shù)關(guān)系de/dt=?e/?t+（Vs·?）及de/dt=d（?·u）/dt=?·Vs。因Vs·?較小，de/dt≈?e/?t，因此，流動(dòng)模型可進(jìn)一步簡化為

式中：e為煤巖體積應(yīng)變量。

1.2 多組分氣體吸附

目前煤巖基質(zhì)多組分氣體吸附的模型包括擴(kuò)展朗格繆爾模型［13］、理想吸附模型［14］、二維狀態(tài)方程模型（2D EOS 模型）［15］等，其中擴(kuò)展朗格繆爾模型形式簡單，應(yīng)用較為廣泛，這里沿用該模型，同時(shí)忽略水蒸汽吸附［16］，則有

式中：pLi為組分i的朗格繆爾壓力系數(shù)，kPa；VLi為組分i的朗格繆爾體積，m3/m3；yi為氣相中組分i的摩爾分?jǐn)?shù)；Ci()yi,pg為組分i在基質(zhì)表面平衡吸附濃度，m3/m3；pg為儲層孔隙中氣相壓力，kPa。

1.3 基質(zhì)膨脹/收縮應(yīng)變

Robertson 等［17］研究了單組分氣體吸附引起的基質(zhì)體應(yīng)變量與氣壓之間的關(guān)系，提出Langmuir 類型的經(jīng)驗(yàn)公式：

式中：εL為朗格繆爾應(yīng)變量，m3/m3；es為基質(zhì)體應(yīng)變，m3/m3；pL為單組分氣體的朗格繆爾壓力系數(shù)，kPa。

考慮單組分氣體吸附同樣為朗格繆爾類型，可以得出基質(zhì)體應(yīng)變與吸附濃度之間關(guān)系為

Shi 等［8］和Cui 等［18］將式（11）關(guān)系擴(kuò)展到多組分氣體吸附應(yīng)變情形，得到

式中：Nc 為氣體組分總數(shù)；Ci為組分i在基質(zhì)中的平均濃度，m3/m3。

1.4 地質(zhì)力學(xué)模型

將煤巖視作各向同性彈性孔隙介質(zhì)［2］，同時(shí)將基質(zhì)膨脹/收縮作用按照相似性等效為熱膨脹［19-22］，建立了煤層氣強(qiáng)化采收地質(zhì)力學(xué)方程，包括本構(gòu)方程、應(yīng)變-位移關(guān)系以及動(dòng)量矩守恒方程。

對于多孔介質(zhì)，有效應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)方程為

應(yīng)變-位移關(guān)系為

動(dòng)量矩守恒方程為

式中：T為總應(yīng)力張量，kPa；Γ為應(yīng)變張量，m/m；I為單位張量；αf為Biot 系數(shù)為孔隙壓力Swfpwf+Sgfpgf，kPa；E，G與λ分別為楊氏模量、剪切模量和拉梅系數(shù)，kPa；u為位移，m。

式（13）—（15）經(jīng)過數(shù)學(xué)簡化后可寫為

1.5 擴(kuò)散模型

氣組分在基質(zhì)中的運(yùn)移以擴(kuò)散方式進(jìn)行，滲流可忽略不計(jì)，因而采用擬穩(wěn)態(tài)非平衡擴(kuò)散模型來描述，即菲克第一定律：

式中：τi為組分i的解吸時(shí)間，d。

式中：ρsc為標(biāo)準(zhǔn)狀況下的摩爾密度，mol/m3。

1.6 孔隙度及滲透率模型

孔隙度和滲透率是影響煤層中氣體運(yùn)移、煤層氣產(chǎn)量以及CO2埋存量的關(guān)鍵因素。刻畫煤層氣初采及強(qiáng)化采收過程中滲透率的改變，需要綜合考慮有效應(yīng)力效應(yīng)及基質(zhì)膨脹/收縮作用?？紫抖?滲透率可表示為是孔隙壓力、基質(zhì)膨脹/收縮量及煤巖體應(yīng)變的函數(shù)［2］：

式中：cpf為裂縫壓縮系數(shù)，kPa-1；Kb為煤巖體積模量，kPa；βf是另一Biot 系數(shù)。

將煤巖幾何結(jié)構(gòu)簡化為火柴束模型［23-25］，則滲透率與孔隙度為指數(shù)關(guān)系：

至此，構(gòu)建了適用于ECBM 及CO2埋存的全流固耦合模型，然后采用全隱式有限差分方法數(shù)值求解煤儲層全流固耦合模型，得到了全流固耦合、全組分、多相多過程的CBM/ECBM 模擬算法?？刂品匠贪鲃?dòng)模型［式（7）、式（8）、式（3）、式（6）］、地質(zhì)力學(xué)模型［式（16）］、擴(kuò)散方程［式（17）］。主要未知量包括液相壓力pwf、液相飽和度Swf、各組分摩爾分?jǐn)?shù)（x1，x2，...，xNc-1以及y1，y2，...，yNc-1）、氣組分吸附濃度Ci以及體應(yīng)變e。

2 模型準(zhǔn)確性驗(yàn)證

通過與煤層氣常用商業(yè)軟件GEM，Eclipse 以及Coalgas 的模擬結(jié)果進(jìn)行對比和分析來驗(yàn)證所開發(fā)模型的準(zhǔn)確性。選取注CO2強(qiáng)化煤層氣采收（CO2-ECBM）作為算例，儲層參數(shù)取自鄂爾多斯某煤層真實(shí)參數(shù)，氣體吸附參數(shù)、井控條件、煤層力學(xué)強(qiáng)度等輸入?yún)?shù)如表1 所列，氣液相對滲透率如圖1 所示，分別運(yùn)行GEM，Eclipse，Coalgas 以及所開發(fā)的全流固耦合模型及算法（標(biāo)注為“OurSim”）。

表1 模擬輸入?yún)?shù)Table 1 Input data of simulation

圖1 相對滲透率曲線Fig.1 Relative permeability curves

2.1 忽略流固耦合作用情形

考慮煤層氣常用商業(yè)軟件所用的流固耦合模型與本文有較大不同，為此首先忽略有效應(yīng)力效應(yīng)及基質(zhì)膨脹/收縮效應(yīng)對孔隙度/滲透率的影響（即不考慮流固耦合作用，孔隙度與滲透率維持不變）。

不考慮流固耦合作用時(shí)各模擬器注采指標(biāo)模擬結(jié)果如圖2 所示。圖2（a）為注CO2強(qiáng)采條件下的煤層氣產(chǎn)量，此外還添加了初采煤層氣產(chǎn)量作為對比。與初采相比，CO2的注入收到了明顯的煤層氣強(qiáng)化采收效果，效果一直持續(xù)到CO2突破，突破時(shí)間約為60 d［圖2（b）］。從產(chǎn)氣量中CO2與CH4所占的體積分?jǐn)?shù)［圖2（c）］可看出，CH4含量隨著CO2的突破急劇下降至0，而CO2急劇增長至100%，此為CO2-ECBM 的重要特征，CO2優(yōu)先吸附于煤基質(zhì)并將CH4剝離，具有驅(qū)替效率高、多種氣體混產(chǎn)時(shí)間短的特點(diǎn)。整體而言，對于煤層氣產(chǎn)量、生產(chǎn)氣組分模擬結(jié)果，OurSim與GEM，Eclipse，Coalgas 軟件結(jié)果均吻合較好，初步驗(yàn)證了所構(gòu)建模型的準(zhǔn)確性。

圖2 不考慮流固耦合作用時(shí)各模擬器注采指標(biāo)模擬結(jié)果對比Fig.2 Simulation results without coupled fluid flow and geomechanics effects between simulators

CO2產(chǎn)量和氣體總產(chǎn)量［圖2（b）］與注入井井底壓力［圖2（d）］在CO2突破之前吻合效果很好，之后會出現(xiàn)一定偏離，OurSim 結(jié)果顯示CO2產(chǎn)量和氣體總產(chǎn)量在70～100 d 均劇烈上升，之后緩慢下降到穩(wěn)定值，而其它軟件結(jié)果是氣體產(chǎn)量連續(xù)且單調(diào)地增長。這主要是由于所采用的流動(dòng)模型不同所造成的，所研發(fā)的模型采用全組分流動(dòng)模型，既考慮了氣體溶解作用也考慮了水分蒸發(fā)作用，而其他軟件采用擬黑油模型，完全忽略了氣液之間的物質(zhì)交換。進(jìn)一步綜合生產(chǎn)井網(wǎng)格水飽和度以及孔隙壓力隨時(shí)間變化情況（圖3）以及氣液相對滲透率曲線（圖1）進(jìn)行分析后得出：當(dāng)CO2突破后，液相因其飽和度已經(jīng)降低至15% 而較難流動(dòng)，商業(yè)軟件GEM，Eclispe 與Coalgas 不考慮水分蒸發(fā)，所以液相飽和度變化緩慢，尤其是在100 d 之后，氣相相對滲透率值基本穩(wěn)定在0.70；OurSim 考慮水分揮發(fā)作用，在持續(xù)CO2氣驅(qū)及揮發(fā)作用下液相飽和度迅速降至0，相應(yīng)氣相相對滲透率迅速由0.60 增至1.00。當(dāng)前情況下，各模擬器間生產(chǎn)井孔隙壓力基本相同，氣產(chǎn)量決定于流度，因而OurSim 產(chǎn)氣量迅速增長。OurSim 在100 d 之后孔隙壓力的小幅下降則是因氣產(chǎn)量大于注入量，儲層能量降低所造成的，進(jìn)而導(dǎo)致氣產(chǎn)量最終有所回落。

圖3 不考慮流固耦合作用時(shí)各模擬器生產(chǎn)井網(wǎng)格含水飽和度與孔隙壓力隨時(shí)間變化情況Fig.3 Water saturation and pore pressure of producer block without coupled fluid flow and geomechanics effects between simulators

2.2 考慮流固耦合作用情形

GEM，Eclipse 以及Coalgas 均采用解析流固耦合模型，然而具體模型本身又有所區(qū)別，其中GEM與Eclipse 采用Palmer 模型，Coalgas 采用ARI 模型。文中所開發(fā)的是全流固耦合模型，與前述商業(yè)軟件模擬器存在較大差異，需要引入描述地質(zhì)形變的地質(zhì)力學(xué)方程，計(jì)算結(jié)果標(biāo)為“OurSim”。模擬輸入?yún)?shù)仍采用表1 所列參數(shù)，煤巖楊氏模量為1.999 GPa，泊松比為0.39，CO2和CH4的朗格繆爾體應(yīng)變?yōu)?.011 76。

各模擬器計(jì)算結(jié)果對比情況如圖4 所示，不同模型計(jì)算得到的產(chǎn)氣剖面之間存在較大差異。以煤層氣產(chǎn)量為例，全流固耦合模型開發(fā)前期產(chǎn)量明顯高于解析耦合模型，但前者后期產(chǎn)量明顯低于后者，可見準(zhǔn)確刻畫流固耦合作用對準(zhǔn)確預(yù)測孔滲參數(shù)及生產(chǎn)動(dòng)態(tài)至關(guān)重要，此為開發(fā)全流固耦合數(shù)學(xué)模型的初衷。以Palmer 模型為例，OurSim 氣產(chǎn)量結(jié)果與GEM 相同，但異于Eclipse；Eclipse 結(jié)果與Coalgas（采用ARI 模型）結(jié)果相近。通過剖析，模擬器結(jié)果之間的差異源于對于多組分氣體吸附引起的基質(zhì)應(yīng)變量的處理方式，OurSim 與GEM 均依據(jù)裂縫中游離態(tài)氣相各組分摩爾分?jǐn)?shù)計(jì)算基質(zhì)應(yīng)變量，而Eclipse 則依據(jù)基質(zhì)吸附態(tài)各組分的摩爾分?jǐn)?shù)進(jìn)行計(jì)算。

圖4 考慮流固耦合作用時(shí)各模擬器產(chǎn)氣量對比Fig.4 Comparison of gas production rate with coupled fluid flow and geomechanics effects between simulators

3 模型應(yīng)用

應(yīng)用所開發(fā)的全流固耦合模型對煤層氣藏實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了歷史擬合。選用公開報(bào)道的數(shù)據(jù)相對完整的加拿大阿爾伯塔芬恩大峽谷（Alberta Fenn Big Valley）單井復(fù)雜煙道氣注入試井試驗(yàn)，包括3 個(gè)階段：（1）注入煙道氣（N2和CO2的體積分?jǐn)?shù)分別為87.5%和12.5%）；（2）關(guān)井降壓；（3）煤層氣生產(chǎn)。輸入?yún)?shù)（包括煤層特征參數(shù)、井底壓力、煙道氣注入量）已有很好的總結(jié)［3］，此處不再贅述，值得注意的是注入煙道氣的氣體組成隨注入呈階梯狀變化。圖5（a）為煙道氣注入量與井底壓力隨時(shí)間的變化情況，注入量存在較大變動(dòng)，但井底壓力（l psi=6.895 kpa）基本上不變，總計(jì)有8.34 萬m3（2 946 Mscf）煙道氣被注入煤層，為便于與原文數(shù)據(jù)比較，仍采用英制單位。

進(jìn)行歷史擬合時(shí)，將波動(dòng)較小的注入井井底壓力作為輸入?yún)?shù)，而煙氣注入量作為被擬合量，所要擬合的參數(shù)包括各氣組分（CO2，CH4，N2）的基質(zhì)膨脹系數(shù)，定義為朗格繆爾應(yīng)變量與朗格繆爾吸附體積的比值（eL/VL）。當(dāng)值為0.000 38 m3/m3，0.000 32 m3/m3，以及0.000 23 m3/m3時(shí)，獲得了煙道氣注入量較好的擬合結(jié)果［圖5（b）］，此時(shí)累積注入量為8.62萬m3（3 043 Mscf），與實(shí)際注入量8.34萬m3（2 946 Mscf）的誤差僅3.35%。Cui［26-27］通過實(shí)驗(yàn)測量總結(jié)出加拿大煤樣對CO2，CH4，N2基質(zhì)膨脹系數(shù)分別為0.000 31～0.000 64 m3/m3，0.000 30～0.000 42 m3/m3，0.000 21～0.000 28 m3/m3，擬合結(jié)果在實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果范圍內(nèi)。由此可見，模型擬合結(jié)果是合理的，同時(shí)進(jìn)一步檢驗(yàn)與驗(yàn)證了全流固耦合模型準(zhǔn)確性與可靠性。

圖5 全流固耦合模型礦場歷史擬合結(jié)果Fig.5 History matching results of fully coupled fluid flow and geomechanics model

4 結(jié)論

（1）構(gòu)建了適用于強(qiáng)化煤層氣采收（ECBM）和CO2地質(zhì)埋存的全流固耦合數(shù)學(xué)模型，引入多孔介質(zhì)地質(zhì)力學(xué)本構(gòu)方程和全組分流動(dòng)方程：前者綜合考慮了煤層特有的多組分氣體吸附/解吸條件下的基質(zhì)膨脹/收縮作用以及有效應(yīng)力效應(yīng)，可更好地刻畫復(fù)雜流固耦合作用下固相形變行為，獲得較解析耦合模型更準(zhǔn)確的孔滲參數(shù)預(yù)測結(jié)果；后者充分考慮了包括水組分在內(nèi)的氣液相間物質(zhì)交換，并引入修正后的Peng-Robinson 狀態(tài)方程實(shí)現(xiàn)物質(zhì)相間分布的準(zhǔn)確量化。

（2）開發(fā)了基于全隱式有限差分的煤層氣藏強(qiáng)化采收全流固耦合數(shù)值模擬算法，獲得了全流固耦合、全組分、多相多過程ECBM 模擬器，并且通過與常用煤層氣模擬軟件（GEM，Eclipse，Coalgas）較系統(tǒng)地對比剖析，驗(yàn)證了數(shù)學(xué)模型及算法的準(zhǔn)確性與可靠性。

（3）應(yīng)用所開發(fā)的全流固耦合模型對加拿大FBV 4 A井注煙道氣強(qiáng)化采收礦場試驗(yàn)進(jìn)行了成功歷史擬合，擬合精度在90%以上，進(jìn)一步證實(shí)了其現(xiàn)場應(yīng)用價(jià)值。