劉曉旭, 曲智林

(東北林業(yè)大學(xué) 理學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150040)

自從Zadeh[1]發(fā)表關(guān)于模糊集的開創(chuàng)性論文之后,模糊數(shù)學(xué)的理論和應(yīng)用均得到了廣泛而深入的研究.模糊回歸分析由Tanaka等[2]引入,其認(rèn)為模糊數(shù)據(jù)是一種可能性分布,觀測值與估計值之間的偏差由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的模糊性所致.之后D’urso等[3]、Jiang等[4]和Güler[5]以模糊集理論為基礎(chǔ)研究了不同的模糊回歸模型.Li等[6]和Chen等[7]給出模糊線性模型參數(shù)估計的2種方法:線性規(guī)劃法及最小二乘法.這些模糊回歸模型往往用于處理語言變量這類的模糊數(shù).

模糊非參平滑技術(shù)近年來也取得了顯著的發(fā)展,平滑技術(shù)對于處理非參數(shù)回歸問題特別有效.Petit-Renaud等[8]運(yùn)用模糊數(shù)的信念函數(shù)進(jìn)行非參回歸分析;Cheng等[9]和Choi等[10]將k近鄰和平滑方法擴(kuò)展到模糊非參回歸,然而在統(tǒng)計中這2種方法嚴(yán)重受到邊界效應(yīng)的影響.

半?yún)⒉糠志€性模型是參數(shù)模型和非參數(shù)模型之間的一種折中.Hesamian[11]將半?yún)⒉糠志€性模型擴(kuò)展到模糊環(huán)境中,利用有約束的線性規(guī)劃對模糊系數(shù)進(jìn)行估計,但卻沒有給出模糊系數(shù)估計的顯式表達(dá)式;并采用k近鄰的方法對模糊光滑函數(shù)進(jìn)行估計,但是眾所周知k近鄰嚴(yán)重受到邊界效應(yīng)的影響.所以本文基于此對上述模糊半?yún)⒉糠志€性模型進(jìn)行改進(jìn),提出了含有精確輸入、模糊輸出、模糊系數(shù)、模糊光滑函數(shù)的模糊半?yún)⒉糠志€性模型.

1 基本理論

式中L,R:+→[0,1]都是左連續(xù)非增函數(shù),則稱為LR型模糊數(shù).L(x)和R(x)分別稱為左右形狀函數(shù),a∈叫作的中心值,la,ra∈+分別叫做的左、右擴(kuò)散,記LR模糊數(shù)為

定義4 如果一個矩陣中的元素都是LR模糊數(shù)的形式,稱這個矩陣為LR模糊矩陣.

定義5 2個LR模糊矩陣和一個實(shí)數(shù)矩陣t:

1) 模糊矩陣加減定義為

2) 實(shí)數(shù)矩陣乘模糊矩陣定義為

式中ωm,ωl,ωr>0為權(quán)重.

為了確定模型的權(quán)重,常常采用以下2種核函數(shù):

1) Gauss[16]核

2) Epanechnikov[16]核

2 模糊半?yún)⒉糠志€性模型及其估計方法

2.1 模糊半?yún)⒉糠志€性模型

(1)

2.2 模糊光滑函數(shù)的估計

估計出的模糊輸出的隸屬函數(shù)應(yīng)該盡可能接近相應(yīng)觀察到的模糊數(shù)的隸屬函數(shù).從這點(diǎn)出發(fā),采用模糊數(shù)之間的距離測度來間接地表示模糊輸出的估計值與實(shí)際觀測值的差異.

(2)

式(2)等價于

(3)

為了方便推導(dǎo)將其轉(zhuǎn)化成為矩陣的形式,

(4)

式中:

式(4)L()對未知參數(shù)求導(dǎo),令其為0,得到在x0鄰域內(nèi)的估計值為

則3組待估參數(shù)(c(x0),c′(x0)),(l(x0),l′(x0)),(r(x0),r′(x0))的估計值可以表示為

令

H(x0;h)=(XT(x0)W(x0;h)X(x0))-1XT(x0)W(x0;h).

2.3 模糊系數(shù)的估計

(6)

為了推導(dǎo)方便,將式(6)轉(zhuǎn)化成矩陣形式

式中:

則有

式中D=eTH(X;h).

(7)

式中:P=tTDt+tTDTt-tTt-tTDTDt;S=tTDT+tTD-tTDTD-tT.

同理,令x0分別為設(shè)計點(diǎn)x1,x2,…,xn,就可以得到各點(diǎn)處模糊光滑函數(shù)估計值.

3 帶寬的選取

在經(jīng)典的統(tǒng)計問題中,常用來確認(rèn)帶寬h的方法有廣義交叉驗(yàn)證GCV[17],風(fēng)險估計[18],Bootstrap[19]等,在本文中采用模糊環(huán)境下的留一交叉驗(yàn)證方法.

4 擬合度的評判標(biāo)準(zhǔn)

模糊回歸問題中模糊非參項擬合程度的度量采用GOF和BIAS 2種方法[20]:

二者的值越小,代表模糊非參項的擬合效果越好.RBIAS相對于RGOF的取值要更加精確,因?yàn)樗簧婕暗搅四：菂㈨?但是此方法只適用于模擬的情況下.

為了評價本文模型整體的擬合情況,給出幾種評測模型擬合度的指標(biāo)[20].

1) 均方誤差(MSEe):

2) 平均百分比誤差(MPEe):

3) 平均絕對百分比誤差(MAPEe):

4) 對稱平均絕對百分比誤差(SMAPEe):

這4種擬合度的指標(biāo)都是關(guān)于模型整體擬合程度的一種測量,通過計算模糊響應(yīng)變量的估計值與其觀測值之間的差別來度量整體的擬合程度.

5 模擬分析

假設(shè)模型中含有3個解釋變量t1,t2,x.

所估計的模糊光滑函數(shù)應(yīng)該盡可能地接近上述函數(shù).

一共產(chǎn)生25 組樣本數(shù)據(jù),響應(yīng)變量的數(shù)據(jù)構(gòu)造形式為

yi=g(xi)+1.103 1ti1+0.321 5ti2+rand[-0.5,0.5].

rand[a,b]為在(a,b)區(qū)間上的隨機(jī)數(shù).

本文為了方便構(gòu)造樣本數(shù)據(jù),假設(shè)模糊輸出為對稱的三角模糊數(shù),表現(xiàn)形式為(yi,yi-σi,yi+σi)T,其中

σi代表的是觀測值的左右擴(kuò)散,這樣形成的25組具有精確輸入模糊輸出的樣本數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 模糊樣本數(shù)據(jù)Table 1 Data of Fuzzy samples

為了評測本文的估計方法,對25組樣本數(shù)據(jù)的擬合度,給出評判標(biāo)準(zhǔn)的計算結(jié)果如表2所示.

表2 擬合度的計算結(jié)果Table 2 Calculation results of goodness of fit

由表2可見,本文所提出的模型以及兩步估計的參數(shù)估計方法對模型的擬合程度是比較高的.

6 結(jié) 論

本文將經(jīng)典的半?yún)⒉糠志€性模型推廣到了具有精確輸入、模糊系數(shù)、模糊光滑函數(shù)、模糊輸出的模糊環(huán)境下的模糊半?yún)⒉糠志€性模型.運(yùn)用2步估計法對模糊光滑函數(shù)以及模糊參數(shù)進(jìn)行估計,為此在模糊環(huán)境中采用了局部線性光滑技術(shù)對模糊光滑函數(shù)進(jìn)行估計,有效避免了邊緣效應(yīng)的產(chǎn)生;采用基于歐氏距離下的模糊最小二乘方法對模糊系數(shù)進(jìn)行估計.基于以上的2步估計法,成功地推導(dǎo)出模糊光滑函數(shù)及模糊系數(shù)的顯性表達(dá)式.采用交叉驗(yàn)證的方法選擇最佳帶寬,運(yùn)用的核函數(shù)及模糊距離公式在模擬數(shù)據(jù)集上得到了較好的回歸結(jié)果.本文提出了評判模型擬合優(yōu)度的一些標(biāo)準(zhǔn),模擬分析的結(jié)果表明該模型在仿真研究基礎(chǔ)上是可靠的,因此為實(shí)際研究的發(fā)展提供了更加靈活的模型.