吳榮興,王曉明,鄭 東

(1.寧波職業(yè)技術(shù)學(xué)院 建筑工程學(xué)院，浙江 寧波 315800; 2.寧波大學(xué) 機械與力學(xué)學(xué)院，浙江 寧波 315211)

0 引 言

各類聲表面波氣體、質(zhì)量和偏場傳感器已被廣泛應(yīng)用于各種復(fù)雜環(huán)境下的檢測工作[1～3]。主要工作原理是通過聲學(xué)和電學(xué)參數(shù)的測量來推定所處環(huán)境因素或物質(zhì)特性[3～7]。過去認(rèn)為聲表面波在液體檢測中由于存在嚴(yán)重能量衰減，無法檢測其有效信號，目前證明可以將聲表面波技術(shù)應(yīng)用于微流體的特性檢測[8]。在慣性傳感器領(lǐng)域，理論研究表明哥氏力對聲表面波的傳播有抑制作用，并且存在著對應(yīng)關(guān)系，可以用來檢測旋轉(zhuǎn)場的旋轉(zhuǎn)頻率[9,10]。大部分聲表面波陀螺效應(yīng)傳感器所建的模型都是基于半無限大各向同性彈性體結(jié)構(gòu)，而真實的壓電聲波器件往往采用各向異性的壓電材料組成的層狀板型結(jié)構(gòu)[11,12]。雖然實驗研究結(jié)果顯示陀螺效應(yīng)對聲表面波傳播有著顯著影響，但是實驗樣機的分辨率和精度都無法滿足傳感器要求[13]。因此,完整建立更為真實的壓電聲波陀螺效應(yīng)傳感器模型和精確分析成為一項迫切的工作。

這里分析了聲表面波在考慮旋轉(zhuǎn)場作用下的半無限石英晶體和無限大石英晶體板內(nèi)的傳播特性，獲得了波速、板厚、旋轉(zhuǎn)軸角度和旋轉(zhuǎn)頻率之間的對應(yīng)關(guān)系，為實際聲表面波陀螺效應(yīng)傳感器的研制提供了理論指導(dǎo)。

1 半無限大石英晶體的聲表面波

聲表面波在考慮旋轉(zhuǎn)場作用下的石英晶體板內(nèi)傳播如圖1所示。旋轉(zhuǎn)場的旋轉(zhuǎn)頻率為Ω，旋轉(zhuǎn)軸與x1軸的夾角為θ。首先考慮底部是半無限大石英晶體的情況。

圖1 帶旋轉(zhuǎn)場的石英晶體板

當(dāng)聲表面波在半無限大石英晶體內(nèi)沿著x1方向傳播時[14,15]，位移和電勢可以假設(shè)為

u1=A1ekβx2eik(x1-ct),u2=A2ekβx2eik(x1-ct),

u3=A3ekβx2eik(x1-ct),φ=A4ekβx2eik(x1-ct)

(1)

式中u1(u2,u3),φ,A1(A2,A3,A4),k,β,x1(x2),c和t分別為聲表面波的位移、電勢、振幅、波數(shù)、衰減系數(shù)、坐標(biāo)、波速和時間變量。

基于式(1)的位移假設(shè)，獲得應(yīng)變和電場分量為

S1=iku1,S2=kβu2,S3=0,

S4=kβu3,S5=iku3,S6=kβu1+iku2,

E1=-ikφ,E2=-kβφ,E3=0

(2)

式中Sp(p=1,2,…,6)和E1(E2,E3)為各方向的應(yīng)變和電場分量。

基于應(yīng)變和電場分量式(2)，可以得到應(yīng)力和電位移分量為

Tp=k[(cp 6β+icp1)u1+(cp 2β+icp 6)u2+

(cp 4β+icp 5)u3+(e2pβ+ie1p)φ],

Dj=k[(ej 6β+iej 1)u1+(ej 2β+iej 6)u2+

(ej 4β+iej 5)u3+(εj 2β+iεj 1)φ],

p=1,2,3,4,5,6,j=1,2,3

(3)

式中Tp,Dj,cpq(q=1,2,…,6),ejp和εij(1,2,3)分別為各方向應(yīng)力、電位移、石英晶體材料的彈性常數(shù)、壓電常數(shù)和介電常數(shù)[8]。

考慮旋轉(zhuǎn)場作用下半無限大石英晶體的運動方程為[12]

(4)

將應(yīng)力和電位移表達式(3)代入運動方程式(4)，經(jīng)整理后得到關(guān)于A1(A2,A3,A4)的方程組。如這些振幅存在非零解，必須要求振幅A1(A2,A3,A4)的系數(shù)行列式的值為零。這樣可以獲得關(guān)于衰減系數(shù)β的4對解，取其沿著深度方向呈衰減的衰減系數(shù)[14,15]，重寫位移和電勢如下

(5)

式中A4n(n=1,2,3,4)和βn為新定義的振幅和獲得的衰減系數(shù)。

根據(jù)新位移和電勢式(5)，基于式(3)，重寫應(yīng)力和電位移表達式。當(dāng)聲表面波在如圖1所示的半無限大石英晶體內(nèi)沿著x1方向傳播時，必須滿足力學(xué)邊界條件[14,15]。同時對于石英晶體這一壓電彈性體，除了滿足力學(xué)邊界條件外，還應(yīng)該滿足電學(xué)邊界條件[14,15]。全部邊界條件如下

T2=T4=T6=D2=0,x2=0

(6)

將新的應(yīng)力和電位移表達式代入邊界條件表達式(6)，可以得到振幅A4n的四個方程組。若聲表面波存在非零解，必然要求其系數(shù)行列式的值為零，這樣就建立了聲表面波的波速方程?？梢苑謩e繪制出繞x1軸和x2軸的旋轉(zhuǎn)頻率和聲表面波波速的關(guān)系曲線如圖2所示。這里選用的石英晶體切型為傳感器領(lǐng)域常用的ST切型，其材料參數(shù)見文獻[8]。

圖2 半無限大石英晶體的波速—旋轉(zhuǎn)頻率曲線

在實際工作環(huán)境中，并不能確定旋轉(zhuǎn)場的旋轉(zhuǎn)軸與聲表面波傳播方向的角度?？梢赃M一步繪制在一定旋轉(zhuǎn)頻率下，即Ω/c0=500時，聲表面波波速和旋轉(zhuǎn)軸角度之間的關(guān)系如圖3所示。

圖3 半無限大石英晶體的波速—旋轉(zhuǎn)軸角度的關(guān)系曲線

從圖3可以發(fā)現(xiàn)，隨著旋轉(zhuǎn)軸角度的變化，聲表面波波速也發(fā)生變化。在實際應(yīng)用中，不僅需要檢測出旋轉(zhuǎn)場的旋轉(zhuǎn)頻率，也需要檢測出旋轉(zhuǎn)軸角度。結(jié)合圖2和圖3，可以進行聯(lián)立求解，確定旋轉(zhuǎn)場的旋轉(zhuǎn)頻率和旋轉(zhuǎn)軸角度[14,15]。

本研究初步納入了2015年1月至2017年1月期間就診于上海市浦東醫(yī)院眼科的患者82例（100眼），于2015年1月獲得上海市浦東醫(yī)院倫理委員會批準(zhǔn)（批號：LW2015-001），遵循赫爾辛基宣言。所有患者均告知檢查目的及檢查內(nèi)容，手術(shù)前均簽署手術(shù)知情同意書。

2 無限大石英晶體板的聲表面波

當(dāng)聲表面波在圖1所示的無限大石英晶體板內(nèi)傳播時，其位移將會呈現(xiàn)出板波的形式[16]。因此,運動方程式(4)獲得的衰減系數(shù)將全部應(yīng)用到新的位移和電勢假設(shè)。按照式(5)和式(3)可以寫出新的位移、電勢、應(yīng)力和電位移表達式。

對于如圖1所示的半無限大石英晶體板的上下表面，其應(yīng)力和電位移邊界條件如下

T2=T4=T6=D2=0,x2=0,

T2=T4=T6=D2=0,x2=-h

(7)

式中h為石英晶體板的板厚。為了計算簡單，對石英晶體板厚度進行如下歸一化處理

H=h/ξ,kξ=2π,kh=2πH

(8)

式中H和ξ分別為石英晶體板的歸一化厚度和聲表面波波長，這里無限大板的材料仍然取ST切石英晶體作為研究對象。

從圖4～圖5可以發(fā)現(xiàn)，聲表面波在無限大石英晶體板內(nèi)傳播時，出現(xiàn)了兩個聲表面波波速，并且隨著石英晶體板厚度的增加，波速的上下分支逐漸接近。這一計算結(jié)果符合過去的研究和實驗結(jié)果[14,15]。同樣隨著旋轉(zhuǎn)頻率的增加，石英晶體板內(nèi)各聲表面波波速都在減小。與半無限大石英晶體的結(jié)果類似，繞軸旋轉(zhuǎn)時的波速減小趨勢更快，并且相應(yīng)的線性關(guān)系可以應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)場的傳感[10～12]。這里建立的模型更加符合實際傳感器的層狀板型結(jié)構(gòu)。

圖4 半無限大石英晶體板的波速—旋轉(zhuǎn)頻率曲線(三個波長)

圖5 半無限大石英晶體板的波速—旋轉(zhuǎn)頻率曲線(四個波長)

3 結(jié) 論

通過對考慮陀螺效應(yīng)的聲表面波傳播方程的求解，獲得了聲表面波波速、旋轉(zhuǎn)頻率和旋轉(zhuǎn)軸角度之間的關(guān)系曲線圖。研究結(jié)果表明：旋轉(zhuǎn)場對于聲表面波的傳播都有著顯著影響，特別是繞聲表面波傳播方向旋轉(zhuǎn)時影響效果更為明顯。當(dāng)聲表面波在無限大石英晶體板傳播時，隨著板厚的增加，聲表面波波速逐漸趨向于無限大的情況。這里所建的模型為考慮壓電效應(yīng)的層狀結(jié)構(gòu)，更符合實際的聲表面波壓電器件分析模型。