侯孟瑋，王健安，趙志誠

(太原科技大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，太原 030024)

由于通信網(wǎng)絡(luò)以及分布式控制的快速發(fā)展，對于多智能體系統(tǒng)一致性的研究，在控制領(lǐng)域占據(jù)著重要的位置。一個多智能體系統(tǒng)是指一組在網(wǎng)絡(luò)環(huán)境中工作，并且具有多個自主性個體的系統(tǒng)。為了實(shí)現(xiàn)一定的全局控制目標(biāo)，從而設(shè)計系統(tǒng)的策略，吸引了許多控制工程師的關(guān)注。某些全局控制目標(biāo)之一是一致性，這意味著個體可以在合適的控制算法下就某些利益達(dá)成一致。研究發(fā)現(xiàn)，在網(wǎng)絡(luò)環(huán)境中，一群個體可以一起完成一些復(fù)雜的任務(wù)，而不能單獨(dú)完成它們。因此一致性是指每個智能體通過通信網(wǎng)絡(luò)并利用一種控制策略，使整個系統(tǒng)在位置或者速度上趨于漸近相同。而控制策略的設(shè)計是實(shí)現(xiàn)一致性的關(guān)鍵。

基于采樣控制在多智能體系統(tǒng)中的應(yīng)用，近幾年專家學(xué)者們針對采樣系統(tǒng)的研究也頗為廣泛并獲得的了許多重要的成果。因為在實(shí)際中，控制器和網(wǎng)絡(luò)常常無法以任意快的速度計算和傳遞信息，采用采樣控制使得控制器僅需綜合控制處理采樣時刻的信息，可降低控制器的更新頻率。在文獻(xiàn)[1-7]中，分別針對線性、非線性多智能體系統(tǒng)研究了在采樣控制下的一致性問題。例如，文獻(xiàn)[1]針對線性系統(tǒng)在固定通信拓?fù)淝闆r下，運(yùn)用矩陣?yán)碚撘约癏urwitz穩(wěn)定性理論證明出了使多智能體系統(tǒng)達(dá)到采樣一致的充要條件；在文獻(xiàn)[4]中對于一階非線性多智能體系統(tǒng)，利用一種非周期采樣控制協(xié)議并結(jié)合時滯輸入的方法，使系統(tǒng)達(dá)到一致。采樣控制策略固然能降低控制器的更新頻率，但控制器在每個控制時間段內(nèi)依然要連續(xù)工作。

因此基于實(shí)際應(yīng)用為降低控制器的工作時間，間歇控制策略被廣泛用于工程系統(tǒng)的控制之中。文獻(xiàn)[8]將所研究的多智能體系統(tǒng)的一致性問題，通過采用間歇控制策略轉(zhuǎn)變?yōu)殡x散系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性問題。而通常按照控制周期的劃分，間歇控制策略又存在周期與非周期兩種工作形式。文獻(xiàn)[9-12]研究了多智能體系統(tǒng)在周期間歇控制策略下的一致性問題。盡管間歇控制策略可以減少控制器的工作時間，但是控制器需要在每個控制時間內(nèi)連續(xù)不斷的更新信息。

在文獻(xiàn)[13]中，作者針對線性多智能體系統(tǒng)提出了一種間歇采樣控制策略，不僅降低了控制器的更新頻率而且減少了工作時間。但由于沒有考慮非線性系統(tǒng)的情況，由此導(dǎo)出的一致性條件也有其自身局限性。在上述分析的基礎(chǔ)上，本文針對非線性多智能體系統(tǒng)，將采樣與間歇控制相結(jié)合，并通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，獲得系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)一致的充分性條件。最后利用數(shù)值仿真驗證了理論結(jié)果的有效性。

1 模型建立

1.1 問題描述

考慮如下系統(tǒng)，該系統(tǒng)由N個智能體組成，每個智能體的動力學(xué)方程如下[4]：

(1)

其中，xi(t)∈Rn是第i個智能體的位置信息。矩陣A和B是適當(dāng)維數(shù)的已知實(shí)矩陣。f(xi(t))=[f(x1(t))，f(x2(t))，…，f(xn(t))]T代表了每個智能體的非線性特征。ui(t)是所需要設(shè)計的控制策略。

在一階系統(tǒng)(1)中，控制的主要量是位置，本文的主要目的是設(shè)計合適的控制策略ui(t)，從而使系統(tǒng)中每個個體之間通過信息交互來控制自身速度，最終實(shí)現(xiàn)所有個體在位置狀態(tài)上均趨于一致。而本文在文獻(xiàn)[4]系統(tǒng)模型基于采樣控制的研究基礎(chǔ)上，考慮到多智能體控制器之間需要連續(xù)的通信且一直更新信息這一情況，為了縮短控制器的運(yùn)行時間，因此又引入了間歇控制策略。

1.2 周期間歇采樣控制策略

由于每個智能體上安裝的控制器搜集或者與其鄰居智能體彼此通訊的能力有限，綜合間歇控制和采樣控制的特性，設(shè)計如下的控制器：

(2)

圖1 周期間歇采樣通信

(3)

定義1對于任意的初始條件，在合適的控制器作用下，若滿足:

(4)

則多智能體系統(tǒng)(1)實(shí)現(xiàn)一致。

1.3 相關(guān)引理

為了便于分析，需要如下引理。

引理1[14]對于對稱n×n矩陣A和B，i=1，2，…，n.

λmin(B)+λi(A)≤λi(A+B)≤

λmax(B)+λi(A)

(5)

(6)

引理3考慮以下兩個數(shù)學(xué)模型：

Aei(t)+Bui(t)

(7)

(8)

如果系統(tǒng)(8)能在ui(t)下實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定，那么系統(tǒng)(7)也同樣可以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定。

對于函數(shù)f(xi(t))=(f1(xi(t))，f2(xi(t))，…，fN(xi(t)))，令：

(9)

(10)

所以，可將系統(tǒng)(10)進(jìn)一步重寫為：

(11)

隨著中海油海外業(yè)務(wù)的蓬勃發(fā)展，海外公司無論是從分支機(jī)構(gòu)數(shù)量上還是從管理層級上都更趨于多樣化、復(fù)雜化。在千差萬別的國際環(huán)境中，各分支機(jī)構(gòu)財務(wù)體系獨(dú)立運(yùn)作，對中海油財務(wù)管理的整體效能提出了更高的挑戰(zhàn)。如何創(chuàng)新財務(wù)管理思路，建立一套新型的海外公司財務(wù)管理體系，成為了橫亙在中海油海外優(yōu)質(zhì)發(fā)展道路上的一道難關(guān)。經(jīng)過長時間思考，我們將打開這道難關(guān)的秘訣放在了“共享”這把鑰匙上。

如果e(t)是系統(tǒng)(11)的一個解，通過引理2可得：

‖e(t)‖≤‖e(t0)‖

(12)

因為‖e(t)‖≥0，所以只需證明當(dāng)t→+∞時，不等式(12)右半部分滿足‖e(t)‖→0即可。

由引理1可得：

即：

故通過上述分析，可以得到：

‖e(t)‖≤

(13)

綜上所述，如果系統(tǒng)(8)在控制器ui(t)下可以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定，那么在相同的控制器下，系統(tǒng)(7)也可以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定。

2 理論分析與證明

因此通過以上分析可知，如果f(·)滿足假設(shè)1，系統(tǒng)(3)則可進(jìn)一步寫為如下方程組：

(14)

(15)

至此，給出如下假設(shè)和定理。

假設(shè)2：假設(shè)矩陣C是可逆的，即存在矩陣C′∈Pn×n，使得CC′=C′C=E成立，其中E是單位矩陣，P是數(shù)域。

定理1如果存在T，θ和矩陣D，滿足

ρ(eCT+(eCT+eC(T-θ))C-1D)<1

(16)

則在控制器(2)下動態(tài)系統(tǒng)(1)將實(shí)現(xiàn)任何初始條件下的一致。

證明：首先注意tk與t無關(guān)，De(tk)可看作是[tk，tk+θ)上的常數(shù)。因此，可以將(15)通解定義為方程e(t)=Y(t)eCt，其中Y(t)=(Y1(t)，Y2(t)，…，YN(t))T∈RN.

當(dāng)t∈[tk，tk+θ)時，

-Ce-Cte(t)+e-Ct(Ce(t)+De(tk))=e-CtDe(tk)

把上式兩端從tk到t(t

所以：

e(t)=[eC(t-tk)+(eC(t-tk)-I)C-1D]e(tk)

(17)

同樣可得：

e(t)=eC(t-(tk+θ))e(tk+θ)

(18)

結(jié)合(17)和(18)可以得到：

e(t)=eC(t-(tk+θ))e(tk+θ)=

eC(t-(tk+θ))[eCθ+(eCθ-I)C-1D]e(tk)=

[eC(t-tk)+(eC(t-tk)-eC(t-(tk+θ)))C-1D]e(tk)

(19)

根據(jù)(19)可得：

e(tk+1)=

[eCT+(eCT-eC(T-θ))C-1D]e(tk)

(20)

e(tk)=

[eCT+(eCT-eC(T-θ))C-1D]e(tk-1)

(21)

根據(jù)條件(16)可知，當(dāng)k→+∞時，e(tk)→0.

由矩陣性質(zhì)可知，當(dāng)t∈[tk，tk+θ)時，

‖e(t)‖≤‖eC(t-tk)+(eC(t-tk)-I)C-1D‖

‖e(tk)‖=M1‖e(tk)‖

其中，M1=e‖C‖T+(e‖C‖T+1)‖C-1‖‖D‖.

當(dāng)t∈[tk+θ，tk+1)時，

‖e(t)‖≤

‖eC(t-tk)+(eC(t-tk)-eC(t-(tk+θ)))C-1D‖‖e(tk)‖≤

[e‖C‖T+2e‖C‖T‖C-1‖‖D‖]e(tk)

=M2‖e(tk)‖

其中，M2=e‖C‖T+2e‖C‖T‖C-1‖‖D‖.

令M=max[M1，M2]，則‖e(t)‖≤M‖e(tk)‖.如果k→+∞，則tk→+∞.另外又由于t∈[tk，tk+1)，故t→+∞，因此e(t)→0.綜上所述，系統(tǒng)(1)在控制器ui(t)下可實(shí)現(xiàn)一致性。證畢。

3 數(shù)值仿真

設(shè)計拓?fù)鋱DG如圖2所示，其Laplacian矩陣L為：

圖2 通信拓?fù)鋱DG

圖3 T=1，θ=0.9時各個智能體的軌線圖

圖4 T=1，θ=0.6時各個智能體的軌線圖

圖5 T=0.8，θ=0.2時各個智能體的軌線圖

圖6 T=0.8，θ=0.5時各個智能體的軌線圖

通過對比圖3和圖4可以看出，當(dāng)系統(tǒng)的采樣周期一定時，通信寬度θ對系統(tǒng)一致性的影響至關(guān)重要。由于控制器僅能綜合控制處理采樣時刻的信息，所研究的系統(tǒng)是漸近達(dá)到一致，所以系統(tǒng)狀態(tài)不能立刻實(shí)現(xiàn)一致需要一定的時間。通過對比圖5和圖6可以看出，當(dāng)采樣周期T=0.8時，通信寬度θ=0.5時比θ=0.2時系統(tǒng)可以更快的達(dá)到一致，可見通信寬度對系統(tǒng)達(dá)到一致所需的時間也存在影響。而不同的采樣周期對通信寬度也有限制。因此，進(jìn)一步研究采樣周期與通信寬度的關(guān)系以及它們對系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)一致的影響是非常有必要的。

4 結(jié)語

本文研究了一階非線性多智能體系統(tǒng)的一致性問題。運(yùn)用矩陣論知識以及嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明等將非線性系統(tǒng)近似線性化，最終采用周期間歇采樣控制策略實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的一致性。并通過理論推導(dǎo)得到了一個與采樣周期、通信寬度和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有關(guān)的一致性條件。與傳統(tǒng)的采樣控制相比，周期間歇采樣控制大大減少了控制器的工作時間，在實(shí)際的工程控制過程中能夠減少控制成本。最后通過仿真實(shí)例給出了采樣周期確定時，系統(tǒng)可達(dá)一致性的通信寬度的可行范圍，并簡單分析了采樣周期和通信寬度對系統(tǒng)一致性的影響。