謝利兵，陳裕先，廖秋根

(新余學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，江西 新余 338004)

1 引言與主要結(jié)果

本文假設(shè)讀者已經(jīng)熟悉亞純函數(shù)值分布理論及其相關(guān)的符號(hào)[1].在1939年，Iyer[2]研究了Fermat型函數(shù)方程f2(z)+g2(z)=1的解并證明了該方程的整函數(shù)解只有f(z)=cosa(z)，g(z)=sina(z)，其中a(z)為整函數(shù).之后，有許多的研究者對(duì)其進(jìn)行了進(jìn)一步的研究，考慮將其中的f(z)，g(z)換成微分或者差分的形式，討論其解的存在性以及解的形式，見[3-10]。

2015年，Liu-Dong[7]研究了下列形式的微分方程，得到下列結(jié)果：

定理A[7]方程

[f(z)+f′(z)]2+[f(z)+f″(z)]2=1

沒有超越亞純函數(shù)解.

2020年，Xu-Cao[4]得到了兩個(gè)變量的Fermat型一階偏微分方程的結(jié)果，如下：

定理B[4]Fermat型偏微分方程

的任意有窮級(jí)的超越整函數(shù)解的形式為f(z1，z2)=sin(z1+g(z2))，其中g(shù)(z2)是關(guān)于變量z2的一個(gè)多項(xiàng)式。

此外，Xu-Meng-Liu[5]對(duì)Xu-Cao[4]的結(jié)果進(jìn)一步一般化，討論了將其中的f(z1，z2)換成差分的形式f(z1+c1，z2+c2)，f(z1，z2)的一階偏導(dǎo)換成二階偏導(dǎo)的情形。在本文中根據(jù)以上的作者的結(jié)論，我們主要得到了如下結(jié)果：

定理1.1令a1，a2，a3，a4∈C是四個(gè)非零常數(shù)，令f(z1，z2)是偏微分方程

(1)

的一個(gè)有窮級(jí)的超越整函數(shù)解，則

其中

根據(jù)定理1.1，當(dāng)a1=a2=a3=a4=1時(shí)，可以得到如下推論

推論1.2令f(z1，z2)是偏微分方程

的一個(gè)有窮級(jí)的超越整函數(shù)解，則

下面給出兩個(gè)例子來說明方程(1)的有窮級(jí)整函數(shù)解的存在：

例1.3令a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，η1=2，η2=3，B=1且

其中

那么ρ(f)=ρ(g)=1為有窮級(jí)且f(z1，z2)，g(z1，z2)為方程(1)的整函數(shù)解。

例1.4令a1=a2=a3=a4=1，η1=2，η2=3，B=1且

那么ρ(f)=ρ(g)=1為有窮級(jí)且f(z1，z2)，g(z1，z2)為方程(1)的整函數(shù)解。

2 引理

在證明主要結(jié)果之前，需要以下兩個(gè)引理

引理2.1[12]對(duì)于Cn上的一個(gè)整函數(shù)F，滿足F(0)≠0且ρ(nF)=ρ<∞;那么存在正則函數(shù)fF和函數(shù)gF∈Cn使得F(z)=fF(z)egF(z).當(dāng)n=1時(shí)，fF為Weierstrass典型積。

引理2.2[13]如果g，h是復(fù)平面C上的整函數(shù)，且g(h)是有窮級(jí)的整函數(shù)，那么只有下列兩種情況：

(a) 整函數(shù)h是一個(gè)多項(xiàng)式且整函數(shù)g是有窮級(jí)的；

(b) 整函數(shù)h既不是一個(gè)多項(xiàng)式也不是有窮級(jí)的，且整函數(shù)g是零級(jí)的。

3 定理1.1的證明

由(2)與(3)得

(2)，(3)分別關(guān)于z2，z1求偏導(dǎo)，得

(5)

(6)

(7)

對(duì)(7)兩邊關(guān)于z1求偏導(dǎo)，得

再根據(jù)(4)，得a3K1=a1K2，即可得

設(shè)(7)的特征方程為

將上式代入(2)，(3)得

即得

即有

(8)

(9)

根據(jù)(8)式與(9)式，則有

(10)

(11)

(12)

即

We2p(z)=M

(13)

其中

(13)

(14)

由(13)，(14)可得

(15)

(16)

即

α1a2a3-α2a1a4=0

(17)

另一面，根據(jù)(11)有

上式的特征方程為

通過初始條件：z1=0，z2=s以及f:=f(0，s):=φ0(s)，其中s為參數(shù)，則z1=a2a3t，z2=-a1a4t+s以及

由(17)，得

將其代入(8)和(9)，則可得

解得

根據(jù)以上討論的兩種情形，定理即可得證。