朱小蓉 吳 俁 沈惠平

(常州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 常州 213164)

0 引言

三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有速度快、精度高、操作性能好等優(yōu)點(diǎn)，在裝配、包裝及碼垛等高速重復(fù)性工程領(lǐng)域應(yīng)用較為廣泛[1-8]。機(jī)構(gòu)剛度反映機(jī)構(gòu)在外載作用下因彈性構(gòu)件變形引起的末端執(zhí)行器位姿變化，決定了機(jī)構(gòu)在負(fù)載下的定位精度。因此，三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度模型已成為評(píng)估機(jī)構(gòu)工作性能的重要指標(biāo)之一[9-12]。

現(xiàn)有的剛度分析方法包括有限元分析法、矩陣結(jié)構(gòu)分析法和虛關(guān)節(jié)法。其中，虛關(guān)節(jié)法由GOSSELIN等[13]提出，最初僅考慮驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的柔性，將每一個(gè)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的變形等效為一個(gè)單自由度的虛擬關(guān)節(jié)，經(jīng)過(guò)不斷發(fā)展，又考慮被動(dòng)關(guān)節(jié)、連桿、平臺(tái)的變形以及一些特定的幾何約束和內(nèi)、外部載荷，因此，虛關(guān)節(jié)法剛度建模的關(guān)鍵在于如何定義虛擬關(guān)節(jié)。GOSSELIN等[13]將連桿柔度用剛性連桿和單自由度的虛擬關(guān)節(jié)串聯(lián)來(lái)代替，并提出分別適用于剛性機(jī)構(gòu)和柔性機(jī)構(gòu)的兩種剛度建模方法；PASHKEVICH等[14]考慮連桿和驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的柔性，用6自由度虛擬關(guān)節(jié)來(lái)代替柔性連桿，對(duì)幾種過(guò)約束并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了剛度建模；PASHKEVICH等[15]考慮被動(dòng)關(guān)節(jié)內(nèi)預(yù)加載荷條件，基于虛關(guān)節(jié)法建立了機(jī)構(gòu)剛度模型，同時(shí)考慮外部載荷對(duì)機(jī)構(gòu)剛度的影響，提出動(dòng)態(tài)靜力控制算法，以補(bǔ)償外部/內(nèi)部載荷引起的誤差；AMIR等[16]考慮動(dòng)平臺(tái)的剛度，分別用集總模型和分布式模型建立3-PSP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度矩陣，并用有限元法評(píng)估了模型的精確性；WU等[17]采用實(shí)驗(yàn)方法獲得直線電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的非線性柔度特性，并考慮驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和連桿變形建立了3-PPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度模型；呂幫俊等[18]將虛關(guān)節(jié)法與有限元法相結(jié)合，采用有限元分析法對(duì)驅(qū)動(dòng)桿和萬(wàn)向鉸鏈進(jìn)行剛度分析，建立了有預(yù)載和無(wú)預(yù)載情況下的機(jī)構(gòu)剛度半解析模型；ALEXANDR等[19]基于虛關(guān)節(jié)法提出一種并聯(lián)機(jī)構(gòu)在內(nèi)、外載荷作用下的剛度建模方法；張俊等[20]利用有限元法得到虎克鉸、球鉸、轉(zhuǎn)動(dòng)副部件的剛度矩陣，用虛關(guān)節(jié)法建立了較高精度的機(jī)構(gòu)剛度模型，有限元驗(yàn)證結(jié)果表明，其誤差可控制在5%以?xún)?nèi)；GORGULU等[21]采用虛關(guān)節(jié)法對(duì)一種并聯(lián)觸覺(jué)裝置進(jìn)行剛度建模，并就計(jì)算精度和計(jì)算成本與有限元分析方法進(jìn)行了比較，從而驗(yàn)證了虛關(guān)節(jié)法的有效性，可用于觸覺(jué)裝置控制回路的實(shí)時(shí)控制。

虛關(guān)節(jié)法將構(gòu)件分布式變形以虛擬關(guān)節(jié)模型集中表示，不僅簡(jiǎn)化了模型，而且物理意義明確、計(jì)算量適中，已成為機(jī)器人技術(shù)領(lǐng)域常用的剛度分析方法。然而，采用虛關(guān)節(jié)法對(duì)混聯(lián)機(jī)構(gòu)，特別是對(duì)含閉合回路或子并聯(lián)機(jī)構(gòu)的復(fù)雜機(jī)構(gòu)進(jìn)行剛度建模的研究并不多見(jiàn)。

本文采用虛關(guān)節(jié)法，考慮驅(qū)動(dòng)電機(jī)、絲桿螺母副、導(dǎo)軌和運(yùn)動(dòng)連桿的變形，建立(3CRR/R)&CRU混聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜剛度半解析矩陣，提出線性剛度和角剛度的無(wú)量綱化評(píng)價(jià)指標(biāo)，分析機(jī)構(gòu)規(guī)則工作空間內(nèi)的靜剛度分布。

1 機(jī)構(gòu)描述

本文所研究的(3CRR/R)&CRU混聯(lián)機(jī)構(gòu)，是由Quadrupteron機(jī)構(gòu)進(jìn)行結(jié)構(gòu)降耦所得[22]，結(jié)構(gòu)如圖1所示。該機(jī)構(gòu)具有耦合度低、運(yùn)動(dòng)解耦、工作空間大等特點(diǎn)。

機(jī)構(gòu)由靜平臺(tái)0、中間平臺(tái)1、末端平臺(tái)2以及4條支鏈組成。動(dòng)平臺(tái)2，一方面，通過(guò)C41R42U43支鏈直接與靜平臺(tái)0相連；另一方面，通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副RD、中間平臺(tái)1及3條CRR支鏈與靜平臺(tái)0相連。其中，3條CRR支鏈滿足Ci1∥Ri2∥Ri3(i=1,2,3)，且C11、C21、C31互相正交；4個(gè)移動(dòng)滑塊分別安裝在間距為L(zhǎng)的4個(gè)軌道上，通過(guò)安裝在固定框架上的4個(gè)伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)絲杠螺母副進(jìn)行控制；該機(jī)構(gòu)的末端平臺(tái)2能夠?qū)崿F(xiàn)3個(gè)方向的移動(dòng)以及繞垂直方向軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)。

由圖1可知，末端平臺(tái)2通過(guò)RD和U43分別與靜平臺(tái)相連接，故機(jī)構(gòu)可以看成2個(gè)子結(jié)構(gòu)并聯(lián)組成。其中，子結(jié)構(gòu)1為Ci1Ri2Ri3(i=1,2,3)子并聯(lián)機(jī)構(gòu)與RD串聯(lián)而成，子結(jié)構(gòu)2為C41R42U43簡(jiǎn)單支鏈，其組成單元如圖2a所示。

2 基于虛關(guān)節(jié)法的剛度建模

混聯(lián)機(jī)構(gòu)靜剛度是機(jī)構(gòu)位姿的函數(shù)，為簡(jiǎn)化計(jì)算，在建模過(guò)程之中，依據(jù)該混聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，做如下假設(shè)：①不考慮各關(guān)節(jié)處的摩擦、阻尼和接觸變形。②中間平臺(tái)和末端平臺(tái)采用M60J碳纖維材料，具有輕量化、高比強(qiáng)度和高比剛度等特點(diǎn)，故不考慮中間平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)的重力及變形影響。③運(yùn)動(dòng)桿件采用輕質(zhì)碳纖維細(xì)桿制成，故不計(jì)桿件重力；細(xì)長(zhǎng)桿件的變形，通過(guò)在末端添加6自由度虛擬關(guān)節(jié)來(lái)表示桿件的六維柔度變形。④考慮驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的變形，設(shè)為單自由度的虛擬扭轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)。⑤導(dǎo)軌變形簡(jiǎn)化為5自由度的虛擬關(guān)節(jié)，忽略其軸向線性變形。

基于以上假設(shè)，機(jī)構(gòu)所包含的平臺(tái)、連桿、主動(dòng)關(guān)節(jié)和被動(dòng)關(guān)節(jié)等構(gòu)件及其對(duì)應(yīng)的局部柔度虛擬模型如表1所示，對(duì)應(yīng)的該混聯(lián)機(jī)構(gòu)的柔度組成單元如圖2b所示。對(duì)該混聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行剛度分析，首先應(yīng)對(duì)其2個(gè)組成子結(jié)構(gòu)進(jìn)行剛度建模。

表1 基于虛關(guān)節(jié)法的構(gòu)件模型Tab.1 VJM-based modeling of components

2.1 子結(jié)構(gòu)1剛度建模

子結(jié)構(gòu)1由3-CRR子并聯(lián)機(jī)構(gòu)的末端輸出(中間平臺(tái)1)串聯(lián)轉(zhuǎn)動(dòng)副RD而成，因此，應(yīng)首先建立CRR串聯(lián)支鏈的剛度矩陣。

2.1.1CRR支鏈剛度模型

沿CRR支鏈的各主、被動(dòng)關(guān)節(jié)依次建立局部參考系。為節(jié)省篇幅，選取C31R32R33支鏈為例進(jìn)行說(shuō)明，局部坐標(biāo)系如圖3所示。設(shè)a、b、c、n為點(diǎn)Ai、Bi、Ci、N在定坐標(biāo)系xOy下的位置矢量；轉(zhuǎn)動(dòng)副R32和R33軸線矢量為r1、r2；定坐標(biāo)系下x、y、z軸矢量分別記為e1、e2、e3。

考慮彈性變形時(shí)，中間平臺(tái)1產(chǎn)生的微小變形，由其組成支鏈的構(gòu)件變形和主、被動(dòng)關(guān)節(jié)變形引起。對(duì)第i條CRR支鏈，有

δti=Jθiδθi+Jψiδψi

(1)

其中

式中 δti——支鏈i末端的微分運(yùn)動(dòng)，包含三維移動(dòng)和三維轉(zhuǎn)動(dòng)

δθi——支鏈i所有虛關(guān)節(jié)微分運(yùn)動(dòng)構(gòu)成的矢量

δψi——支鏈i所有被動(dòng)關(guān)節(jié)微分運(yùn)動(dòng)構(gòu)成的矢量

Jθi——虛關(guān)節(jié)i變形量對(duì)末端微分運(yùn)動(dòng)的映射，為6×18的矩陣，包括1個(gè)1-dof驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)、1個(gè)5-dof的導(dǎo)軌虛關(guān)節(jié)、2個(gè)連桿的6-dof虛關(guān)節(jié)

Jψi——被動(dòng)關(guān)節(jié)i微分運(yùn)動(dòng)對(duì)末端微分運(yùn)動(dòng)的映射，為6×3的矩陣(3個(gè)被動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)副)

根據(jù)圖3，Jθi、Jψi可表示為

其中w1=a-nw2=b-nw3=c-n

wab=a-bwbc=b-c

式中O——零矩陣

式中，Jθa1、Jθg1、Jθl11、Jθl12分別是驅(qū)動(dòng)變形、線性導(dǎo)軌變形、連桿1和連桿2變形的虛擬關(guān)節(jié)與末端微分運(yùn)動(dòng)的映射。

當(dāng)支鏈i末端受力fi時(shí)，在平衡狀態(tài)，設(shè)支鏈中所有虛擬關(guān)節(jié)的廣義力矢量為τθi，被動(dòng)關(guān)節(jié)所受力矢量為τψi。由于被動(dòng)關(guān)節(jié)受力時(shí)產(chǎn)生受迫運(yùn)動(dòng)而達(dá)到新的靜力平衡，因此被動(dòng)關(guān)節(jié)不受力，即τψi=0。根據(jù)虛功原理，有

(2)

又由胡克定律，有

τθi=Kθiδθi

(3)

其中

式中Kθi——所有虛擬關(guān)節(jié)剛度矩陣構(gòu)成的分塊對(duì)角矩陣

Kθai、Kθgi、Kθli1、Kθli2——第i條CRR支鏈中1-dof驅(qū)動(dòng)剛度、5-dof線性導(dǎo)軌剛度，以及連桿1和連桿2的6-dof剛度

聯(lián)立式(1)～(3)可得

(4)

從而，第i條CRR支鏈剛度矩陣為

(5)

考慮子并聯(lián)機(jī)構(gòu)所受外力f等于3條CRR支鏈?zhǔn)芰i的矢量和，且3條CRR支鏈并聯(lián)連接于同一中間平臺(tái)1，從而具有相同的位姿變形δti。因此，子并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度為

K0=K11+K12+K13

(6)

2.1.2子結(jié)構(gòu)1剛度模型

分析子結(jié)構(gòu)1的剛度時(shí)，將子并聯(lián)機(jī)構(gòu)視為一個(gè)整體，再串接轉(zhuǎn)動(dòng)副RD，如圖4所示。

記串聯(lián)轉(zhuǎn)動(dòng)副RD安裝的基點(diǎn)矢量為d，末端平臺(tái)2中心點(diǎn)P的位置矢量為p，轉(zhuǎn)動(dòng)副RD軸線矢量為r3。子并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度為K0，引起的末端微分運(yùn)動(dòng)映射Jθ1=I6×6(I為單位矩陣)，則子結(jié)構(gòu)1剛度矩陣K1為

(7)

2.2 子結(jié)構(gòu)2剛度建模

子結(jié)構(gòu)2為C41R42U43支鏈，柔度模型如圖2b所示。為構(gòu)建剛度矩陣，建立圖5所示局部坐標(biāo)系。矢量m、l、s、p分別是點(diǎn)A4、B4、C4、P在定坐標(biāo)系下的位置矢量；轉(zhuǎn)動(dòng)副R42軸線的位置矢量為ra，組成U43萬(wàn)向節(jié)的2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線矢量為rb與rc。

則子結(jié)構(gòu)2剛度矩陣為

(8)

其中

Jθ4=[Jθa4Jθg4Jθl41Jθl42]

式中Jθa4、Jθg4、Jθl41、Jθl42——1-dof驅(qū)動(dòng)變形、5-dof線性導(dǎo)軌變形、連桿1變形和連桿2的6-dof虛擬關(guān)節(jié)變形與末端微分運(yùn)動(dòng)的映射

Kθ4——CRU子結(jié)構(gòu)中驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)、導(dǎo)軌關(guān)節(jié)和兩個(gè)連桿的剛度矩陣

根據(jù)圖5所建立局部坐標(biāo)，可分別表示為

其中w4=m-pw5=l-pw6=s-p

wlm=l-mwsl=s-l

2.3 混聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度建模

由于末端平臺(tái)2為剛體，則(3CRR/R)&CRU混聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度矩陣K為

K=K1+K2

(9)

2.4 剛度性能評(píng)價(jià)指標(biāo)

混聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度矩陣K是6×6的矩陣，可寫(xiě)成

采用文獻(xiàn)[23]提出的矩陣無(wú)量綱化處理方法，首先建立機(jī)構(gòu)的靜力平衡模型為

(10)

式中M——機(jī)構(gòu)所受力矩

F——機(jī)構(gòu)所受力

Δφ、Δp——機(jī)構(gòu)在該力矩與力作用下產(chǎn)生的微小角變形和線變形

則空間力/力矩又可表示為

(11)

將角變形Δφ與線變形Δp通過(guò)線性變換，轉(zhuǎn)換為空間力與力矩的無(wú)量綱化參數(shù)

(12)

λφ、λp(ωφ、ωp)——力(力矩)作用下無(wú)量綱化的線變形與角變形

O3——零矩陣

將式(12)代入式(11)有

(13)

其中

(14)

式中Gf、Gm——3×3的系數(shù)矩陣

(15)

顯然，kt與kr越大，則機(jī)構(gòu)的線剛度和角剛度性能越好。

kt和kr是機(jī)構(gòu)的位型函數(shù)，為評(píng)估機(jī)構(gòu)在整個(gè)工作空間Ω中的剛度性能，定義全局線剛度和角剛度性能指標(biāo)Gt和Gr為

(16)

3 混聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度分析

基于上述所建剛度模型，對(duì)該機(jī)構(gòu)的虛擬樣機(jī)進(jìn)行剛度分析。幾何參數(shù)如表2所示，為研究結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)機(jī)構(gòu)剛度性能的影響，選擇合理的桿長(zhǎng)，桿件材料采用碳纖維，彈性模量為2.1×105MPa，泊松比為0.3；中間平臺(tái)半徑r=40 mm，末端平臺(tái)2與中間平臺(tái)垂直距離h=10 mm；驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)采用1FL6024-2AF型直流伺服電機(jī)和1605型滾珠絲桿。

表2 連桿的幾何參數(shù)Tab.2 Geometric parameters of links

根據(jù)式(7)～(9)，計(jì)算機(jī)構(gòu)末端平臺(tái)2中心點(diǎn)P的剛度矩陣。其中，支鏈組成細(xì)長(zhǎng)桿件的剛度計(jì)算可看成懸臂梁，剛度系數(shù)計(jì)算式為[24]

(17)

式中A——連桿截面積l——連桿長(zhǎng)度

Ix、Iy、Iz——連桿橫截面的慣性矩

E——材料楊氏模量

G——材料剪切模量

驅(qū)動(dòng)副的扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)計(jì)算公式為[25]

(18)

式中Kact——電機(jī)驅(qū)動(dòng)器的控制環(huán)路剛度系數(shù)

kα——電機(jī)扭轉(zhuǎn)剛度

d——絲桿螺紋中徑

S——絲桿導(dǎo)程ψ——螺紋升角

φv——螺紋當(dāng)量摩擦角

L——絲杠長(zhǎng)度

絲桿采用雙支承安裝方式，滑塊座沿導(dǎo)軌直線移動(dòng)，結(jié)構(gòu)示意圖如圖6所示，具體參數(shù)見(jiàn)表3。

表3 絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)Tab.3 Parameters of lead screw system

線性導(dǎo)軌剛度Kθg，采用有限元模型進(jìn)行分析。利用SolidWorks對(duì)滑塊和導(dǎo)軌進(jìn)行實(shí)體建模，并在ANSYS中進(jìn)行有限元分析，得到導(dǎo)軌的3個(gè)角剛度kφx、kφy、kφz以及y、z向的線剛度kyy、kzz如表4所示。

表4 導(dǎo)軌剛度Tab.4 Stiffness of linear guideway

3.1 結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)機(jī)構(gòu)剛度的影響

采用單因素控制法，分析支鏈長(zhǎng)度對(duì)機(jī)構(gòu)剛度的影響。需要補(bǔ)充說(shuō)明的是，當(dāng)單因素變化時(shí)，其余參數(shù)保持不變。根據(jù)式(16)計(jì)算不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下所對(duì)應(yīng)無(wú)量綱的全局線剛度Gt和全局角剛度Gr，結(jié)果如圖7所示。

由圖7可得，隨著支鏈1中桿l11與桿l12長(zhǎng)度的增加，機(jī)構(gòu)全局線剛度和角剛度會(huì)降低。對(duì)支鏈2，桿l21和桿l22的增加會(huì)減小全局角剛度，但對(duì)全局線剛度的影響很小。支鏈3中桿l31與桿l32的增加會(huì)降低機(jī)構(gòu)的剛度，特別對(duì)線剛度的影響較大。支鏈4的桿長(zhǎng)l41與l42對(duì)機(jī)構(gòu)線剛度影響很小，但隨著支鏈長(zhǎng)度增加會(huì)使角剛度減小。

3.2 機(jī)構(gòu)典型位姿下的剛度矩陣

根據(jù)表2中桿件基本尺寸，文獻(xiàn)[22]進(jìn)行了虛擬樣機(jī)設(shè)計(jì)，得到機(jī)構(gòu)規(guī)則工作空間為180 mm×220 mm×170 mm，轉(zhuǎn)角φ∈(-π/2,π/2)，基坐標(biāo)下工作空間取值范圍為X∈[80, 260] mm,Y∈[90, 310] mm,Z∈[100, 270] mm[22]。

取末端平臺(tái)中心P點(diǎn)的位置為(170, 200, 200) mm，平臺(tái)姿態(tài)角φ=0°，由式(7)～(9)計(jì)算出中心點(diǎn)P在靜坐標(biāo)系下的剛度矩陣為

對(duì)該剛度矩陣求逆，可得其柔度矩陣C為

為驗(yàn)證上述靜剛度模型的精度，在ANSYS Workbench中建立該混聯(lián)機(jī)構(gòu)有限元模型，并沿x、y、z方向在動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)P處分別施加單位力矩/力，經(jīng)靜力分析得到相應(yīng)方向的變形，結(jié)果如圖8所示，得到點(diǎn)P的位置(170, 200, 200) mm，姿態(tài)角φ=0時(shí)的角變形量為[3.90×10-5, 5.75×10-5,4.78×10-5] rad，線性變形量為[3.19×10-6,2.95×10-6, 4.2×10-6] m。

將ANSYS Workbench仿真得到的結(jié)果與理論建模結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表5所示。

由表5可知，ANSYS仿真得到的變形量與理論計(jì)算之間存在一定的差距，這是由于安裝需要，實(shí)際桿件模型與理論建模有區(qū)別，但最大誤差保持在15%以?xún)?nèi)，可認(rèn)為滿足精度要求。

表5 ANSYS與理論建模的變形量結(jié)果對(duì)比Tab.5 Comparisons of static stiffness results between ANSYS and theoretical modeling

3.3 工作空間內(nèi)的剛度分布

采用分層法將工作空間離散成若干個(gè)工作平面，再根據(jù)式(9)計(jì)算各工作平面上任一點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的剛度矩陣，其主對(duì)角線元素可看成是機(jī)構(gòu)的角剛度和線剛度。限于篇幅，本文僅取末端平臺(tái)姿態(tài)φ=0，中心點(diǎn)z=200 mm的工作平面，繪制180 mm×220 mm工作平面內(nèi)剛度矩陣的主對(duì)角線元素，結(jié)果如圖9所示。

由圖9可得，機(jī)構(gòu)3個(gè)方向的剛度均隨機(jī)構(gòu)位姿變化。剛度在工作平面內(nèi)分布較為均勻、無(wú)突變，說(shuō)明機(jī)構(gòu)剛度性能良好。機(jī)構(gòu)x方向的線剛度，沿x方向保持不變，沿y軸方向呈現(xiàn)線性遞減趨勢(shì)；而y方向的線剛度，沿y軸方向不變，沿x軸呈現(xiàn)線性遞減趨勢(shì)，這應(yīng)該與機(jī)構(gòu)x向和y向的運(yùn)動(dòng)輸出具有解耦性有關(guān)。機(jī)構(gòu)z方向的線剛度，呈現(xiàn)相對(duì)于y=x軸線對(duì)稱(chēng)的趨勢(shì)，這可能與機(jī)構(gòu)第1支鏈與第3、4支鏈沿斜邊對(duì)稱(chēng)的布置方式有關(guān)，說(shuō)明支鏈布局影響機(jī)構(gòu)的剛度分布。

3.4 工作空間內(nèi)無(wú)量綱剛度

據(jù)2.4節(jié)式(15)提出的無(wú)量綱化性能指標(biāo)，分析z=200 mm，φ=0時(shí)，xOy平面內(nèi)無(wú)量綱化的線剛度和角剛度分布，結(jié)果如圖10所示。

由圖10可得，機(jī)構(gòu)線剛度kt比角剛度kr大1個(gè)數(shù)量級(jí)，說(shuō)明機(jī)構(gòu)的線剛度較高，對(duì)抗移動(dòng)方向上載荷形變能力較高；而角剛度性能一般，承受轉(zhuǎn)矩能力較弱。線剛度kt沿x正方向和y正方向均呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，但總體分布較為均勻。角剛度kr在工作空間邊界處變化較大外，其余分布較為平坦。

3.5 末端姿態(tài)角對(duì)剛度性能的影響

為評(píng)價(jià)機(jī)構(gòu)剛度隨末端姿態(tài)角的變化情況，利用式(15)計(jì)算末端平臺(tái)位置固定但姿態(tài)變化時(shí)機(jī)構(gòu)的無(wú)量綱線剛度kt和角剛度kr，圖11分別是末端平臺(tái)中心位于點(diǎn)(170,200,200)mm、(120,150,200)mm和點(diǎn)(220,250,200)mm的角剛度和線剛度隨機(jī)構(gòu)姿態(tài)角的變化曲線。

根據(jù)式(16)計(jì)算機(jī)構(gòu)不同姿態(tài)下的全局線剛度Gt和角剛度Gr，圖12為z取120、160、200 mm時(shí)工作平面內(nèi)的剛度。

由圖12可得，末端姿態(tài)變化時(shí)，xOy工作平面內(nèi)全局線剛度Gt幾乎不變；但隨著z向高度提升，全局線剛度Gt增加，這有利于機(jī)構(gòu)的抓取操作。末端姿態(tài)變化時(shí)，工作平面內(nèi)的全局角剛度變化較小，z為120、160、200 mm時(shí)的變化范圍分別為2.36×104～ 2.43×104、2.48×104～ 2.50×104、2.49×104～2.51×104，剛度一致性較好。

4 結(jié)論

(1)基于虛關(guān)節(jié)法和有限元分析建立了混聯(lián)機(jī)構(gòu)靜剛度半解析模型，分析了典型位姿下的機(jī)構(gòu)剛度，并對(duì)其進(jìn)行了有限元仿真驗(yàn)證，所建模型可用于機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化。

(2)采用“分層”法分析了機(jī)構(gòu)工作平面內(nèi)的剛度分布，得出機(jī)構(gòu)剛度分布與支鏈布局以及機(jī)構(gòu)移動(dòng)輸出的解耦特性有關(guān)。

(3)分析了機(jī)構(gòu)工作空間內(nèi)無(wú)量綱線剛度和角剛度分布。結(jié)果表明，該機(jī)構(gòu)的線剛度優(yōu)于角剛度，且隨末端姿態(tài)角的變化不明顯；隨著末端抓取高度的增加，機(jī)構(gòu)線剛度增大，而角剛度保持不變。這些特性都有利于機(jī)構(gòu)的抓取應(yīng)用，本研究可為該機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化和操作軌跡設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。