郝慧慧，朱涵鈺

（華北水利水電大學管理與經(jīng)濟學院，鄭州450046）

0 引 言

降水量和日常生活的旱澇預報、水文水情分析的研究息息相關[1]。隨著人類活動加劇，大量溫室氣體排放，全球溫度不斷升高。干旱和極端降水頻繁發(fā)生，給國家經(jīng)濟發(fā)展和人類生產(chǎn)、生活造成嚴重影響，甚至威脅到人類生命財產(chǎn)安全[2]。降水量的多少直接關系到農(nóng)業(yè)發(fā)展以及各項政策的制定與實施，建立有效的降水量預測預警模型對我國各行各業(yè)的發(fā)展具有重大意義[3]。因此，對降水量數(shù)據(jù)序列進行分析與預測，可為區(qū)域水資源合理利用和防汛減災工作提供數(shù)據(jù)支撐，對保證國民經(jīng)濟和社會發(fā)展具有重要意義[4]。

降水量預測模型可以概括為解釋型和數(shù)據(jù)驅動型[5]。對于解釋型模型，Priya 等[6]采用ARIMA 模型進行了印度西部季風前降雨數(shù)據(jù)的趨勢分析。張帥等[7]選取了遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡模型（RNN）解決了降雨量長期預測問題，并選用前饋神經(jīng)網(wǎng)絡模型（FNN）、小波神經(jīng)網(wǎng)絡模型（WNN）和整合移動平均自回歸模型（ARIMA）進行對比分析。Byung 等[8]采用ARIMA 模型進行了蒙古地區(qū)降水量時空變異性評價和季節(jié)性預測。對于數(shù)據(jù)驅動型模型，宋帆等[9]基于聚類分析的模糊馬爾科夫鏈模型，對全國16 個站點的降雨量進行預測。盧維學等[10]采用隨機森林算法的偏最小二乘回歸（PLS）模型，對城市的降水量進行預測。梁顯麗等[11]基于加權馬爾可夫預測模型對鄂爾多斯市1961?2019年的降水量數(shù)據(jù)進行預測。熊文真等[12]采用HP?ENN?MC 模型預測了某地區(qū)1990?2015年植物生育期的降雨量。上述模型對時間序列的數(shù)據(jù)要求比較苛刻，同時不能很好地描述數(shù)據(jù)序列的復雜性，限制了模型的使用與發(fā)展。

隨著灰色系統(tǒng)模型的提出與發(fā)展，諸多學者開始轉向利用灰色預測模型對降水量數(shù)據(jù)進行預測和仿真研究。任曄等[13]采用灰色神經(jīng)網(wǎng)絡組合預測模型對黑龍江省慶安縣年降雨量進行了預測建模。嚴小華[14]采用GM(1，N)模型進行了巢湖區(qū)域主汛期降水量長期預測。吳秀明等[15]基于離散型灰色DGM(1，1)預測模型對鞍山市1959?2006年的降雨量進行澇災預測。謝道文等[16]基于灰色系統(tǒng)分析理論建立了優(yōu)選模型對降雨量監(jiān)測點進行了選擇。結果表明灰色模型對具有貧信息、不確定性、指數(shù)特征的數(shù)據(jù)序列具有很好的預測效果。而實際的降水量具有非線性、非平穩(wěn)的特點，受自然和人為因素的影響，降水量隨時可能產(chǎn)生跳躍、擺動的特征，導致模型預測效果不夠理想。因此，針對數(shù)據(jù)特征波動不穩(wěn)定的特點，引入分位數(shù)構建非等間隔等高線；針對數(shù)據(jù)具有上升或下降的波動特點，引入斜率等高線；本文構建了斜率非等間隔灰色波形預測模型。并對河南省降水量進行預測，驗證了模型的有效性。

1 研究區(qū)概括與數(shù)據(jù)選取

河南省位于中國中東部地區(qū)，地理位置為北緯31°23'～36°22'，東經(jīng)110°21'～116°39'，東連安徽、山東，南靠河北、山西，北鄰湖北，土地面積為16.7 萬km2，有17 個省直轄市和1 個省直管市。河南省地處亞熱帶和暖溫帶氣候區(qū)，地形、地貌、土壤、氣候都有明顯的過渡性特征。地勢西高東低，中東部為平原，西南部為丘陵，降水量多年分布不均，年際間變化較大。本文選取1990?2019年河南省降水量數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于《河南省統(tǒng)計年鑒》《河南省農(nóng)村年鑒》，如圖1所示。

圖1 河南省1990-2019年的降水量趨勢圖Fig.1 Precipitation trend chart of Henan Province from 1990 to 2019

2 模型構建

灰色波形預測是對數(shù)據(jù)序列的整體發(fā)展變化進行預測，該類數(shù)據(jù)具有變化不規(guī)則的特點，通過對等間隔的等高線與數(shù)據(jù)序列波動圖形折線的交點橫坐標進行GM(1，1)建模。該方法對擺動幅度較為固定，或者具有近似正弦波動的數(shù)據(jù)序列（圖2）具有很好的預測效果。等高線的選取、確定等高時刻序列、對等高時刻序列進行GM(1，1)建模為灰色波形預測模型的3個步驟。等高線的選取和確定等高時刻序列可以看做是提取數(shù)據(jù)圖形信息的過程，根據(jù)等高線和數(shù)據(jù)折線的交點提取規(guī)律信息進行GM(1，1)建模。

圖2 具有正弦波動趨勢Fig.2 It has a sinusoidal trend

2.1 選取等高線

傳統(tǒng)的灰色波形預測模型是選取等間隔的水平等高線建立GM(1，1)模型群，該方法對于平穩(wěn)周期性水平波動的數(shù)據(jù)具有較好的預測效果。對于呈現(xiàn)上升（圖3）、下降（圖4）或波動幅度不穩(wěn)定（圖5）的數(shù)據(jù)序列，無法根據(jù)數(shù)據(jù)波動特征準確高效的提取圖形信息。因此本文引入分位數(shù)構建非等間隔斜率等高線波形預測模型。

圖3 具有上升波動趨勢Fig.3 It has an upward trend of fluctuation

圖4 具有下降波動趨勢Fig.4 It has a downward trend of fluctuation

圖5 具有不穩(wěn)定波動趨勢Fig.5 It has the tendency of unstable fluctuation

定義1：設原始序列X=(x(1),x(2),…,x(i),…,x(n))，則稱xk=x(k)+(t?k)[x(k+1)?x(k)]為序列X的(k)～(k+1)段的線段，其中k∈[1,n]為整數(shù)，t∈[k,k+1]為未知參數(shù)。稱{xk=x(k)+(t?k)[x(k+1)?x(k)]，|k=1,2,…,n?1}為序列X的折線，即為X={xk=x(k)+(t?k)[x(k+1)?x(k)]，|k=1,2,…,n?1}。

定義2：（斜率等高線）設原始序列為X=(x(1),x(2),…,x(i),…,x(n))，擬合線性回歸方程為：

式中：ε為線性誤差項；k∈[1,n]為整數(shù)。

定義3：（非等間隔等高線） 令原始序列為X=(x(1),x(2),…,x(i),…,x(n))，設原始序列的最大最小值分別為xα(i)和xα(j)。則有1°原始序列最低等高線和最高等高線為ξ0=α0+α1k和ξs=αs+α1k，其中α0=xα(i)?α1i，αs=xα(j)?α1j。2°令(ξ1,ξ2,…,ξs?1)為數(shù)據(jù)序列的s等分位，則定義ξi=α1k+α0++ξ'i,i=1,2,…,s?1。其中ξ'i=則稱 (ξ0,ξ1,ξ2,…,ξs?1,ξs)所確定的斜率非等間隔等高線為原始數(shù)據(jù)的s+1條等高線。

2.2 確定等高時刻序列

根據(jù)2.1 節(jié)確定的非等間隔等高線，按照等高線序列出現(xiàn)的時間先后順序確定等高時刻序列。

定義4：（等高點） 設方程組（2） 的解為(tl,x(tl)),l=1,2,…，則(tl,x(tl)),l=1,2,…為ξi?等高點，是折線X與ξi?等高線的交點。

命題1：若X的第(k)～(k+1)段上有ξi?等高點，則其坐標為 ：

證明：第(k)～(k+1) 段折線方程為xk=x(k)+(t?k)[x(k+1)?x(k)]，聯(lián)立令ξi(k)=α1k+αi，ξi(k+1)=α1(k+1)+αi，則有αi=ξi(k)?α1k，α1=ξi(k+1)?ξi(k)，帶入聯(lián)立方程可得X的第(k)～(k+1) 段上與ξi?等高線交點的橫坐標為k+

定義5：（等高時刻序列）設Xξi=(P1,P2,…,Pmi)為ξi?等高點序列，其中Pj位于第(kj)～(kj+1)段折線上，其坐標為：記qj=kj+則稱Q(i0)=(qi(1),qi(2),…,qi(mi)),i=0,1,2,…,s為ξi?等高時刻序列。

2.3 GM(1，1)建模與預測

經(jīng)典GM(1，1)建模至少需要4個數(shù)據(jù)才能完成。因此，本文構建的非等間隔斜率等高線波形預測模型對含有4 個及4 個以上元素等高序列的橫坐標建模。

定義6：設Q(i0)=(qi(1),qi(2),…,qi(mi)),i=0,1,2,…,s為ξi?等高時刻序列，為ξi?等高時刻序列GM(1，1)預測值，刪除無效預測時刻，并將剩余預測值從小到大進行排序，得到(1) <(2) <…<(ns)，其中若X=ξq(k)為q(k)所對應的斜率等高線，則X(0)的預測波形為其中

3 應用分析

3.1 預測過程

依據(jù)上述分析步驟，進行等高線選取。當s=9 時，10 條等高線斜率為?4.48，常數(shù)項分別為(α0,α1,…,α9)=(663.5,720.79,777.08,833.87,890.66,946.96,1 003.75,1 060.54,1 116.83,1 173.62)。由此確定10條等高時刻序列如下：

由GM(1，1)建模性質(zhì)可知，GM(1，1)建模至少需要4個數(shù)據(jù)，故本文對組等高時刻序列進行GM(1，1)建模，得到各等高時刻序列的時間響應式為：

3.2 結果比較

根據(jù)等高時刻預測序列和GM(1，1)建模，得到非等間隔斜率等高線波形預測結果，如圖6所示。為了驗證本文模型的有效性，選用傳統(tǒng)的灰色波形預測模型和經(jīng)典的GM(1，1)預測模型進行對比分析，結果如圖7和圖8所示。由圖7可知，傳統(tǒng)的灰色波形預測波動性較大，主要原因是傳統(tǒng)灰色波形預測選取水平等間隔的等高線，在提取數(shù)據(jù)時，沒有考慮數(shù)據(jù)的下降趨勢和分布特征，從而導致擬合數(shù)據(jù)波動性較大，擬合結果誤差較高。由圖8可知，經(jīng)典GM(1，1)預測擬合值雖然出現(xiàn)明顯的下降趨勢，但忽略了數(shù)據(jù)的波動性特征，擬合誤差較大。

圖6 改進灰色波形預測Fig.6 Improved grey waveform prediction

圖7 傳統(tǒng)灰色波形預測Fig.7 Traditional grey waveform prediction

圖8 經(jīng)典GM(1，1)預測Fig.8 Classical GM(1，1)prediction

在預測精度方面，選用均方根誤差和平均相對誤差對模型精度進行檢驗，結果如表1所示。由表1可知，改進的灰色波形預測模型在均方根誤差和平均相對誤差方面均優(yōu)于傳統(tǒng)的灰色波形預測模型和經(jīng)典的GM(1，1)預測模型。

表1 預測精度對比Tab.1 Comparison of prediction accuracy

4 結 論

針對降水量年際間非平穩(wěn)、非線性的特點，本文在已有波形預測模型的基礎上，引入斜率非等間隔波形預測模型，選取1990?2019年河南省降水量數(shù)據(jù)進行驗證。結果表明，斜率非等間隔灰色波形預測模型在預測降水量時的精度明顯提高。通過對比分析可知，改進的灰色波形預測方法對于具有非平穩(wěn)、非線性特征的數(shù)據(jù)序列具有較好的預測效果。目前，采用灰色波形預測模型對降水量預測的應用較少，值得研究和改進的部分還有很多，不僅體現(xiàn)在對模型的改進，結合其他模型對灰色波形預測模型進行優(yōu)化也是未來工作的一部分。