李俊紅，張佳麗，陸國平

（南通大學 電氣工程學院，江蘇 南通 226019）

在系統(tǒng)辨識領域，選擇的對象一般是具有相同輸入輸出采樣周期的離散時間系統(tǒng)，也就是單率采樣系統(tǒng)[1-3]，目前大多數(shù)的研究也是針對單率系統(tǒng)進行辨識的[4-5]。然而，由于硬件條件的限制，在許多實際的工業(yè)生產(chǎn)過程中，特別是在很多化工系統(tǒng)中，許多變量只能在部分采樣點測得實驗數(shù)據(jù)，這導致了系統(tǒng)的信息缺失，造成采樣的頻率不一致。因此，當兩個不同采樣頻率的數(shù)據(jù)出現(xiàn)在同一個控制系統(tǒng)中時，相應的系統(tǒng)稱為雙率系統(tǒng)[6-7]。

受控制系統(tǒng)物理條件限制，工業(yè)生產(chǎn)中有大量的雙率系統(tǒng)，如反應器發(fā)酵過程[8]和石油開采[9]等。隨著科學技術(shù)的發(fā)展，雙率采樣系統(tǒng)逐漸應用于網(wǎng)絡系統(tǒng)、信號處理等過程。雙率采樣系統(tǒng)的辨識與控制已成為研究的熱點[10-11]。

雙率系統(tǒng)辨識的難點在于系統(tǒng)的信息向量中包含不可測時刻的信息[12-13]。在雙率系統(tǒng)辨識領域，常用的辨識方法是多項式變換技術(shù)[14-15]和提升技術(shù)[16]。通過多項式變換技術(shù)，轉(zhuǎn)換后的新模型中只包含可測的系統(tǒng)變量，然而，這種方法的缺點是增加了未知參數(shù)，從而增加了計算量。

輔助模型辨識是一種新型辨識方法，其思想是用可測信息建立輔助模型，用輔助模型的輸出代替系統(tǒng)未知變量[17-19]。輔助模型辨識方法已經(jīng)被成功應用于多變量系統(tǒng)、雙線性系統(tǒng)以及多率系統(tǒng)的辨識[20-22]。極大似然辨識是一種效果顯著的參數(shù)辨識方法，它是基于概率論的參數(shù)估計方法。由于其良好的統(tǒng)計特性，極大似然估計被廣泛用于許多工業(yè)領域中[23-25]。

本文采用輔助模型辨識方法和極大似然原理，研究了雙率Hammerstein（dual-rate Hammersetin，DR-H）系統(tǒng)的參數(shù)辨識問題，提出了基于輔助模型的極大似然遞推辨識算法。與多項式變換方法相比，該算法能夠直接辨識出未知參數(shù)，因此計算量大大減少。

1 問題描述

考慮如圖1 所示的DR-H 系統(tǒng)，其中μ（k）和y（k）分別是系統(tǒng)的輸入和輸出，可測得的數(shù)據(jù)為{μ（k），y（gk）}（g 是雙率采樣的間隔，g≥2），v（k）是服從N（0，σ2）的高斯白噪聲信號，ω（k）是作用于輸出的有色噪聲，x（k）是沒有噪聲作用時的輸出，中間變量和ω（k）是不可測的。系統(tǒng)描述如圖1 所示。

圖1 DR-H 系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of DR-H system

系統(tǒng)的輸出可以表示為

其中A（q-1）、B（q-1）、C（q-1）和D（q-1）都是關于q-1的多項式[26]，且滿足如下形式：

Hammerstein 系統(tǒng)的非線性部分輸出是系數(shù)（γ1，γ2，…，γm）的已知非線性基（h1，h2，…，hm）的線性組合[27]，即

定義系統(tǒng)的參數(shù)向量為：

其中，假設參數(shù)向量的階次na，nb，nc，nd，m 均已知[28]，且μ（0）=0，y（0）=0。

系統(tǒng)的非線性子系統(tǒng)的輸出可以表示為

中間變量x（k）和ω（k）可以寫作：

定義參數(shù)向量?，θ 和信息向量φ（k）、ψ（k）和φ（k）為：

將式（6）中的k 用gk 代替可得DR-H 系統(tǒng)的模型描述

其中，雙率系統(tǒng)的信息向量為：

由于模型（7）中的輸出y（gk）比輸入μ（k）采樣慢，中間存在缺失的輸出數(shù)據(jù)，所以雙率采樣數(shù)據(jù)不能被模型（7）直接使用。為了能直接使用雙率采樣數(shù)據(jù)，利用輔助模型進行辨識，具有輔助模型的DR-H 系統(tǒng)如圖2 所示。其中G（q-1）是系統(tǒng)模型的傳遞函數(shù)，Ga（q-1）是一個輔助模型，xa（k）表示輔助模型的輸出，可以得到

圖2 具有輔助模型的DR-H 系統(tǒng)Fig.2 DR-H system with auxiliary model

在辨識過程中，xa（k）表示無噪聲輸出x（k）的估計值，輔助模型Ga（q-1）是G（q-1）的估計。基于此輔助模型，提出基于輔助模型的極大似然遞推最小二乘辨識算法來直接估計模型（7）中的參數(shù)。

2 基于輔助模型的極大似然遞推辨識算法

在本節(jié)中，針對DR-H 系統(tǒng)推導基于輔助模型的極大似然遞推最小二乘算法（maximum likelihood recursive least squares algorithm based on auxiliary model，ML-RLS-AM）。選取準則函數(shù)如下：

下面推導極大似然估計算法。令gk 時刻θ，?，a，b，c，d，γ 的估計如下：

用于辨識DR-H 系統(tǒng)的ML-RLS-AM 算法流程圖如圖3 所示，算法步驟如下：

圖3 針對DR-H 系統(tǒng)的ML-RLS-AM 算法流程圖Fig.3 Flow chart of ML-RLS-AM algorithm for DR-H system

3 仿真實驗

考慮如下的雙率Hammersetin 系統(tǒng)，其中雙率采樣的間隔g=2，

參數(shù)向量定義如下：

系統(tǒng)的真實參數(shù)向量如下：

對于本次仿真，輸入{μ（k）}是一個不相關的零均值單位方差的持續(xù)信號序列，{v（k）}是方差σ2=0.502的零均值白噪聲信號。模型的參數(shù)估計誤差的計算方法如下：

采用ML-RLS-AM 算法辨識DR-H 系統(tǒng)，系統(tǒng)的參數(shù)估計及其誤差分別見表1 和圖4。從表1 和圖4 可以看出，參數(shù)估計誤差隨著k 的增加而減小，最終誤差趨于1%左右。仿真結(jié)果證實了算法的有效性。

圖4 ML-RLS-AM 算法估計誤差δ 隨k 變化的曲線（σ2=0.502）Fig.4 ML-RLS-AM algorithm estimation error δ versus k（σ2=0.502）

表1 ML-RLS-AM 算法估計及誤差（σ2=0.502）Tab.1 ML-RLS-AM algorithm estimation and error（σ2=0.502）

4 結(jié)論

本文基于輔助模型辨識思想，利用極大似然原理和遞推辨識技術(shù)，研究了DR-H 系統(tǒng)的參數(shù)辨識問題。與多項式變換方法相比，所提出的算法能夠直接對系統(tǒng)的參數(shù)進行辨識，算法的計算量大大減少。仿真結(jié)果表明該算法具有較好的辨識效果。