王韜宇，孫 鳳，張 明，李 強(qiáng)，徐方超，趙海寧

(沈陽工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110870)

0 引言

磁力驅(qū)動(dòng)技術(shù)因其響應(yīng)快、無接觸摩擦無需潤滑、易于實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)緊湊及多自由度運(yùn)動(dòng)等優(yōu)勢受到國內(nèi)外廣泛關(guān)注，并取得了許多研究成果。中南大學(xué)的陳啟會等[1]設(shè)計(jì)了一種平面型的磁懸浮驅(qū)動(dòng)平臺，驅(qū)動(dòng)單元采用差動(dòng)控制，不僅提供了控制靈敏性，還保證了系統(tǒng)具有一定的剛度。李群名等[2]通過對平臺的機(jī)電耦合動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性分析,得到了平臺實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定懸浮時(shí)控制參數(shù)范圍，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了此范圍內(nèi)平臺系統(tǒng)在穩(wěn)定懸浮時(shí)具有良好的動(dòng)、靜態(tài)性能。以色列Ben-Gurion大學(xué)的學(xué)者們研制了一種六自由度精密定位臺，平臺由三組橫向磁組和三組垂向磁組組成，可以實(shí)現(xiàn)0.4 mm的平動(dòng)行程和±1.2 μrad的轉(zhuǎn)動(dòng)行程[3]。青島理工大學(xué)的武倩倩等[4]設(shè)計(jì)了一種六自由度的磁懸浮隔振平臺，并提出了雙閉環(huán)的控制策略，使系統(tǒng)在低頻到中高頻帶內(nèi)實(shí)現(xiàn)隔振控制，在極低頻帶內(nèi)實(shí)現(xiàn)跟蹤控制。沈陽工業(yè)大學(xué)的魯煜瑩等[5]對磁懸浮直線同步電機(jī)進(jìn)行研究，建立了系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，并通過仿真分析，證明了磁懸浮系統(tǒng)具有較好的抗干擾能力。

本文提出了一種緊湊型五自由度磁力驅(qū)動(dòng)平臺，采用6組差動(dòng)電磁鐵實(shí)現(xiàn)五自由度的運(yùn)動(dòng)。對五自由度磁力驅(qū)動(dòng)平臺進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模，通過PID控制對平臺系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析，證明了平臺能夠?qū)崿F(xiàn)穩(wěn)定懸浮。

1 磁力驅(qū)動(dòng)平臺的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及工作原理

五自由度磁力驅(qū)動(dòng)平臺的結(jié)構(gòu)如圖1所示，該平臺主要由上頂蓋、下底蓋、連接環(huán)、電磁鐵、浮動(dòng)平臺等組成。

五自由度磁力驅(qū)動(dòng)平臺整體采用主動(dòng)磁懸浮軸承的結(jié)構(gòu)，使結(jié)構(gòu)更加緊湊；電磁鐵采用差動(dòng)的工作方式進(jìn)行驅(qū)動(dòng)，以提高系統(tǒng)響應(yīng)速度及控制精度。平臺整體主要由上頂蓋、下底蓋及中間起連接作用的連接環(huán)組成。其中在上、下蓋上均勻分布著4組差動(dòng)電磁鐵(軸向電磁鐵)，可以使浮動(dòng)平臺實(shí)現(xiàn)Z軸方向的運(yùn)動(dòng)和繞X、Y軸的翻轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。其中，Z軸方向的運(yùn)動(dòng)由4組電磁鐵共同驅(qū)動(dòng)，繞X軸翻轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)由Y軸方向的2組電磁鐵驅(qū)動(dòng)，繞Y軸翻轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)由X軸方向的2組電磁鐵驅(qū)動(dòng)；中間部分的連接環(huán)上同樣均勻分布著2組差動(dòng)電磁鐵(徑向電磁鐵)，與X軸和Y軸呈45°角的關(guān)系，2組電磁鐵共同驅(qū)動(dòng)可以實(shí)現(xiàn)浮動(dòng)平臺X、Y軸方向的運(yùn)動(dòng)。浮動(dòng)平臺的位置檢測共由5個(gè)位移傳感器來完成，其中上頂蓋上安裝的3個(gè)位移傳感器用來檢測Z軸方向的運(yùn)動(dòng)和繞X、Y軸的翻轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)；連接環(huán)處安裝的2個(gè)位移傳感器用來檢測X、Y軸方向的運(yùn)動(dòng)。

1-上頂蓋；2-磁鐵連接塊；3-徑向電磁鐵；4-軸向電磁鐵；5-浮動(dòng)平臺；6-位移傳感器；7-連接環(huán)；8-下底蓋

2 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型建立

系統(tǒng)受力分析如圖2所示，其中Fz1～Fz4表示平臺受到的4組差動(dòng)電磁鐵的電磁力。根據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，設(shè)定平衡位置時(shí)的坐標(biāo)系為絕對坐標(biāo)系，此時(shí)浮動(dòng)平臺的質(zhì)心為O點(diǎn)；當(dāng)平臺受到電磁力作用產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)的坐標(biāo)系為相對坐標(biāo)系，此時(shí)平臺質(zhì)心為O′點(diǎn)。設(shè)定傳感器氣隙變小的方向?yàn)檎?/p>

圖2 系統(tǒng)受力分析

設(shè)O點(diǎn)的廣義坐標(biāo)為：

O=[xyzαβ]T.

(1)

其中：x、y和z表示平臺平動(dòng)上的自由度；α和β分別表示平臺繞X軸和Y軸運(yùn)動(dòng)的自由度。平臺在運(yùn)動(dòng)時(shí)所處的坐標(biāo)系O′相對于6組電磁鐵的坐標(biāo)可以表示為：

O′=[z1z2z3z4x1x2y1y2]T.

(2)

其中：z1、z2、z3和z4表示垂直方向電磁鐵的自由度；x1、x2、y1和y2表示水平方向電磁鐵的自由度。兩坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

(3)

其中：a為電磁鐵到平臺質(zhì)心的距離。

根據(jù)差動(dòng)電磁鐵原理可知，當(dāng)平臺在平衡位置時(shí)，則有：

(4)

其中：F為平臺受到的合力；F1為平臺受到的上電磁鐵的力；F2為平臺受到的下電磁鐵的力；μ0為真空磁導(dǎo)率；N為線圈匝數(shù)；A為電磁鐵有效磁面積；I0為偏置電流；i為控制電流；s為懸浮氣隙；m為懸浮平臺的質(zhì)量；g為重力加速度。

當(dāng)平臺在平衡位置受到擾動(dòng)而產(chǎn)生位移e，此時(shí)兩對電磁鐵產(chǎn)生的合力為：

(5)

其中：i0為平臺平衡時(shí)的控制電流。

將式(5)在平衡位置進(jìn)行線性化，即當(dāng)i=0，e=0時(shí)線性化得：

F=Ki·i+Ks·e.

(6)

系統(tǒng)的總動(dòng)能分為平動(dòng)動(dòng)能T1和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能T2，分別為：

(7)

其中：Jα為平臺繞X軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Jβ為平臺繞Y軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。利用拉格朗日方程得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型為：

.(8)

其中：i1～i6分別為6組差動(dòng)電磁鐵的控制電流。

根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程建立系統(tǒng)狀態(tài)空間矩陣：

(9)

其中：v為系統(tǒng)的狀態(tài)；u為系統(tǒng)輸入，即控制電流；w為系統(tǒng)的輸出。

設(shè)

.(10)

求得出：

3 控制系統(tǒng)搭建

圖3為系統(tǒng)控制原理圖。其中，xd、yd、zd、αd和βd為系統(tǒng)的期望值，與受控平臺反饋回的值進(jìn)行比較，將誤差值輸入控制器中得到控制律，對平臺進(jìn)行控制。

圖3 系統(tǒng)控制原理圖

由式(10)可知系統(tǒng)是一個(gè)6輸入5輸出的過驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，為了方便控制器的搭建，所以需要對此進(jìn)行改變，即：

(11)

其中：Ux、Uy、Uz、Uα和Uβ為系統(tǒng)設(shè)置的虛擬控制量。這樣就使系統(tǒng)變?yōu)?輸入5輸出的系統(tǒng)，但是系統(tǒng)實(shí)際需要的是6個(gè)控制量，所以控制器輸出的虛擬控制量需經(jīng)過電流分配環(huán)節(jié)得到系統(tǒng)實(shí)際需要的控制量。電流分配環(huán)節(jié)實(shí)際是對虛擬的控制量進(jìn)行權(quán)重分配，如式(12)：

(12)

綜上所述，控制器輸出的控制量經(jīng)過再分配得到6組差動(dòng)電磁鐵的控制電流之后輸入到受控模型中，實(shí)現(xiàn)平臺5個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)控制。

4 仿真分析

利用Simulink對系統(tǒng)進(jìn)行仿真，分析其在各個(gè)自由度上的控制效果。在0.5 s時(shí)給X、Y和Z向運(yùn)動(dòng)值為0.1 mm的階躍信號，給繞X軸和Y軸翻轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)值為0.005 rad的階躍信號，并確定各個(gè)自由度的控制參數(shù)分別為：X軸方向運(yùn)動(dòng)控制參數(shù)：kp=8 500，ki=50 000，kd=100；Y軸方向運(yùn)動(dòng)控制參數(shù)：kp=8 500，ki=50 000，kd=100；Z軸方向運(yùn)動(dòng)控制參數(shù)：kp=18 000，ki=80 000，kd=100；繞X軸翻轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)控制參數(shù)：kp=600，ki=15 000，kd=3；繞Y軸翻轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)控制參數(shù)：kp=600，ki=15 000，kd=3。

系統(tǒng)各自由度的位移響應(yīng)如圖4所示。對于平動(dòng)運(yùn)動(dòng)，以X軸方向運(yùn)動(dòng)為例，當(dāng)系統(tǒng)在0.5 s接收到指令開始運(yùn)動(dòng)時(shí)控制電流先迅速增大并達(dá)到瞬時(shí)最大值；此時(shí)懸浮平臺位移達(dá)到最大值；隨著系統(tǒng)的調(diào)整，控制電流減小，最終達(dá)到穩(wěn)定值，此時(shí)懸浮平臺也由位移最大值調(diào)整到目標(biāo)期望值，達(dá)到穩(wěn)定懸浮狀態(tài)。并且由圖4(a)、(b)和(c)可以分析得到系統(tǒng)響應(yīng)迅速，穩(wěn)態(tài)誤差為0，其中沿X軸方向運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的超調(diào)量為80%，響應(yīng)時(shí)間為0.3 s；沿Y軸方向運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的超調(diào)量為80%，響應(yīng)時(shí)間為0.3 s；沿Z軸方向運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的超調(diào)量為75%，響應(yīng)時(shí)間為0.45 s。對于轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的2個(gè)自由度，以繞X軸翻轉(zhuǎn)為例，當(dāng)系統(tǒng)在0.5 s接收到指令開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，控制電流的變化趨勢為先增大再減小最終達(dá)到穩(wěn)定值。并且由圖4(e)、(d)分析得到系統(tǒng)響應(yīng)迅速且穩(wěn)態(tài)誤差為0，其中繞X軸翻轉(zhuǎn)系統(tǒng)的超調(diào)量為70%，響應(yīng)時(shí)間為0.1 s；繞Y軸翻轉(zhuǎn)系統(tǒng)的超調(diào)量為70%，響應(yīng)時(shí)間為0.1 s。對于各個(gè)自由度位移響應(yīng)超調(diào)量大的原因通過分析有兩點(diǎn)：首先系統(tǒng)本身為無阻尼系統(tǒng)，在上升期間會存在超調(diào)；其次在控制參數(shù)的調(diào)節(jié)上滿足了響應(yīng)速度及控制精度，但這樣會導(dǎo)致超調(diào)量的升高。綜上所述系統(tǒng)在PID控制下能夠迅速響應(yīng)并實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定懸浮。

圖4 磁力驅(qū)動(dòng)平臺階躍信號PID控制位移輸出

5 小結(jié)

對驅(qū)動(dòng)平臺的結(jié)構(gòu)及工作原理進(jìn)行了介紹，建立了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，采用控制量權(quán)重分配的方法解決過驅(qū)動(dòng)問題，并且通過分散控制的方法降低了這種多自由度運(yùn)動(dòng)控制的復(fù)雜程度，同時(shí)也保證了系統(tǒng)各個(gè)自由度都能達(dá)到控制要求。對系統(tǒng)進(jìn)行了仿真分析，仿真結(jié)果表明:在階躍信號輸入下系統(tǒng)能夠迅速響應(yīng)，實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的懸浮，但存在較高的超調(diào)量。對于未來的工作則是在保證響應(yīng)速度及控制精度的同時(shí)通過對控制參數(shù)的進(jìn)一步調(diào)整來降低系統(tǒng)的超調(diào)量。