牛 彪，梁 全，單東升

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110870)

0 引言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)是個(gè)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，工作能力強(qiáng)、運(yùn)動(dòng)精度高、反應(yīng)速度快，因此有廣闊的應(yīng)用前景[1]。對(duì)于并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的研究分為正運(yùn)動(dòng)學(xué)和逆運(yùn)動(dòng)學(xué)兩種[2]，由于正運(yùn)動(dòng)學(xué)非常復(fù)雜難以解決，所以采用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)對(duì)二自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行研究。當(dāng)給定上平臺(tái)目標(biāo)位移或角度時(shí)通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解算法求解出兩個(gè)液壓缸的伸縮位移，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)上平臺(tái)期望的位姿變換。由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)本身存在非線性特性以及不確定因素的擾動(dòng)影響，使得上平臺(tái)運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)出現(xiàn)動(dòng)作遲緩和位姿精度不高的現(xiàn)象。為解決上述問(wèn)題，本文對(duì)二自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)采用極點(diǎn)配置進(jìn)行性能優(yōu)化，以得到良好的控制效果。

1 二自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

二自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)由底座、平臺(tái)及兩組液壓系統(tǒng)組成，左液壓缸與上平臺(tái)和底座的連接均為旋轉(zhuǎn)副，右液壓缸與底座的鏈接為固定連接、與上平臺(tái)的鏈接為旋轉(zhuǎn)副，如圖1所示。

圖1 并聯(lián)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

已知上平臺(tái)的位姿求解各個(gè)支腿的長(zhǎng)度叫做位置姿態(tài)逆解[3]。為了對(duì)上平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行描述，選取兩個(gè)坐標(biāo)系，即底座的靜坐標(biāo)系O-XY和上平臺(tái)的動(dòng)坐標(biāo)系O1-X1Y1[4]。

上平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)位姿用廣義坐標(biāo)d=[θ,y](θ為旋轉(zhuǎn)角度，y為位移)來(lái)描述，即d1=θ、d2=y。這兩個(gè)參數(shù)確定后，上平臺(tái)的位姿就能唯一確定。

上平臺(tái)沿OY軸方向平移y,得到的變換矩陣T1為：

(1)

上平臺(tái)在O-XY平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)θ角，得到的變換矩陣T2為:

(2)

上平臺(tái)的鉸點(diǎn)坐標(biāo)由動(dòng)坐標(biāo)系變換到靜坐標(biāo)系下的齊次變換矩陣T為:

T=T2·T1.

(3)

上平臺(tái)運(yùn)動(dòng)時(shí)在靜坐標(biāo)系中的速度vp和加速度ap分別為:

(4)

(5)

上平臺(tái)運(yùn)動(dòng)時(shí)在靜坐標(biāo)系中的角速度ωp和角加速度εp分別為:

(6)

(7)

在動(dòng)坐標(biāo)系中用4×2階矩陣A表示上平臺(tái)的兩個(gè)鉸點(diǎn)坐標(biāo)，齊次坐標(biāo)描述為:

(8)

在靜坐標(biāo)系中用4×2階矩陣B表示底座的兩個(gè)鉸點(diǎn)坐標(biāo)，齊次坐標(biāo)描述為:

(9)

初始位置時(shí)，上平臺(tái)的鉸點(diǎn)在動(dòng)坐標(biāo)系和靜坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值不變；運(yùn)動(dòng)時(shí)，上平臺(tái)的鉸點(diǎn)在靜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值發(fā)生了改變。設(shè)上平臺(tái)的鉸點(diǎn)在靜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)C為:

C=T·A.

(10)

兩組液壓缸活塞的伸縮位移由連接液壓缸上、下鉸點(diǎn)之間的距離Li(i=1,2)減去液壓缸初始長(zhǎng)度L0來(lái)確定：

(11)

其中：cki為矩陣C的各個(gè)元素；bki為矩陣B的各個(gè)元素。

對(duì)式(11)求導(dǎo)可以求得液壓缸的速度：

(12)

(13)

對(duì)式(12)求導(dǎo)可以求出液壓缸的加速度：

(14)

(15)

3 極點(diǎn)配置

液壓系統(tǒng)是二自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)器，對(duì)液壓系統(tǒng)進(jìn)行極點(diǎn)配置控制，最終可實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)的性能優(yōu)化。

3.1 閥控缸的基本方程

(1)滑閥的流量方程：

qL=kqxv-kcpL.

(16)

其中：qL為負(fù)載流量；kq為流量增益；xv為閥芯位移；kc為流量壓力系數(shù)；pL為負(fù)載壓力。

(2)液壓缸流量連續(xù)性方程：

(17)

其中：Ap為液壓缸有效作用面積；xp為液壓缸活塞的位移；Ctp為液壓缸總泄漏系數(shù)；Vt為液壓缸總體積；βe為液壓缸體積彈性模量。

(3)液壓缸力平衡方程：

(18)

其中：mt為活塞及負(fù)載折算到活塞上的總質(zhì)量；Bp為活塞及負(fù)載的黏性阻尼系數(shù)；KL為負(fù)載彈簧剛度；FL為作用在活塞上的外負(fù)載力。

液壓缸幾乎沒(méi)有泄漏，總泄漏系數(shù)Ctp=0；液壓缸體積彈性模量βe=7×108Pa；不給系統(tǒng)加外負(fù)載，因此KL=0、FL=0；液壓油密度為850 kg/m3；流量壓力系數(shù)kc=1.4×10-8；流量增益kq=2.385 5；活塞及負(fù)載折算到活塞上的總質(zhì)量mt=1 000 kg；液壓缸腔體的有效長(zhǎng)度L=1 m；液壓缸有效作用面積Ap=4.908 7×10-4m2；液壓缸總體積Vt=4.908 7×10-4m3；阻尼系數(shù)Bp=0.001。

(19)

對(duì)式(19)進(jìn)行如下的能控性判定：

(20)

3.2 極點(diǎn)配置算法

其中：I為單位矩陣；a1，…，an為系數(shù)。

(2)求閉環(huán)系統(tǒng)的期望特征多項(xiàng)式：

(3)計(jì)算：

(4)計(jì)算：

(5)求P=Q-1。

4 Visual Studio與AMESim聯(lián)合仿真

應(yīng)用Visual Studio與AMESim聯(lián)合仿真，用C語(yǔ)言對(duì)極點(diǎn)配置算法進(jìn)行編程，在AMESim中搭建并聯(lián)機(jī)構(gòu)仿真模型,如圖2所示。

圖2 AMESim中搭建的并聯(lián)機(jī)構(gòu)仿真模型

用C語(yǔ)言編寫(xiě)的極點(diǎn)配置算法程序與AMESim模型之間進(jìn)行數(shù)值交換的程序如下：

setplace1 =output[6];

setplace2 =output[7];

dstatevalue1[0][0] =output[2];

dstatevalue1[1][0] =output[3];

dstatevalue2[0][0] =output[4];

dstatevalue2[1][0] =output[5];

input[2] =-(output[6] * L-k1[0][0] * dstatevalue1[0][0] -k1[0][1] * dstatevalue1[1][0]);

input[3] =-(output[7] * L-k0[0][0] * dstatevalue2[0][0] -k0[0][1]*

dstatevalue2[1][0]);

input[0] =output[0];

input[1] =output[1];

程序中：output[0]、output[1]為采樣時(shí)間，output[2]為左邊液壓缸的位移反饋值，output[3]為左邊液壓缸的速度反饋值，output[4]為右邊液壓缸的位移反饋值，output[5]右邊液壓缸的速度反饋值，output[6]為上平臺(tái)期望旋轉(zhuǎn)角度值，output[7]為上平臺(tái)期望位移值，input[2]為輸入左邊比例閥的值，input[3]為輸入右邊比例閥的值，dstatevalue1[0][0]、dstatevalue1[1][0]為左邊閥控缸系統(tǒng)的狀態(tài)變量，dstatevalue2[0][0]、dstatevalue2[1][0]為右邊閥控缸系統(tǒng)的狀態(tài)變量，K1、K0分別為左、右兩液壓缸的狀態(tài)反饋增益矩陣。

5 仿真分析

圖3 上平臺(tái)上升0.3 m時(shí)的位移曲線 圖4 上平臺(tái)旋轉(zhuǎn)5°時(shí)的角位移曲線 圖5 上平臺(tái)位移正弦信號(hào)

圖6 上平臺(tái)角度正弦信號(hào)

從圖3～圖6可以看出：運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解實(shí)現(xiàn)了上平臺(tái)的期望位移和旋轉(zhuǎn)角度，運(yùn)用極點(diǎn)配置可以使控制過(guò)程得到優(yōu)化。由圖3和圖4可知：在實(shí)施極點(diǎn)配置后上平臺(tái)的旋轉(zhuǎn)角度和位移更加精確，而且可以更快到達(dá)指定位置。由圖5和圖6可知：在極點(diǎn)配置后并聯(lián)機(jī)構(gòu)的跟蹤性能得到了加強(qiáng)。

6 結(jié)論

對(duì)二自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，得出了運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的算法，以及兩個(gè)液壓驅(qū)動(dòng)器的伸縮位移、速度和加速度的算法。極點(diǎn)配置可以對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)性能進(jìn)行優(yōu)化，不僅增強(qiáng)了系統(tǒng)的跟蹤性能，也使系統(tǒng)的工作效率得到提高。