石轉轉，張占東，郭開璽，張榕慧，郝佩儒

(山西大同大學 機電工程學院，山西 大同 037003)

0 引言

在傳統(tǒng)的控制方法中，PID作為一種非常經(jīng)典的控制算法，以其使用簡單、調(diào)節(jié)方便等優(yōu)勢在工業(yè)系統(tǒng)應用中占據(jù)主導地位，其控制特點是不需要知道系統(tǒng)的模型，僅僅依據(jù)目標實際值與期望的偏差進行調(diào)節(jié)，但PID算法所計算出的控制量經(jīng)常會有超約束的值，因此，使用該方法無法在控制前期考慮系統(tǒng)的約束[1]。為了克服PID控制算法的這一缺點，在20世紀中后期由Culture等率先提出了一種新型的、基于模型預測的控制方法，即MPC。

模型預測控制(Model Predict Control,MPC)是一種控制多變量系統(tǒng)的技術[2]，其首先在工業(yè)控制中被大量應用,經(jīng)過近幾年不斷的完善逐漸趨于成熟，隨后在其他領域中也迅速得到應用，如汽車、航空航天工業(yè)以及智能電網(wǎng)等[3]。

本文基于模型預測控制設計一種控制算法來實現(xiàn)對質(zhì)量滑塊的位置追蹤。首先搭建滑塊運動學模型，之后基于搭建好的運動學方程，利用模型預測控制理論對滑塊整體運動進行分析，最后通過仿真驗證所設計控制器的可行性。

1 模型預測控制理論

模型預測控制是一種多輸入多輸出算法，其基本控制原理如圖1所示。在控制過程中有一條參考軌跡即期望軌跡，定義k時刻為當前時刻，并測量出當前時刻的狀態(tài)值和控制量值，通過預測模型，預測出系統(tǒng)未來p個時域(預測時域)內(nèi)的輸出；求取p個時域內(nèi)的開環(huán)優(yōu)化問題，得到在k時刻的優(yōu)化解，但只把優(yōu)化解的第一個分量作用于系統(tǒng)；在下一時刻k+1，根據(jù)新的測量狀態(tài)重復上述過程，且預測時域滾動向前，不斷完成優(yōu)化問題，從而實現(xiàn)對被控對象的持續(xù)控制[4]。

2 控制算法設計

本文主要研究的是質(zhì)量滑塊的位置追蹤，是指在無限光滑的一維水平直線上，令滑塊的質(zhì)量為m，初始位置與初始速度都為0的情況下，設計一個控制器，利用傳感器測得滑塊位移x，并在此基礎上為滑塊提供外力u，使其能夠跟隨參考點xr。

1-參考軌跡;2-預測輸出;3-測量輸出;4-預測控制量;5-已執(zhí)行控制量

2.1 運動學模型的建立

在MPC的控制策略下，以滑塊為研究對象，被控量為外力u，首先建立動力學方程：

(1)

(2)

2.2 模型離散化

在上述建好的狀態(tài)方程(2)的基礎上，設k為當前采樣時刻，k+1為下一采樣時刻，T為控制周期。利用前向歐拉法可得到離散系統(tǒng)狀態(tài)方程:

(3)

移項得：

農(nóng)村電網(wǎng)的整體結構是供電的基礎，對于這方面，首先要把握好主干網(wǎng)架的建設情況。然后，要考慮到連線的安全接入方式。要充分以安全為核心，提高整體帶來的供電能力。同時要針對一些突發(fā)的狀況作出合理的防護措施，比如電桿位置的選擇和電桿深度的考慮。建成之后，以110kV為中心，10kV專業(yè)輔助的整體要基本實現(xiàn)。

x(k+1)=(I+TA)x(k)+TBu(k).

(4)

其中：I為單位矩陣。

(5)

速度v作為系統(tǒng)輸出，輸出方程可表示為:

(6)

2.3 預測模型

MPC控制理論中，預測的基本思路是用當前的狀態(tài)和輸入預測下一個狀態(tài)并確定預測時域、控制時域。即定義k時刻為當前時刻，預測接下來p個時域內(nèi)的狀態(tài)，從k時刻到k+p時刻[5],并記未來p個控制時域內(nèi)預測的系統(tǒng)狀態(tài)為：

Xk=[x(k+1|k)Tx(k+2|k)T…x(k+p|k)T]T.

(7)

式(7)中，(k+1|k)表示根據(jù)k采樣時刻的信息來預測k+1時刻的值，以此類推到k+p。當要對動態(tài)系統(tǒng)未來狀態(tài)進行預測時，還應求得整個預測時域內(nèi)的控制輸入量Uk，即為后續(xù)將要求解的優(yōu)化問題的獨立變量：

Uk=[u(k|k)Tu(k+1|k)T…u(k+p-1|k)T]T.

(8)

接下來通過離散化狀態(tài)方程依次對未來p個控制周期的系統(tǒng)狀態(tài)進行預測，可以得到：

(9)

(10)

系統(tǒng)的控制時域為n。想要讓系統(tǒng)關系愈加明了，則未來時刻的輸出可以整合成矩陣的形式表達：

Yk=Ψx(k)+ΘΔUk.

(11)

其中：

通過式(11)可看出，利用系統(tǒng)當前的狀態(tài)量x(k)和控制時域內(nèi)的控制增量ΔUk可以計算出預測時域內(nèi)的狀態(tài)量和輸出量，實現(xiàn)模型預測控制算法中的“預測”功能。同時由Θ可知，矩陣為下三角形式，可以得出：k+1時刻的輸入對k時刻的輸出沒有影響，k+2時刻的輸入對k和k+1時刻沒有影響。

3 二次在線滾動優(yōu)化

每個采樣時刻的優(yōu)化均可得到一系列控制序列，但只將優(yōu)化解的第一個元素作用于系統(tǒng)，然后在下一采樣時刻將新得到的測量狀態(tài)值作為初始條件，重新進行優(yōu)化。同時，隨著當前時刻的向前推移，預測時域也在向前滾動[6]。

由于外部干擾和模型失配的影響，系統(tǒng)的預測輸出和實際輸出會存在偏差，若在下一時刻，根據(jù)測量到的偏差值在線求解控制輸入Uk，即可優(yōu)化掉這個偏差值[7]。為了讓實際輸出軌跡追蹤預先設定的參考軌跡，定義預測時域內(nèi)的參考序列：

Rk=[r(k+1)Tr(k+2)T…r(k+p)T]T.

(12)

最佳的控制輸入值實際是使得圖1當中系統(tǒng)參考軌跡曲線與預測輸出曲線越接近越好。因此，用預測輸出與參考值之間的累計誤差定義一個優(yōu)化目標函數(shù)：

J(Uk)=(Yk-Rk)TQ(Yk-Rk).

(13)

通常不希望控制動作變化太大，對優(yōu)化目標函數(shù)再添加一項對控制量的約束：

(14)

其中:Q和W為權重矩陣。

因此，該優(yōu)化問題可以描述如下：

(15)

令E=Ψy(k)-Rk，再將優(yōu)化函數(shù)J(Uk)展開后合并同類項得：

(16)

調(diào)用MATLAB中的QP即二次規(guī)劃求解器quadprog進行求解，令:

(17)

(18)

得到最終優(yōu)化目標函數(shù)：

(19)

4 仿真分析

為了驗證MPC控制器的可行性，利用MATLAB/Simulink搭建仿真平臺，實現(xiàn)質(zhì)量滑塊的位置追蹤控制。

將方程(1)兩邊同時進行拉普拉斯變換得：

(20)

即可得到傳遞函數(shù)：

(21)

在Simulink中搭建仿真環(huán)境,如圖2所示，同時編寫MPC控制器。

圖2 仿真環(huán)境

本文所研究滑塊的質(zhì)量設定為1.05 g，其中0.05 g為建模誤差。通過給定不同的預測時域值來對滑塊位置追蹤狀況進行對比分析。當控制周期為0.01 s時，將預測時域分別設置為p=20、p=30、p=45、p=53、p=60，在此參數(shù)下的滑塊模型預測位置追蹤仿真結果如圖3所示。由仿真結果可知，當給定的預測時域值越大，系統(tǒng)的狀態(tài)便能夠對期望的軌跡進行更加平穩(wěn)的追蹤。

圖3 滑塊模型預測位置追蹤仿真結果

5 總結

本文提出了基于模型預測控制的滑塊軌跡追蹤控制方法，以質(zhì)量滑塊為研究對象，對其進行理論分析，建立運動學模型，通過仿真分析驗證了方案的可行性。