黃旭華

（浙江省杭州采荷中學教育集團 浙江·杭州 310000）

線段和最小值、三角形周長最小值、四邊形周長最小值問題是中考中經(jīng)常出現(xiàn)的一類探究性問題，綜合性強、思維含量高、應(yīng)用性廣等特點，能有效的考查學生的核心素養(yǎng)。這類問題通常以角、三角形、四邊形、圓等幾何圖形或直角坐標系、函數(shù)為背景，考查學生綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力。此類題型對學生具有較強的挑戰(zhàn)性，在評價上有很好的區(qū)分度，常常借助“將軍飲馬模型”，根據(jù)“兩點之間線段最短”這一基本原理解決最小值問題。筆者以典型常見的問題為例進行研究，以期拋磚引玉。

1 構(gòu)建“將軍飲馬模型”，形成解題方法

課本原題：浙教版八上數(shù)學教科書第50頁例2：

如圖，直線l表示草原上的一條河流。一騎馬少年從A地出發(fā)，去河邊讓馬飲水，然后返回位于B地的家中。他沿怎樣的路線行走，能使路程最短？作出這條最短路線。

【分析】此題有兩定點A,B和一條定直線l，通過一個定點軸對稱，將兩條線段之和轉(zhuǎn)化為一條線段之長，根據(jù)兩點之間線段最短，就能確定最近點。如圖，設(shè)點P是直線上任意一點，連結(jié)AP，BP。以直線l為對稱軸，作與線段AP成軸對稱的線段A＇P，則AP+BP=A＇P+BP。顯然，當點A＇，P，B三點同在一直線上時，A＇P+BP最短，即路程最短。

【解】如圖，作點A關(guān)于直線l的對稱點A＇，連結(jié)A＇B，交直線l于點C，連結(jié)AC。騎馬少年沿折線A-C-B的路線行走時路程最短。

下面給出證明：

設(shè)點P是直線l上任意一點，連結(jié)AP，AP＇。

由作圖知，直線l垂直平分AA＇，

則AC=AC＇，AP=A＇P（線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等）

∴AP+BP=A＇P+BP≥A＇B，

A＇B=A＇C+BC=AC+BC，

即AP+BP≥AC+BC，

所以沿折線A-C-B的路線行走時路程最短。

“將軍飲馬”問題是中考的熱點問題之一，生活中如水泵、公交站、網(wǎng)絡(luò)基站、送牛奶點的位置設(shè)置等問題，都是對“兩點之間線段最短”這一原理的應(yīng)用。在幾何問題中求線段和的最小值，求三角形或四邊形周長的最小值時，都要構(gòu)造“將軍飲馬模型”來解決。解決這類問題的關(guān)鍵是將定點進行軸對稱，然后通過連線，進而轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短來解決問題。這類問題通常會演變出三種模型：（1）兩定點和一定直線；（2）一定點和兩定直線；（3）兩定點和兩定直線。

2 運用“將軍飲馬模型”，注重知識遷移

2.1 角中最小值

【例1】尺規(guī)作圖：如圖1-1，點P是∠MON內(nèi)的一點，分別在角的邊OM、ON上作點A、點B，使△ABP的周長最小。

【分析】本題主要考查學生的動手實踐能力，由題意可判斷屬于一定點和兩定直線模型。通過畫圖，運用軸對稱性質(zhì)可得出：PA=P1A，PB=P2B，C△ABP=PA+PB+AB=P1A+P2B+AB=P1P2，因為兩點之間線段最短，所以此時△ABP的周長最小。

【作法】如圖1-2。

（1）過點P作關(guān)于直線OM的對稱點P1；

（2）過點P作關(guān)于直線ON的對稱點P2；

（3）連接 P1、P2，分別交 OM、ON 于點 A、點 B。

點A點B即為所求作的點。

【變式訓練1】如圖1-3，點P、Q為∠MON內(nèi)的兩點，分別在OM，ON上作點A、B，使四邊形PAQB的周長最小。

【提示】本題屬于兩定點和兩定直線模型。如圖1-4，分別作點P、Q關(guān)于直線OM、直線ON的對稱點P＇、Q＇，連接P＇Q＇交∠MON的兩邊OM、ON于點A、B，使四邊形PAQB的周長最小。

2.2 三角形中的最小值

【例2】如圖2-1，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，EF是BC的垂直平分線，P是EF直線上的一動點，求PA+PB的最小值。

【分析】如圖2-2，根據(jù)題意，設(shè)EF與AC的交點為點P，連接BP，由垂直平分線的性質(zhì)，則BP=CP，得到PA+PB=PA+PC=AC，即可得到PA+PB的最小值。本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，三角形兩邊之和大于第三邊，兩點之間線段最短等知識。解題的關(guān)鍵是應(yīng)用“將軍飲馬模型”正確找出點P的位置。

【解】如圖2-2，根據(jù)題意，設(shè)EF與AC的交點為點P，連接BP。

∵EF是BC的垂直平分線，

∴BP=CP，

∴PA+PB=PA+PC=AC=8，

∴PA+PB的最小值為8。

【變式訓練2】如圖2-3，已知等邊△ABC的邊長為6，點D為AC的中點，點E為BC的中點，點P為BD上一點，求PE+PC的最小值。

【提示】如圖2-4，由題意可知點A、點C關(guān)于BD對稱，連接AE交BD于點P，由軸對稱的性質(zhì)可得，PA=PC，故PE+PC=AE，由兩點之間線段最短可知，最小值為PE+PC=PE+PA=AE.由于點D為AC的中點，點E為BC的中點，借助等腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股定理，易求得即PE+PC的最小值是

2.3 四邊形中的最小值

【例3】如圖3-1，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3。動點P滿足S△PAB＝ S矩形ABCD。則點P到A，B兩點距離之和PA＋PB的最小值為（ ）

【分析】本題屬于兩定點和一定直線問題，但定直線未知，所以要先確定這條直線。解決的要點是先根據(jù)矩形面積不變，判斷三角形面積不變，知道三角形AB邊上的高不變，可確定點P在定直線EF上運動，然后根據(jù)“將軍飲馬模型”找出點P所在的位置；最后根據(jù)勾股定理即可求出最小值。

【解】如圖3-2所示，設(shè)△PAB底邊AB上的高為h。

在AD上截取AE＝2，作EF∥AB，交CD于F，故P點在直線EF上，

作點A關(guān)于直線EF的對稱點A′，連接A′B，交直線EF于點 P，此時 PA＋ PB最小，且 PA＋ PB＝ A′B＝

【變式訓練3】如圖3-3，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E為邊BC的中點。若F為邊AB上的一個動點，求△DEF周長的最小值。

【提示】如圖3-4，本題中點D、E兩點是固定點，點F是在定直線AB上的動點，求△DEF周長的最小值，只要根據(jù)“將軍飲馬模型”找出點F點所在的位置，然后運用勾股定理即可求出最小值為

2.4 圓中的最小值問題

【例4】如圖5，AB、CD是半徑為5的⊙O的兩條弦，AB＝8，CD＝6，MN是直徑，AB⊥MN于點E，CD⊥MN于點F，P為EF上的任意一點，則PA＋PC的最小值為_______。

【分析】本題屬于兩定點和一定直線模型，點A、B兩點關(guān)于MN對稱，因而PA＋PC＝PB＋PC，即當B、C、P在一條直線上時，PA＋PC的最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值。本題考查了軸對稱確定最短路線問題，熟練運用垂徑定理，根據(jù)軸對稱性找出對稱點，通過連線找到最近點P的位置，是解決最小值的關(guān)鍵。

【解】如圖4-2，連接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于點H。

根據(jù)垂徑定理，得到

【變式訓練4】如圖4-3，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AB是AB上一動點，則CM＋DM的最小值是_______cm。

【提示】如圖4-4，作點C關(guān)于AB的對稱點C'，連結(jié)C'D與AB相交于點M，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，點M為CM＋DM的最小值時的位置，根據(jù)垂徑定理可得然后根據(jù)弧的度數(shù)判斷C'D為直徑，從而解得CM＋DM的最小值是8cm。

2.5 直角坐標系中的最小值

【例 5】如圖 5-1，在直角坐標系中，已知 A(0，2)、B(6，4)，點P在x軸上，當三角形ABP的周長最小時，求點P的坐標。

【分析】本題符合“將軍飲馬模型”，屬于兩定點和一定直線模型。根據(jù)軸對稱性在x軸上先找出點P所在的位置，然后求直線A＇B的關(guān)系式，就能求出P點的坐標。找到問題本質(zhì)，突出數(shù)學模型思想的重要性。

【解】如圖5-2，過點A作關(guān)于x軸的對稱點A＇，連接BA＇交x軸于點P。

因為A(0，2)關(guān)于x軸的對稱點A＇，所以A＇(0，-2)，

設(shè)直線A＇B的關(guān)系式為y＝kx＋b，把A＇、B兩點代入得：

直線A＇B的關(guān)系式為y=x2

當 y=0時，x=2，

所以P點的坐標為（2，0）.

【變式訓練5】如圖5-3，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過 A(－ 1，0)、B(3，0)、C(0，3)三點，直線 l是拋物線的對稱軸。設(shè)點P是直線l上的一個動點，當△PAC的周長最小時，求點P的坐標；

【提示】如圖5-4，本題以拋物線為背景，研究三角形周長的最小值，看似三條線段和最小，實質(zhì)仍是兩條線段和最小問題，即PA+PC的最小值，符合“將軍飲馬模型”，運用三角形相似或一次函數(shù)關(guān)系易求得點P的坐標是（1，2）。

3 兩點思考

3.1 在運用“將軍飲馬模型”解決同類型問題的步驟如下

（1）分析題目的背景，確定模型；（2）根據(jù)題意找出定點；（3）根據(jù)動點在哪條直線上運動，即可確定該直線為對稱軸；（4）作定點關(guān)于對稱軸的對稱點；（5）將定點與對稱點連成線段或兩個對稱點連成線段，即可得到最近點。

3.2 教學時回歸教材，體會數(shù)學模型的力量

數(shù)學建模是通過建立模型的方法求得問題，探究數(shù)學活動過程，幾何模型在整個學習過程中發(fā)揮著重要作用。學生要通過觀察、分析、選擇、判斷等數(shù)學活動，完成模型構(gòu)建，經(jīng)歷“問題情境—建立模型—探究結(jié)果”，從而形成數(shù)學方法，滲透建模思想。