李應治，馬釬朝，于匯宇，周艷民，谷海峰，孫中寧

(哈爾濱工程大學 黑龍江省核動力裝置性能與設備重點實驗室， 核安全與仿真技術國防重點學科實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001)

當核電站發(fā)生堆芯融毀的嚴重事故時，會出現(xiàn)攜帶放射性氣溶膠的氣體流經(jīng)液池形成離散氣泡的現(xiàn)象。放射性氣溶膠在氣泡內(nèi)因受到布朗擴散、重力沉降和慣性碰撞等去除機制的作用而被液相所滯留，此過程稱為池式鼓泡過濾[1-2]。相似的事故場景還可能會出現(xiàn)在沸水堆中氣體排放進入抑壓水池的過程、壓水堆中氣體排放進入穩(wěn)壓器泄壓水箱的過程、SGTR事故以及安全殼過濾排放系統(tǒng)(FCVS)主動排氣泄壓的濕式過濾部分[3-5]。因此有必要評估氣溶膠在液池中的去除特性。

在事故源項分析中常用去污因子(DF)來表征液池對氣溶膠的去污性能。DF的定義是過濾前后氣溶膠質(zhì)量濃度之比。因DF是氣溶膠尺寸的函數(shù)，因此欲獲得多分散氣溶膠的DF須掌握詳細的氣溶膠尺度分布信息，但許多情況下氣溶膠的尺度分布信息無法詳細獲得。對數(shù)正態(tài)矩方法通過合理假設顆粒的尺度分布滿足對數(shù)正態(tài)分布，將顆粒尺寸的演化問題簡化為對3個分布參數(shù)(數(shù)量濃度N、幾何平均直徑dpg以及幾何標準差σg)演化的追蹤問題。該方法簡單直觀，易于編程實現(xiàn)，且計算效率很高。國內(nèi)外許多學者已成功運用此方法分析了氣溶膠的成核、冷凝、凝并以及封閉空間內(nèi)的沉積問題，得到了對應的解析解，極大地方便了實際應用[6-9]。因此本文以池式鼓泡過濾氣溶膠為研究背景，假設氣溶膠顆粒的尺度分布滿足對數(shù)正態(tài)分布，通過矩方法分析氣溶膠3個分布參數(shù)的演變與初始條件、時間以及氣溶膠沉降系數(shù)之間滿足的關系。

1 理論

1.1 對數(shù)正態(tài)矩方法求解顆粒沉降問題

顆粒的動力學行為可用通用的氣溶膠動力學方程(GDE)來描述。如果只考慮顆粒沉降，則GDE方程可簡化為如下形式：

(1)

式中：dp為顆粒直徑；n(dp，t)為顆粒的數(shù)量濃度；α(dp)為顆粒的沉降系數(shù)。

顆粒的沉降系數(shù)通常表示為如下形式：

(2)

式中：Ai和λi為與沉降過程有關的常數(shù)；υ為沉降系數(shù)中不同顆粒直徑指數(shù)的項數(shù)。

1)υ=1

對式(1)分離變量并積分即可得到顆粒數(shù)量隨時間的變化：

(3)

對數(shù)正態(tài)矩方法假定顆粒的尺度分布滿足對數(shù)正態(tài)分布，其數(shù)學表達式如下：

(4)

式中：N為顆粒的總數(shù)量濃度；dpg為顆粒的幾何平均粒徑；σg為顆粒直徑的幾何標準差。這3個分布參數(shù)決定了顆粒的尺度分布特性和數(shù)量濃度，本文利用矩方法來分析這3個分布參數(shù)的演化規(guī)律，而不需要顆粒尺度分布的具體信息以及對式(1)進行積分求解。

矩方法求解的是顆粒的各階矩而非顆粒的尺度分布函數(shù)。對于任意常數(shù)k，顆粒尺度分布函數(shù)的k階矩定義為：

(5)

(6)

同時，對數(shù)正態(tài)分布的各階矩和3個分布參數(shù)之間滿足如下關系：

(7)

將k=0、-λ和λ代入式(6)，k=0、-λ、λ和2λ代入式(7)，消去公式中的矩可得：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

2)υ≥2

此時繼續(xù)采用上述方法將無法獲得解析解，因此采用近似的方法進行處理。

(14)

故：

(15)

(16)

(17)

1.2 鼓泡過濾氣溶膠理論

對于鼓泡過濾氣溶膠，其實質(zhì)是氣溶膠在氣泡內(nèi)的沉降，這一沉降過程受到眾多沉降機制的影響，本文主要考慮布朗擴散、重力沉降和慣性碰撞的影響。其他的去除機制在一定的合理假設條件下可忽略。如當氣泡與液池保持熱質(zhì)平衡時，熱泳、擴散泳、蒸汽冷凝對顆粒沉降的影響可忽略[10]。當氣泡在液池中上升的時間尺度小于顆粒凝并所需的時間尺度時，顆粒凝并對顆粒尺寸以及去除效率的影響也可忽略[11]。氣溶膠的沉降系數(shù)可認為是3種沉降機制對應的沉降系數(shù)的加和：

α(dp)=αB(dp)+αG(dp)+αI(dp)

(18)

對于鼓泡過濾問題，用氣泡上升高度H代替時間t。其中布朗沉降系數(shù)αB(dp)為：

(19)

重力沉降系數(shù)αG(dp)為：

(20)

慣性碰撞系數(shù)αI(dp)為：

(21)

式中：h(E)、g(E)為只與氣泡形變E相關的表達式；K為玻爾茲曼常數(shù)；T為氣體溫度；μg為氣體黏度；ρp為顆粒密度；db為氣泡直徑；vb為氣泡上升速度；Cc為坎寧漢滑移修正系數(shù)[12]。

(22)

式中，lmf為氣體分子平均自由程。

假定氣泡為橢球體，其在上浮過程中速度和形變保持恒定。氣泡的上升速度vb采用Park提出的參數(shù)化關系式[13]計算：

(23)

式中：μl為液體黏度；ρl為液體密度；g為重力加速度；σ為液體表面張力。

氣泡的形變E可采用下式[14]計算：

E=(1+0.45EoRe)0.08

(24)

為便于利用矩方法分析，需將沉降系數(shù)處理成式(2)的形式。但因坎寧漢滑移修正系數(shù)Cc是dp的函數(shù)，小顆粒的沉降主要受布朗擴散機制的影響，而大顆粒的沉降主要受重力沉降和慣性碰撞的影響，因此對Cc做如下近似處理。

1) 對于αB(dp)：

(25)

2) 對于αG(dp)和αI(dp)：

(26)

假定氣泡直徑db=5 mm，利用原始公式(精確結(jié)果)和近似公式(近似結(jié)果)計算得到的沉降系數(shù)示于圖1?？煽闯鰞烧呶呛陷^好，平均相對誤差為1.7%。只有當顆粒尺寸處于過渡區(qū)(dp=0.2～0.4 μm)時，近似公式得到的結(jié)果略小于原始公式的結(jié)果，最大相對誤差為21.2%。

圖1 原始公式與近似公式計算的沉降系數(shù)對比Fig.1 Comparison of original and approximate equations for deposition coefficient

2 解析解驗證與分析

前文給出了利用對數(shù)正態(tài)矩方法獲得的顆粒尺度分布的3個分布參數(shù)(N、dpg、σg)隨氣泡上升高度H變化的近似解析解。如果顆粒的初始尺度分布信息已知，采用離散分區(qū)法，結(jié)合式(3)也可計算出顆粒尺度分布的演化趨勢。因此本文利用離散分區(qū)法得到的精確解來驗證對數(shù)正態(tài)分布得到的解析解，同時計算單分散顆粒的去除過程。離散分區(qū)法的分區(qū)思路為：在10-3～10 μm顆粒尺寸范圍內(nèi)按照式(27)劃分nbin個節(jié)點。

(27)

為保證離散分區(qū)法的計算精度，本文取nbin=1 000。

2.1 布朗擴散區(qū)

圖2 dpg0=0.05 μm、σg0=1.5時解析解和精確解的對比Fig.2 Comparison of analytical solution with exact solution for dpg0=0.05 μm and σg0=1.5

2.2 慣性區(qū)

db=5 mm、dpg0=2.5 μm、σg0=1.5時，3個分布參數(shù)隨H變化的近似解析解和精確解對比示于圖3。因大顆粒(dp>1 μm)的沉降主要受重力沉降和慣性碰撞機制的影響，顆粒直徑越大，鼓泡過濾的效率越高。因此隨著氣泡上升高度H的增大，dpg和σ均減小，這導致單粒徑計算的顆粒去除速率高于精確解和解析解。因重力沉降和慣性碰撞去除系數(shù)與顆粒直徑的平方呈正比，因此采用單粒徑計算顆粒去除份額的誤差較大。當氣泡上升高度為1 m時，顆粒的數(shù)量濃度已減少至原來的1%左右。同時，對比結(jié)果也表明對數(shù)正態(tài)矩方法得到的解析解與精確解在顆粒處于慣性區(qū)時吻合較好。在計算的氣泡上升高度1 m范圍內(nèi)，N/N0、dpg/dpg0、σg/σg0的最大相對誤差分別為23.4%、1.5%、8.4%。

圖3 dpg0=2.5 μm、σg0=1.5時解析解和精確解的對比Fig.3 Comparison of analytical solution with exact solution for dpg0=2.5 μm and σg0=1.5

2.3 過渡區(qū)

從圖1可看出，當顆粒處于過渡區(qū)(0.1 μm

圖4 dpg0=0.3 μm、σg0=1.5時解析解和精確解的對比Fig.4 Comparison of analytical solution with exact solution for dpg0=0.3 μm and σg0=1.5

2.4 氣溶膠的去污因子

許多實際情況下，能獲取的氣溶膠信息是氣溶膠的質(zhì)量濃度和質(zhì)量中值粒徑(dM)，而非數(shù)量濃度和數(shù)量中值粒徑(dpg)。相比數(shù)量中值粒徑，質(zhì)量中值粒徑更能反映一個對數(shù)正態(tài)分布的氣溶膠群的質(zhì)量分布特征，也更適合計算氣溶膠的去污因子DF。對于對數(shù)正態(tài)分布，dM和dpg之間滿足下式：

dpg=dMexp(-3ln2σg)

(28)

因氣溶膠的質(zhì)量濃度正比于顆粒尺度分布函數(shù)的3階矩M3。根據(jù)式(7)可得氣溶膠質(zhì)量濃度的衰減為：

(29)

計算條件為：氣泡直徑db=5 mm，多分散氣溶膠的初始參數(shù)dM0=2.5 μm、σg0=1.5，根據(jù)式(28)、(29)可得氣溶膠質(zhì)量濃度隨氣泡上升高度H的衰減過程，計算結(jié)果如圖5所示?？砂l(fā)現(xiàn)圖5與圖2a完全相同。這是因為當dM=dpg時，1個質(zhì)量中值粒徑為dM的對數(shù)正態(tài)質(zhì)量分布與1個質(zhì)量中值粒徑為dpg的對數(shù)正態(tài)數(shù)量分布對矩方法來說是完全相同的。因此可直接將式(12)、(15)中的dpg0替換為dM0，即可得到M3/M3，0的演變規(guī)律。

圖5 質(zhì)量濃度衰減的解析解和精確解對比 (dM0=2.5 μm、σg0=1.5)Fig.5 Comparison of analytical solution with exact solution in term of mass concentration decay for dM0=2.5 μm and σg0=1.5

因此，根據(jù)DF的定義可得：

(30)

3 結(jié)論

本文采用對數(shù)正態(tài)矩方法分析了鼓泡過濾氣溶膠的特性，假設多分散氣溶膠的尺度分布滿足對數(shù)正態(tài)分布，考慮布朗擴散、重力沉降和慣性碰撞這3種沉降機制對氣溶膠去除的影響。通過在矩方法分析中適當近似以及對坎寧漢滑移修正系數(shù)進行適當簡化，得到了氣溶膠尺度分布的3個分布參數(shù)(N、dpg、σg)的演變與其初始值、氣泡上升高度以及沉降系數(shù)之間滿足的解析關系。通過與離散分區(qū)法得到的精確解對比，對數(shù)正態(tài)矩方法推導的解析解表現(xiàn)出良好的預測精度。只有氣溶膠的尺度處于過渡區(qū)時解析解的誤差較顆粒尺度處于布朗區(qū)和慣性區(qū)時的稍大，但絕對誤差仍不大，而且在嚴重事故條件下進行源項評估時對氣溶膠去除速率略微低估是可接受的。最后，給出了氣溶膠去污因子的解析解。本文給出的解析解可在不需要氣溶膠尺度分布具體信息而僅需要一些初始分布參數(shù)的情況下對氣溶膠的去除特性進行快速評估。