王亞勇，陳才華，崔明哲，肖 川，馮旭光，陳富盛

(中國建筑科學(xué)研究院有限公司，北京 100013)

0 引言

現(xiàn)行《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》(GB 50010—2010)[1](簡稱《抗規(guī)》)規(guī)定，對于質(zhì)量和剛度分布明顯不對稱的結(jié)構(gòu)，應(yīng)計入雙向水平地震作用下的扭轉(zhuǎn)影響，采用扭轉(zhuǎn)耦聯(lián)振型分解法(簡稱《抗規(guī)》方法)計算雙向水平地震作用下的扭轉(zhuǎn)耦聯(lián)地震效應(yīng)。該方法已在不規(guī)則建筑、超限高層建筑結(jié)構(gòu)的抗震分析中廣泛應(yīng)用。

目前國內(nèi)外設(shè)計規(guī)范中采用的雙向水平地震作用下的效應(yīng)組合方式主要有兩類：一類是先進行兩個方向的單向水平地震效應(yīng)計算，后通過平方和開平方(SRSS)的方式進行方向組合，該方法得到包括我國《抗規(guī)》和歐洲規(guī)范Eurocode 8[2]在內(nèi)的多部規(guī)范的采用；另一類是將兩方向地震作用下的效應(yīng)以一定比例線性疊加，該方法在歐洲規(guī)范Eurocode 8、美國規(guī)范ASCE/SEI 7-16[3]、美國加州規(guī)范ATC-32[4]等采用。此外，Smeby和Kiureghian[5]，Lpez和Torres[6]等提出了一種擴展的完全二次項組合(CQC3)的組合方法，但尚未被廣泛采用。對于《抗規(guī)》方法的合理性，國內(nèi)學(xué)者和工程界的討論一直存在，如石誠[7]認(rèn)為《抗規(guī)》方法無法準(zhǔn)確計算雙向水平地震作用下豎向構(gòu)件軸力的增大；任勝謙等[8]、白曉紅等[9]通過算例的統(tǒng)計分析，對雙向水平地震作用下的地震效應(yīng)組合系數(shù)提出了修正建議等。

本文簡要介紹了雙向水平地震作用效應(yīng)計算的幾種反應(yīng)譜方法，并提出了一種基于雙向地震作用輸入的新方法；通過兩個算例，對比了各種反應(yīng)譜方法的計算結(jié)果；對各種反應(yīng)譜方法差異的原因進行了分析，并建議了未來完善雙向水平地震作用效應(yīng)計算方法的研究方向。

1 雙向水平地震作用效應(yīng)SEk的計算方法

1.1 《抗規(guī)》SRSS方法

《抗規(guī)》第5.2.3條第2款給出了雙向水平地震作用下構(gòu)件效應(yīng)的計算方法(簡稱SRSS方法)，該方法分為兩個步驟。步驟一：采用完全二次項組合(CQC)方法進行振型組合，計算x向、y向單向水平地震作用下的扭轉(zhuǎn)耦聯(lián)效應(yīng)分別為Sx和Sy。步驟二：對兩個方向單向水平地震作用下的效應(yīng)按平方和開平方(SRSS)的方式進行方向組合，并取以x向和y向為主向時的效應(yīng)組合的包絡(luò)值，即：

(1)

1.2 比例疊加方法

比例疊加方法先計算x向、y向單向水平地震作用下的效應(yīng)Sx和Sy，再對兩單向水平地震作用下的效應(yīng)按線性疊加的方式進行方向組合，如式(2)所示。線性疊加時，次向水平地震作用下的效應(yīng)需乘以比例系數(shù)α。對于該比例系數(shù)α，歐洲規(guī)范Eurocode 8和美國規(guī)范ASCE/SEI 7-16中規(guī)定取為0.3(簡稱30%方法)，美國加州規(guī)范ATC-32規(guī)定取為0.4(簡稱40%方法)。

SEk=max(Sx+αSy,Sy+αSx)

(2)

1.3 CQC3方法

Smeby和Kiureghian[5]，Lpez和Torres[6]提出的擴展的完全二次項組合(CQC3)的組合方法(簡稱CQC3方法)，計算雙向水平地震作用下構(gòu)件效應(yīng)的表達(dá)式為：

(3)

式中：Sxy為x向和y向地震作用產(chǎn)生的效應(yīng)之間的耦聯(lián)項，也采用CQC的方式計算(式(4))；γ為次向與主向反應(yīng)譜值之比；θ為結(jié)構(gòu)主軸方向與地震動主軸方向的夾角。

(4)

式中：ρij為第i振型和第j振型間的耦聯(lián)系數(shù)；Sxi和Syj分別為x向地震作用在第i振型產(chǎn)生的效應(yīng)和y向地震作用在第j振型產(chǎn)生的效應(yīng)。

1.4 基于雙向地震作用的新方法

從式(1)～(3)可以看出，以上幾種計算雙向水平地震作用效應(yīng)的反應(yīng)譜方法，均是基于“效應(yīng)組合”，即先輸入單向地震作用(單向反應(yīng)譜)求解效應(yīng)，然后再對單向地震作用下的效應(yīng)進行方向組合。本文直接基于“作用組合”提出一種計算雙向水平地震作用下構(gòu)件效應(yīng)的方法(簡稱本文方法)。該方法包括四個步驟：

(1)計算單向反應(yīng)譜輸入下各振型的地震作用。按《抗規(guī)》第5.2.3條第2款，分別計算x向、y向輸入下的第j振型i層質(zhì)心的水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)值向量FXji和FYji。其中，向量FXji和FYji各包含x向、y向和扭轉(zhuǎn)自由度上的三個分量，即向量FXji的分量為FXji,x，F(xiàn)Xji,y和FXji,t，向量FYji的分量為FYji,x，F(xiàn)Yji,y和FYji,t。

(2)進行雙向水平地震作用的組合。分別以x向、y向為地震作用主方向，按主次方向反應(yīng)譜峰值比值為1∶0.85，對單向反應(yīng)譜輸入下的水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)值向量進行線性疊加，并考慮次向地震作用正負(fù)號的不同，得到四種作用組合，編號分別為A，B，C，D：

FjiA=FXji+0.85FYji

(5)

FjiB=FXji-0.85FYji

(6)

FjiC=FYji+0.85FXji

(7)

FjiD=FYji-0.85FXji

(8)

注意式(5)～(8)均為向量運算，即向量的每個分量對應(yīng)地進行加減運算。

(3)按組合后的地震作用求解結(jié)構(gòu)的效應(yīng)。在結(jié)構(gòu)分析軟件中，分別輸入式(5)～(8)的四個雙向水平地震作用組合，再由結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，求解第j振型(j=1,…,m)的效應(yīng)，對應(yīng)記為SjA，SjB，SjC和SjD。

(4)進行地震效應(yīng)的振型組合。分別對四種雙向水平地震作用組合下的振型的效應(yīng)進行CQC組合，得到結(jié)構(gòu)的地震效應(yīng)SA，SB，SC和SD，以SA為例：

(9)

式中：SjA，SkA分別為地震作用組合A作用下第j振型和第k振型的效應(yīng)；ρjk為第j振型和第k振型的耦聯(lián)系數(shù)。

取四種地震作用組合下的效應(yīng)的包絡(luò)值作為構(gòu)件設(shè)計的依據(jù)，即：

SEk=max(SA,SB,SC,SD)

(10)

2 算例對比

本節(jié)通過設(shè)計規(guī)則和不規(guī)則的兩個框架結(jié)構(gòu)算例，以雙向輸入彈性時程分析結(jié)果為依據(jù)，對比第1節(jié)所列多種反應(yīng)譜方法對構(gòu)件效應(yīng)計算的準(zhǔn)確性。

2.1 算例設(shè)計

首先設(shè)計了一個簡單的雙軸對稱框架模型，平面布置如圖1所示?？蚣芄?層，層高4m；x向5跨、y向3跨，柱距均為9m；柱截面均為800mm×800mm，梁截面均為400mm×800mm。在雙軸對稱框架模型基礎(chǔ)上，保持平面、豎向布置不變，按圖1(b)的方式改變外圍框架梁和框架柱截面，左、下邊榀框架的梁截面減小為300mm×700mm、柱截面減小為600mm×600mm，右、上邊榀框架的梁截面增大為400mm×1 000mm、柱截面增大為1 000mm×1 000mm，得到一個雙軸不對稱模型。

圖1 算例平面布置

算例模型的抗震設(shè)計參數(shù)為：設(shè)計地震分組為第一組，抗震設(shè)防烈度為7度(0.1g)，場地類別為Ⅲ類，特征周期為0.45s，水平地震影響系數(shù)最大值為0.08，阻尼比取為5%。

2.2 對比原則

以雙向輸入彈性時程分析計算得到的構(gòu)件效應(yīng)峰值為標(biāo)定結(jié)果，對反應(yīng)譜方法計算結(jié)果的準(zhǔn)確性進行評價。為減小地震動時程的離散性對分析結(jié)果的影響，按《抗規(guī)》小震反應(yīng)譜生成了7組共14條人工波，兩兩一組，作為彈性時程分析的地震動輸入。所生成的人工波的反應(yīng)譜與規(guī)范譜的對比如圖2所示，可見二者吻合較好。

圖2 人工波反應(yīng)譜與規(guī)范譜對比

對每組人工波，分別進行4個工況的雙向輸入彈性時程分析，即xy+(第一個字母表示主波輸入軸，第二個字母表示次波輸入軸，正負(fù)號表示次波沿坐標(biāo)軸輸入的方向，余同)，xy-，yx+，yx-，雙向地震動時程的峰值加速度比為1∶0.85。雙向輸入時程分析下構(gòu)件效應(yīng)標(biāo)定值的計算方法為：首先提取上述四個工況的效應(yīng)包絡(luò)值作為該組地震波作用下的效應(yīng)，然后對7組地震波作用下的效應(yīng)取平均值。

彈性時程分析以及反應(yīng)譜分析中，30%方法、40%方法和CQC3方法均采用SAP2000計算，對于本文方法則采用PKPM-SATWE計算，由某公司開發(fā)了相關(guān)的計算補丁程序?qū)崿F(xiàn)。兩個軟件的計算參數(shù)設(shè)置完全相同，并且單向反應(yīng)譜輸入時構(gòu)件效應(yīng)計算結(jié)果非常接近，可排除不同軟件的模型設(shè)置、計算假定等對計算結(jié)果的影響。

2.3 對比結(jié)果

以圖1(a)中所示的角柱、邊柱和中柱為例，提取各樓層柱在彈性時程分析和反應(yīng)譜分析中的效應(yīng)計算結(jié)果進行對比。限于篇幅，本節(jié)所對比的構(gòu)件效應(yīng)為軸力、x向剪力和y向剪力。

雙軸對稱框架和雙軸不對稱框架反應(yīng)譜計算的效應(yīng)結(jié)果與構(gòu)件效應(yīng)標(biāo)定結(jié)果(7組地震波作用下的效應(yīng)平均值)的比值如圖3和圖4所示，圖中還給出了7組地震波時程分析計算的各構(gòu)件效應(yīng)的變異系數(shù)(時程μ+σ、時程μ-σ)以表征結(jié)構(gòu)在地震作用下的響應(yīng)的不確定性?？梢姡瑢τ陔p軸對稱框架(圖3)，SRSS方法、30%方法計算的角柱軸力偏小，而本文方法計算的角柱軸力偏大；各種計算方法算得的x向剪力和y向剪力均較為接近時程分析結(jié)果。對于雙軸不對稱框架(圖4)，SRSS方法、30%方法和CQC3方法計算的軸力和y向剪力均偏小，本文方法的計算結(jié)果更接近時程分析結(jié)果，但角柱的軸力和y向剪力仍偏大。

圖3 雙軸對稱框架反應(yīng)譜方法效應(yīng)對比

圖4 雙軸不對稱框架反應(yīng)譜方法效應(yīng)對比

對兩個模型各個構(gòu)件由反應(yīng)譜方法計算的效應(yīng)與時程分析得到的效應(yīng)之比求平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，列于表1和表2，以對比各種方法計算構(gòu)件效應(yīng)的整體準(zhǔn)確性和離散性。由表1可見，整體而言，對于雙軸對稱框架，SRSS方法、30%方法、40%方法和CQC3方法計算的軸力和兩方向剪力均較為準(zhǔn)確，本文方法計算的構(gòu)件軸力偏大，剪力計算準(zhǔn)確性與其他各方法接近。由表2可見，整體而言，對于雙軸不對稱框架，SRSS方法計算結(jié)果明顯偏低，即低估了構(gòu)件在雙向水平地震作用下的效應(yīng)；30%方法、40%方法和CQC3方法計算結(jié)果相比SRSS方法有所提高，但仍有一定程度低估；本文方法的計算結(jié)果與時程分析結(jié)果最為接近。

雙軸對稱框架內(nèi)力反應(yīng)譜值與時程均值比值 表1

雙軸不對稱框架內(nèi)力反應(yīng)譜值與時程均值比值 表2

3 分析與討論

3.1 不同方法差異分析

3.1.1 SRSS方法與比例疊加方法

不失一般性，假定x向地震作用效應(yīng)較大，則SRSS方法計算的效應(yīng)為：

(11)

比例疊加方法計算的地震效應(yīng)為：

(12)

圖5給出了根據(jù)SRSS方法、30%方法和40%方法計算的SEk與Sx的比值隨兩個方向的地震作用效應(yīng)的比值Sy/Sx變化的曲線?？梢姰?dāng)Sy/Sx在[0,1]區(qū)間內(nèi)時，30%方法和40%方法計算的雙向水平地震作用效應(yīng)與SRSS方法誤差較小，其中：30%方法與SRSS方法的最大誤差為6%，且大多數(shù)情況下都偏于保守；40%方法與SRSS方法的最大誤差為10%且在該區(qū)間內(nèi)均偏保守。

圖5 SRSS方法與比例疊加方法對比

可見，比例疊加方法實際上是SRSS方法偏于保守的線性近似，這與算例中結(jié)果一致，即30%方法和40%方法的計算結(jié)果與SRSS方法較為接近，且比SRSS方法略大。

3.1.2 SRSS方法與CQC3方法

需要指出的是，CQC3方法是在兩個地震動主軸方向上的地震作用相互獨立的假定下推導(dǎo)的。SRSS方法作為CQC3方法在地震動主軸與結(jié)構(gòu)主軸一致時的特例，同樣也忽略了雙向水平地震作用之間的相關(guān)性，因此可能導(dǎo)致不安全的結(jié)果。由本文算例可見，忽略雙向水平地震作用間的相關(guān)性可能導(dǎo)致角部豎向構(gòu)件的軸力及不對稱結(jié)構(gòu)豎向構(gòu)件的剪力計算結(jié)果明顯偏小。

由于CQC3方法不要求地震動主軸與結(jié)構(gòu)主軸重合，而是計算地震動主軸與結(jié)構(gòu)主軸成任意角度時的效應(yīng)，并取其包絡(luò)，因此CQC3方法計算的構(gòu)件效應(yīng)不小于SRSS方法。但由本文算例可見，CQC3方法也會低估角部豎向構(gòu)件的軸力及不對稱結(jié)構(gòu)豎向構(gòu)件的剪力。

3.1.3 本文方法

在線彈性假定下，本文方法按式(5)～(8)對各振型下的雙向水平地震作用的組合等價于各振型下雙向水平地震作用效應(yīng)的線性疊加，按CQC法振型組合后的構(gòu)件效應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)值可表示為：

(13)

式(13)與劉季[10]基于雙向地震動完全相關(guān)的假定推導(dǎo)的效應(yīng)組合方法基本一致，并增加了考慮地震作用的不同輸入方向取效應(yīng)包絡(luò)，即對交叉項SxSy取絕對值。時程分析中，雙向地震動完全相關(guān)意味著兩方向的地震動時程符合一定的比例關(guān)系，即波形完全一致。

在本文兩個算例中，將時程分析所用的地震波主次向均取相同波形輸入結(jié)構(gòu)，并按第2節(jié)相同的方式對比反應(yīng)譜方法和彈性時程分析得到的構(gòu)件效應(yīng)峰值。將第2節(jié)中本文方法誤差較大的雙軸對稱框架的軸力和雙軸不對稱框架的y向剪力計算結(jié)果列于圖6?？梢?，在雙向地震動完全相關(guān)的情況下，本文方法計算的各構(gòu)件效應(yīng)值與時程分析結(jié)果接近，而其他幾種方法均大幅低估了角柱的軸力和不對稱框架模型中框架柱的y向剪力。

圖6 反應(yīng)譜方法與雙向地震動完全相關(guān)時程分析效應(yīng)對比

對于實際的地震作用，兩水平分量的地震波波形之間顯然存在一定差異，即二者并非完全相關(guān)。而本文方法基于兩個方向的輸入完全相關(guān)，因此本文方法計算結(jié)果可認(rèn)為是雙向水平地震作用效應(yīng)的上限值，用于結(jié)構(gòu)設(shè)計偏于保守和安全。實際雙向水平地震作用輸入之間的相關(guān)性，仍需進一步深入研究。

3.2 時程分析中地震波雙向輸入問題

本文進行雙向輸入彈性時程分析時，除按目前工程實踐中的常規(guī)做法，將1組地震波交換x，y主向進行輸入外，還考慮了次方向地震波沿次軸負(fù)向輸入的情況，因此對1組地震波共計算了四個工況。表3給出了第2節(jié)中算例雙軸對稱框架1層角柱在7組地震波下的軸力?？梢?，對于某些地震波(如RGB02，RGB04等)，次向地震波沿次軸負(fù)向輸入時的構(gòu)件效應(yīng)大于沿正向輸入時的結(jié)果；對該算例而言，考慮次向地震波沿次軸正、負(fù)向輸入計算得到的構(gòu)件效應(yīng)包絡(luò)，比僅考慮次向地震波沿次軸正向輸入的結(jié)果最大可放大1.52倍(地震波RGB07)。這說明在進行雙向輸入時程分析時，僅考慮地震波的輸入軸而不考慮地震波的輸入方向，計算得到的構(gòu)件效應(yīng)可能偏不安全。

同一構(gòu)件在不同雙向輸入工況下的軸力結(jié)果 /kN 表3

因此，建議對結(jié)構(gòu)進行雙向輸入時程分析時，除交換主、次地震波的輸入軸外，還應(yīng)計算次向地震波沿軸負(fù)向輸入的情況，并對構(gòu)件效應(yīng)取包絡(luò)結(jié)果。

4 結(jié)論

(1)《抗規(guī)》中雙向水平地震作用下結(jié)構(gòu)效應(yīng)計算方法(SRSS方法)由于未考慮雙向水平地震作用之間的相關(guān)性，效應(yīng)計算可能偏于不安全，角部豎向構(gòu)件的軸力和不對稱結(jié)構(gòu)豎向構(gòu)件的剪力計算誤差較大，因此結(jié)構(gòu)設(shè)計時對于角部豎向構(gòu)件的軸力、平面不規(guī)則結(jié)構(gòu)豎向構(gòu)件的剪力宜適當(dāng)放大。

(2)本文提出的雙向水平地震作用效應(yīng)計算新方法基于雙向水平地震動完全相關(guān)，因此計算結(jié)果可認(rèn)為是雙向水平地震作用效應(yīng)的上限值，用于結(jié)構(gòu)設(shè)計偏于保守和安全。

(3)實際的雙向水平地震動之間的相關(guān)性介于完全不相關(guān)和完全相關(guān)之間，因此結(jié)構(gòu)在雙向水平地震作用下的效應(yīng)介于《抗規(guī)》SRSS方法和本文方法之間。

(4)對結(jié)構(gòu)進行雙向輸入時程分析時，除交換主、次地震波的輸入軸外，還應(yīng)考慮地震輸入的方向，增加次向地震波沿負(fù)向輸入的情況，并對構(gòu)件效應(yīng)取包絡(luò)結(jié)果。

本文方法直接基于雙向地震作用，但由于目前缺乏對應(yīng)于雙向輸入的雙向地震反應(yīng)譜，因此兩個正交方向采用的反應(yīng)譜完全相同，導(dǎo)致部分構(gòu)件效應(yīng)計算結(jié)果偏大。未來建議在雙向水平地震作用的相關(guān)性、雙向輸入所用反應(yīng)譜構(gòu)造等方面開展研究，進一步完善雙向水平地震作用效應(yīng)計算方法。