王亞勇，陳才華，崔明哲，肖 川，馮旭光，陳富盛

(中國(guó)建筑科學(xué)研究院有限公司，北京 100013)

0 引言

現(xiàn)行《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50010—2010)[1](簡(jiǎn)稱《抗規(guī)》)規(guī)定，對(duì)于質(zhì)量和剛度分布明顯不對(duì)稱的結(jié)構(gòu)，應(yīng)計(jì)入雙向水平地震作用下的扭轉(zhuǎn)影響，采用扭轉(zhuǎn)耦聯(lián)振型分解法(簡(jiǎn)稱《抗規(guī)》方法)計(jì)算雙向水平地震作用下的扭轉(zhuǎn)耦聯(lián)地震效應(yīng)。該方法已在不規(guī)則建筑、超限高層建筑結(jié)構(gòu)的抗震分析中廣泛應(yīng)用。

目前國(guó)內(nèi)外設(shè)計(jì)規(guī)范中采用的雙向水平地震作用下的效應(yīng)組合方式主要有兩類：一類是先進(jìn)行兩個(gè)方向的單向水平地震效應(yīng)計(jì)算，后通過(guò)平方和開(kāi)平方(SRSS)的方式進(jìn)行方向組合，該方法得到包括我國(guó)《抗規(guī)》和歐洲規(guī)范Eurocode 8[2]在內(nèi)的多部規(guī)范的采用；另一類是將兩方向地震作用下的效應(yīng)以一定比例線性疊加，該方法在歐洲規(guī)范Eurocode 8、美國(guó)規(guī)范ASCE/SEI 7-16[3]、美國(guó)加州規(guī)范ATC-32[4]等采用。此外，Smeby和Kiureghian[5]，Lpez和Torres[6]等提出了一種擴(kuò)展的完全二次項(xiàng)組合(CQC3)的組合方法，但尚未被廣泛采用。對(duì)于《抗規(guī)》方法的合理性，國(guó)內(nèi)學(xué)者和工程界的討論一直存在，如石誠(chéng)[7]認(rèn)為《抗規(guī)》方法無(wú)法準(zhǔn)確計(jì)算雙向水平地震作用下豎向構(gòu)件軸力的增大；任勝謙等[8]、白曉紅等[9]通過(guò)算例的統(tǒng)計(jì)分析，對(duì)雙向水平地震作用下的地震效應(yīng)組合系數(shù)提出了修正建議等。

本文簡(jiǎn)要介紹了雙向水平地震作用效應(yīng)計(jì)算的幾種反應(yīng)譜方法，并提出了一種基于雙向地震作用輸入的新方法；通過(guò)兩個(gè)算例，對(duì)比了各種反應(yīng)譜方法的計(jì)算結(jié)果；對(duì)各種反應(yīng)譜方法差異的原因進(jìn)行了分析，并建議了未來(lái)完善雙向水平地震作用效應(yīng)計(jì)算方法的研究方向。

1 雙向水平地震作用效應(yīng)SEk的計(jì)算方法

1.1 《抗規(guī)》SRSS方法

《抗規(guī)》第5.2.3條第2款給出了雙向水平地震作用下構(gòu)件效應(yīng)的計(jì)算方法(簡(jiǎn)稱SRSS方法)，該方法分為兩個(gè)步驟。步驟一：采用完全二次項(xiàng)組合(CQC)方法進(jìn)行振型組合，計(jì)算x向、y向單向水平地震作用下的扭轉(zhuǎn)耦聯(lián)效應(yīng)分別為Sx和Sy。步驟二：對(duì)兩個(gè)方向單向水平地震作用下的效應(yīng)按平方和開(kāi)平方(SRSS)的方式進(jìn)行方向組合，并取以x向和y向?yàn)橹飨驎r(shí)的效應(yīng)組合的包絡(luò)值，即：

(1)

1.2 比例疊加方法

比例疊加方法先計(jì)算x向、y向單向水平地震作用下的效應(yīng)Sx和Sy，再對(duì)兩單向水平地震作用下的效應(yīng)按線性疊加的方式進(jìn)行方向組合，如式(2)所示。線性疊加時(shí)，次向水平地震作用下的效應(yīng)需乘以比例系數(shù)α。對(duì)于該比例系數(shù)α，歐洲規(guī)范Eurocode 8和美國(guó)規(guī)范ASCE/SEI 7-16中規(guī)定取為0.3(簡(jiǎn)稱30%方法)，美國(guó)加州規(guī)范ATC-32規(guī)定取為0.4(簡(jiǎn)稱40%方法)。

SEk=max(Sx+αSy,Sy+αSx)

(2)

1.3 CQC3方法

Smeby和Kiureghian[5]，Lpez和Torres[6]提出的擴(kuò)展的完全二次項(xiàng)組合(CQC3)的組合方法(簡(jiǎn)稱CQC3方法)，計(jì)算雙向水平地震作用下構(gòu)件效應(yīng)的表達(dá)式為：

(3)

式中：Sxy為x向和y向地震作用產(chǎn)生的效應(yīng)之間的耦聯(lián)項(xiàng)，也采用CQC的方式計(jì)算(式(4))；γ為次向與主向反應(yīng)譜值之比；θ為結(jié)構(gòu)主軸方向與地震動(dòng)主軸方向的夾角。

(4)

式中：ρij為第i振型和第j振型間的耦聯(lián)系數(shù)；Sxi和Syj分別為x向地震作用在第i振型產(chǎn)生的效應(yīng)和y向地震作用在第j振型產(chǎn)生的效應(yīng)。

1.4 基于雙向地震作用的新方法

從式(1)～(3)可以看出，以上幾種計(jì)算雙向水平地震作用效應(yīng)的反應(yīng)譜方法，均是基于“效應(yīng)組合”，即先輸入單向地震作用(單向反應(yīng)譜)求解效應(yīng)，然后再對(duì)單向地震作用下的效應(yīng)進(jìn)行方向組合。本文直接基于“作用組合”提出一種計(jì)算雙向水平地震作用下構(gòu)件效應(yīng)的方法(簡(jiǎn)稱本文方法)。該方法包括四個(gè)步驟：

(1)計(jì)算單向反應(yīng)譜輸入下各振型的地震作用。按《抗規(guī)》第5.2.3條第2款，分別計(jì)算x向、y向輸入下的第j振型i層質(zhì)心的水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)值向量FXji和FYji。其中，向量FXji和FYji各包含x向、y向和扭轉(zhuǎn)自由度上的三個(gè)分量，即向量FXji的分量為FXji,x，F(xiàn)Xji,y和FXji,t，向量FYji的分量為FYji,x，F(xiàn)Yji,y和FYji,t。

(2)進(jìn)行雙向水平地震作用的組合。分別以x向、y向?yàn)榈卣鹱饔弥鞣较?，按主次方向反?yīng)譜峰值比值為1∶0.85，對(duì)單向反應(yīng)譜輸入下的水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)值向量進(jìn)行線性疊加，并考慮次向地震作用正負(fù)號(hào)的不同，得到四種作用組合，編號(hào)分別為A，B，C，D：

FjiA=FXji+0.85FYji

(5)

FjiB=FXji-0.85FYji

(6)

FjiC=FYji+0.85FXji

(7)

FjiD=FYji-0.85FXji

(8)

注意式(5)～(8)均為向量運(yùn)算，即向量的每個(gè)分量對(duì)應(yīng)地進(jìn)行加減運(yùn)算。

(3)按組合后的地震作用求解結(jié)構(gòu)的效應(yīng)。在結(jié)構(gòu)分析軟件中，分別輸入式(5)～(8)的四個(gè)雙向水平地震作用組合，再由結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，求解第j振型(j=1,…,m)的效應(yīng)，對(duì)應(yīng)記為SjA，SjB，SjC和SjD。

(4)進(jìn)行地震效應(yīng)的振型組合。分別對(duì)四種雙向水平地震作用組合下的振型的效應(yīng)進(jìn)行CQC組合，得到結(jié)構(gòu)的地震效應(yīng)SA，SB，SC和SD，以SA為例：

(9)

式中：SjA，SkA分別為地震作用組合A作用下第j振型和第k振型的效應(yīng)；ρjk為第j振型和第k振型的耦聯(lián)系數(shù)。

取四種地震作用組合下的效應(yīng)的包絡(luò)值作為構(gòu)件設(shè)計(jì)的依據(jù)，即：

SEk=max(SA,SB,SC,SD)

(10)

2 算例對(duì)比

本節(jié)通過(guò)設(shè)計(jì)規(guī)則和不規(guī)則的兩個(gè)框架結(jié)構(gòu)算例，以雙向輸入彈性時(shí)程分析結(jié)果為依據(jù)，對(duì)比第1節(jié)所列多種反應(yīng)譜方法對(duì)構(gòu)件效應(yīng)計(jì)算的準(zhǔn)確性。

2.1 算例設(shè)計(jì)

首先設(shè)計(jì)了一個(gè)簡(jiǎn)單的雙軸對(duì)稱框架模型，平面布置如圖1所示。框架共6層，層高4m；x向5跨、y向3跨，柱距均為9m；柱截面均為800mm×800mm，梁截面均為400mm×800mm。在雙軸對(duì)稱框架模型基礎(chǔ)上，保持平面、豎向布置不變，按圖1(b)的方式改變外圍框架梁和框架柱截面，左、下邊榀框架的梁截面減小為300mm×700mm、柱截面減小為600mm×600mm，右、上邊榀框架的梁截面增大為400mm×1 000mm、柱截面增大為1 000mm×1 000mm，得到一個(gè)雙軸不對(duì)稱模型。

圖1 算例平面布置

算例模型的抗震設(shè)計(jì)參數(shù)為：設(shè)計(jì)地震分組為第一組，抗震設(shè)防烈度為7度(0.1g)，場(chǎng)地類別為Ⅲ類，特征周期為0.45s，水平地震影響系數(shù)最大值為0.08，阻尼比取為5%。

2.2 對(duì)比原則

以雙向輸入彈性時(shí)程分析計(jì)算得到的構(gòu)件效應(yīng)峰值為標(biāo)定結(jié)果，對(duì)反應(yīng)譜方法計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性進(jìn)行評(píng)價(jià)。為減小地震動(dòng)時(shí)程的離散性對(duì)分析結(jié)果的影響，按《抗規(guī)》小震反應(yīng)譜生成了7組共14條人工波，兩兩一組，作為彈性時(shí)程分析的地震動(dòng)輸入。所生成的人工波的反應(yīng)譜與規(guī)范譜的對(duì)比如圖2所示，可見(jiàn)二者吻合較好。

圖2 人工波反應(yīng)譜與規(guī)范譜對(duì)比

對(duì)每組人工波，分別進(jìn)行4個(gè)工況的雙向輸入彈性時(shí)程分析，即xy+(第一個(gè)字母表示主波輸入軸，第二個(gè)字母表示次波輸入軸，正負(fù)號(hào)表示次波沿坐標(biāo)軸輸入的方向，余同)，xy-，yx+，yx-，雙向地震動(dòng)時(shí)程的峰值加速度比為1∶0.85。雙向輸入時(shí)程分析下構(gòu)件效應(yīng)標(biāo)定值的計(jì)算方法為：首先提取上述四個(gè)工況的效應(yīng)包絡(luò)值作為該組地震波作用下的效應(yīng)，然后對(duì)7組地震波作用下的效應(yīng)取平均值。

彈性時(shí)程分析以及反應(yīng)譜分析中，30%方法、40%方法和CQC3方法均采用SAP2000計(jì)算，對(duì)于本文方法則采用PKPM-SATWE計(jì)算，由某公司開(kāi)發(fā)了相關(guān)的計(jì)算補(bǔ)丁程序?qū)崿F(xiàn)。兩個(gè)軟件的計(jì)算參數(shù)設(shè)置完全相同，并且單向反應(yīng)譜輸入時(shí)構(gòu)件效應(yīng)計(jì)算結(jié)果非常接近，可排除不同軟件的模型設(shè)置、計(jì)算假定等對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。

2.3 對(duì)比結(jié)果

以圖1(a)中所示的角柱、邊柱和中柱為例，提取各樓層柱在彈性時(shí)程分析和反應(yīng)譜分析中的效應(yīng)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。限于篇幅，本節(jié)所對(duì)比的構(gòu)件效應(yīng)為軸力、x向剪力和y向剪力。

雙軸對(duì)稱框架和雙軸不對(duì)稱框架反應(yīng)譜計(jì)算的效應(yīng)結(jié)果與構(gòu)件效應(yīng)標(biāo)定結(jié)果(7組地震波作用下的效應(yīng)平均值)的比值如圖3和圖4所示，圖中還給出了7組地震波時(shí)程分析計(jì)算的各構(gòu)件效應(yīng)的變異系數(shù)(時(shí)程μ+σ、時(shí)程μ-σ)以表征結(jié)構(gòu)在地震作用下的響應(yīng)的不確定性?？梢?jiàn)，對(duì)于雙軸對(duì)稱框架(圖3)，SRSS方法、30%方法計(jì)算的角柱軸力偏小，而本文方法計(jì)算的角柱軸力偏大；各種計(jì)算方法算得的x向剪力和y向剪力均較為接近時(shí)程分析結(jié)果。對(duì)于雙軸不對(duì)稱框架(圖4)，SRSS方法、30%方法和CQC3方法計(jì)算的軸力和y向剪力均偏小，本文方法的計(jì)算結(jié)果更接近時(shí)程分析結(jié)果，但角柱的軸力和y向剪力仍偏大。

圖3 雙軸對(duì)稱框架反應(yīng)譜方法效應(yīng)對(duì)比

圖4 雙軸不對(duì)稱框架反應(yīng)譜方法效應(yīng)對(duì)比

對(duì)兩個(gè)模型各個(gè)構(gòu)件由反應(yīng)譜方法計(jì)算的效應(yīng)與時(shí)程分析得到的效應(yīng)之比求平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，列于表1和表2，以對(duì)比各種方法計(jì)算構(gòu)件效應(yīng)的整體準(zhǔn)確性和離散性。由表1可見(jiàn)，整體而言，對(duì)于雙軸對(duì)稱框架，SRSS方法、30%方法、40%方法和CQC3方法計(jì)算的軸力和兩方向剪力均較為準(zhǔn)確，本文方法計(jì)算的構(gòu)件軸力偏大，剪力計(jì)算準(zhǔn)確性與其他各方法接近。由表2可見(jiàn)，整體而言，對(duì)于雙軸不對(duì)稱框架，SRSS方法計(jì)算結(jié)果明顯偏低，即低估了構(gòu)件在雙向水平地震作用下的效應(yīng)；30%方法、40%方法和CQC3方法計(jì)算結(jié)果相比SRSS方法有所提高，但仍有一定程度低估；本文方法的計(jì)算結(jié)果與時(shí)程分析結(jié)果最為接近。

雙軸對(duì)稱框架內(nèi)力反應(yīng)譜值與時(shí)程均值比值 表1

雙軸不對(duì)稱框架內(nèi)力反應(yīng)譜值與時(shí)程均值比值 表2

3 分析與討論

3.1 不同方法差異分析

3.1.1 SRSS方法與比例疊加方法

不失一般性，假定x向地震作用效應(yīng)較大，則SRSS方法計(jì)算的效應(yīng)為：

(11)

比例疊加方法計(jì)算的地震效應(yīng)為：

(12)

圖5給出了根據(jù)SRSS方法、30%方法和40%方法計(jì)算的SEk與Sx的比值隨兩個(gè)方向的地震作用效應(yīng)的比值Sy/Sx變化的曲線?？梢?jiàn)當(dāng)Sy/Sx在[0,1]區(qū)間內(nèi)時(shí)，30%方法和40%方法計(jì)算的雙向水平地震作用效應(yīng)與SRSS方法誤差較小，其中：30%方法與SRSS方法的最大誤差為6%，且大多數(shù)情況下都偏于保守；40%方法與SRSS方法的最大誤差為10%且在該區(qū)間內(nèi)均偏保守。

圖5 SRSS方法與比例疊加方法對(duì)比

可見(jiàn)，比例疊加方法實(shí)際上是SRSS方法偏于保守的線性近似，這與算例中結(jié)果一致，即30%方法和40%方法的計(jì)算結(jié)果與SRSS方法較為接近，且比SRSS方法略大。

3.1.2 SRSS方法與CQC3方法

需要指出的是，CQC3方法是在兩個(gè)地震動(dòng)主軸方向上的地震作用相互獨(dú)立的假定下推導(dǎo)的。SRSS方法作為CQC3方法在地震動(dòng)主軸與結(jié)構(gòu)主軸一致時(shí)的特例，同樣也忽略了雙向水平地震作用之間的相關(guān)性，因此可能導(dǎo)致不安全的結(jié)果。由本文算例可見(jiàn)，忽略雙向水平地震作用間的相關(guān)性可能導(dǎo)致角部豎向構(gòu)件的軸力及不對(duì)稱結(jié)構(gòu)豎向構(gòu)件的剪力計(jì)算結(jié)果明顯偏小。

由于CQC3方法不要求地震動(dòng)主軸與結(jié)構(gòu)主軸重合，而是計(jì)算地震動(dòng)主軸與結(jié)構(gòu)主軸成任意角度時(shí)的效應(yīng)，并取其包絡(luò)，因此CQC3方法計(jì)算的構(gòu)件效應(yīng)不小于SRSS方法。但由本文算例可見(jiàn)，CQC3方法也會(huì)低估角部豎向構(gòu)件的軸力及不對(duì)稱結(jié)構(gòu)豎向構(gòu)件的剪力。

3.1.3 本文方法

在線彈性假定下，本文方法按式(5)～(8)對(duì)各振型下的雙向水平地震作用的組合等價(jià)于各振型下雙向水平地震作用效應(yīng)的線性疊加，按CQC法振型組合后的構(gòu)件效應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)值可表示為：

(13)

式(13)與劉季[10]基于雙向地震動(dòng)完全相關(guān)的假定推導(dǎo)的效應(yīng)組合方法基本一致，并增加了考慮地震作用的不同輸入方向取效應(yīng)包絡(luò)，即對(duì)交叉項(xiàng)SxSy取絕對(duì)值。時(shí)程分析中，雙向地震動(dòng)完全相關(guān)意味著兩方向的地震動(dòng)時(shí)程符合一定的比例關(guān)系，即波形完全一致。

在本文兩個(gè)算例中，將時(shí)程分析所用的地震波主次向均取相同波形輸入結(jié)構(gòu)，并按第2節(jié)相同的方式對(duì)比反應(yīng)譜方法和彈性時(shí)程分析得到的構(gòu)件效應(yīng)峰值。將第2節(jié)中本文方法誤差較大的雙軸對(duì)稱框架的軸力和雙軸不對(duì)稱框架的y向剪力計(jì)算結(jié)果列于圖6。可見(jiàn)，在雙向地震動(dòng)完全相關(guān)的情況下，本文方法計(jì)算的各構(gòu)件效應(yīng)值與時(shí)程分析結(jié)果接近，而其他幾種方法均大幅低估了角柱的軸力和不對(duì)稱框架模型中框架柱的y向剪力。

圖6 反應(yīng)譜方法與雙向地震動(dòng)完全相關(guān)時(shí)程分析效應(yīng)對(duì)比

對(duì)于實(shí)際的地震作用，兩水平分量的地震波波形之間顯然存在一定差異，即二者并非完全相關(guān)。而本文方法基于兩個(gè)方向的輸入完全相關(guān)，因此本文方法計(jì)算結(jié)果可認(rèn)為是雙向水平地震作用效應(yīng)的上限值，用于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)偏于保守和安全。實(shí)際雙向水平地震作用輸入之間的相關(guān)性，仍需進(jìn)一步深入研究。

3.2 時(shí)程分析中地震波雙向輸入問(wèn)題

本文進(jìn)行雙向輸入彈性時(shí)程分析時(shí)，除按目前工程實(shí)踐中的常規(guī)做法，將1組地震波交換x，y主向進(jìn)行輸入外，還考慮了次方向地震波沿次軸負(fù)向輸入的情況，因此對(duì)1組地震波共計(jì)算了四個(gè)工況。表3給出了第2節(jié)中算例雙軸對(duì)稱框架1層角柱在7組地震波下的軸力。可見(jiàn)，對(duì)于某些地震波(如RGB02，RGB04等)，次向地震波沿次軸負(fù)向輸入時(shí)的構(gòu)件效應(yīng)大于沿正向輸入時(shí)的結(jié)果；對(duì)該算例而言，考慮次向地震波沿次軸正、負(fù)向輸入計(jì)算得到的構(gòu)件效應(yīng)包絡(luò)，比僅考慮次向地震波沿次軸正向輸入的結(jié)果最大可放大1.52倍(地震波RGB07)。這說(shuō)明在進(jìn)行雙向輸入時(shí)程分析時(shí)，僅考慮地震波的輸入軸而不考慮地震波的輸入方向，計(jì)算得到的構(gòu)件效應(yīng)可能偏不安全。

同一構(gòu)件在不同雙向輸入工況下的軸力結(jié)果 /kN 表3

因此，建議對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行雙向輸入時(shí)程分析時(shí)，除交換主、次地震波的輸入軸外，還應(yīng)計(jì)算次向地震波沿軸負(fù)向輸入的情況，并對(duì)構(gòu)件效應(yīng)取包絡(luò)結(jié)果。

4 結(jié)論

(1)《抗規(guī)》中雙向水平地震作用下結(jié)構(gòu)效應(yīng)計(jì)算方法(SRSS方法)由于未考慮雙向水平地震作用之間的相關(guān)性，效應(yīng)計(jì)算可能偏于不安全，角部豎向構(gòu)件的軸力和不對(duì)稱結(jié)構(gòu)豎向構(gòu)件的剪力計(jì)算誤差較大，因此結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)對(duì)于角部豎向構(gòu)件的軸力、平面不規(guī)則結(jié)構(gòu)豎向構(gòu)件的剪力宜適當(dāng)放大。

(2)本文提出的雙向水平地震作用效應(yīng)計(jì)算新方法基于雙向水平地震動(dòng)完全相關(guān)，因此計(jì)算結(jié)果可認(rèn)為是雙向水平地震作用效應(yīng)的上限值，用于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)偏于保守和安全。

(3)實(shí)際的雙向水平地震動(dòng)之間的相關(guān)性介于完全不相關(guān)和完全相關(guān)之間，因此結(jié)構(gòu)在雙向水平地震作用下的效應(yīng)介于《抗規(guī)》SRSS方法和本文方法之間。

(4)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行雙向輸入時(shí)程分析時(shí)，除交換主、次地震波的輸入軸外，還應(yīng)考慮地震輸入的方向，增加次向地震波沿負(fù)向輸入的情況，并對(duì)構(gòu)件效應(yīng)取包絡(luò)結(jié)果。

本文方法直接基于雙向地震作用，但由于目前缺乏對(duì)應(yīng)于雙向輸入的雙向地震反應(yīng)譜，因此兩個(gè)正交方向采用的反應(yīng)譜完全相同，導(dǎo)致部分構(gòu)件效應(yīng)計(jì)算結(jié)果偏大。未來(lái)建議在雙向水平地震作用的相關(guān)性、雙向輸入所用反應(yīng)譜構(gòu)造等方面開(kāi)展研究，進(jìn)一步完善雙向水平地震作用效應(yīng)計(jì)算方法。