尚東東， 張勁東, 胡婉婉， 王 娜

(南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院， 江蘇南京 211100)

0 引言

在電子戰(zhàn)領(lǐng)域，假目標(biāo)干擾是常見的欺騙干擾方式，尤其是基于數(shù)字射頻存儲(chǔ)器產(chǎn)生的間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)式干擾，更是得到了廣泛的應(yīng)用。間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)式干擾與雷達(dá)回波信號(hào)具有相參性，能夠獲得雷達(dá)匹配濾波處理后的脈壓增益，有著較強(qiáng)的干擾能力。因此，針對(duì)間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)干擾的參數(shù)提取對(duì)抑制這種干擾具有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值。

間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)式干擾是對(duì)截獲到的線性調(diào)頻信號(hào)延時(shí)轉(zhuǎn)發(fā)而來的。雖然國內(nèi)外對(duì)線性調(diào)頻信號(hào)參數(shù)估計(jì)[1-2]的研究很多。但針對(duì)間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)式干擾的參數(shù)提取方法研究極少。目前，間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)式干擾的參數(shù)估計(jì)大都建立在時(shí)頻分析的基礎(chǔ)上。文獻(xiàn)[3]對(duì)間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)式干擾脈沖壓縮結(jié)果進(jìn)行時(shí)頻分析，得到切片的數(shù)量，然后通過去卷積處理估計(jì)切片的寬度。文獻(xiàn)[4]通過短時(shí)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換得到干擾時(shí)頻分布圖，并通過二值化估計(jì)干擾參數(shù)。文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]的方法運(yùn)算量較大，實(shí)現(xiàn)較為復(fù)雜，無法滿足雷達(dá)實(shí)時(shí)性的要求；文獻(xiàn)[5]分析干擾匹配濾波后的互模糊函數(shù)，然后通過Randon變換和最小二乘估計(jì)法對(duì)干擾參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，但是該方法受噪聲影響較大，且Randon變換的復(fù)雜度較高；文獻(xiàn)[6]提出一種滑動(dòng)截?cái)嗥ヅ錇V波方法，通過對(duì)濾波器長(zhǎng)度和濾波器延時(shí)進(jìn)行二維搜索，對(duì)干擾參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，但該方法中搜索的范圍需要先驗(yàn)信息。因此由于參數(shù)提取難度大，目前針對(duì)間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)式干擾的參數(shù)提取并無有效算法支撐。

ADMM是Gabay提出的一種解決大規(guī)模凸優(yōu)化問題的算法[7]。ADMM相比于其他優(yōu)化算法有著處理速度快、收斂性能好等特點(diǎn)，在統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)、圖像處理等領(lǐng)域有著廣泛的運(yùn)用。

綜上，本文提出一種基于ADMM的間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)式干擾的參數(shù)估計(jì)方法。該方法根據(jù)間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)干擾脈沖壓縮結(jié)果，構(gòu)造出含有加窗向量的非線性整數(shù)優(yōu)化模型，將參數(shù)估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為加窗向量估計(jì)問題，然后利用ADMM將非線性整數(shù)優(yōu)化模型分解為整數(shù)歸整模型與連續(xù)模型，實(shí)現(xiàn)切片寬度和數(shù)量的估計(jì)。

1 間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)式干擾的參數(shù)估計(jì)模型

間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)式干擾是在干擾機(jī)截獲到雷達(dá)發(fā)射信號(hào)后，對(duì)發(fā)射信號(hào)進(jìn)行采樣，將采樣的信號(hào)按照一定的規(guī)律轉(zhuǎn)發(fā)出去，直至雷達(dá)發(fā)射信號(hào)結(jié)束。其工作原理如圖1所示。

圖1 間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)式干擾(K=3,M=2)

雷達(dá)發(fā)射的線性調(diào)頻信號(hào)可表示為

(1)

式中，Tp為脈寬，Kr=B/Tp為調(diào)頻斜率，B為信號(hào)帶寬，f0為載頻。

則干擾機(jī)截獲到雷達(dá)信號(hào)后，對(duì)其進(jìn)行間歇采樣處理，采樣后的切片信號(hào)可表示為

(2)

式中，TI為切片的寬度，K為切片的數(shù)量，Tu=(M+1)TI為間歇采樣的周期，M為切片的轉(zhuǎn)發(fā)次數(shù)，τ為轉(zhuǎn)發(fā)延遲和傳播延遲。

采樣的切片轉(zhuǎn)發(fā)M次之后，間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)式干擾信號(hào)表示為

ejπKr(t-τ-mTI)2

(3)

間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)式干擾形式主要有直接轉(zhuǎn)發(fā)干擾、重復(fù)轉(zhuǎn)發(fā)干擾和循環(huán)轉(zhuǎn)發(fā)干擾，本文只針對(duì)直接轉(zhuǎn)發(fā)干擾進(jìn)行研究，即M=1。直接轉(zhuǎn)發(fā)干擾是在干擾機(jī)截獲到雷達(dá)發(fā)射信號(hào)后，對(duì)發(fā)射信號(hào)進(jìn)行采樣，直接將采樣的信號(hào)轉(zhuǎn)發(fā)出去，然后重復(fù)此過程直至雷達(dá)發(fā)射信號(hào)結(jié)束。為方便分析，這里設(shè)傳播延遲為0，直接轉(zhuǎn)發(fā)干擾信號(hào)可表示為

sJ1(t)=sI(t-TI)=

(4)

sJ2(t)=ωk(t-TI)ejπk(t-TI)2=

ωk(t-TI)x(t-TI)

(5)

令t=nTs,TI=NITs，Tu=NuTs(Ts為采樣周期)，則式(5)可變?yōu)?/p>

sJ2(n)=ωk(n-NI)x(n-NI)=

(6)

式中，N為一個(gè)周期的采樣點(diǎn)數(shù)。

設(shè)匹配濾波器的響應(yīng)為h(n)，NI

(7)

相應(yīng)的振幅響應(yīng)為

(8)

從上面可以看出，間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)式干擾信號(hào)實(shí)質(zhì)上是將截獲的雷達(dá)信號(hào)頻譜搬移到辛格函數(shù)每條離散譜線處，多個(gè)干擾切片疊加后相當(dāng)于對(duì)辛格主瓣進(jìn)行了采樣。間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)式干擾經(jīng)匹配濾波之后的振幅響應(yīng)取決于切片的數(shù)量K與切片的寬度TI。因此，切片數(shù)量K與切片寬度TI的估計(jì)可以通過匹配濾波器實(shí)現(xiàn)。而這兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)與窗函數(shù)ω(t-TI)形式有關(guān)，則對(duì)干擾信號(hào)切片寬度與切片數(shù)量的估計(jì)問題可轉(zhuǎn)化為窗函數(shù)的估計(jì)問題。

設(shè)未知窗函數(shù)為q(n)，則間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)式干擾用窗函數(shù)可以表示為

sJ(n)=q(n)⊙s(n)

(9)

式中，⊙表示點(diǎn)乘，s(n)為雷達(dá)信號(hào)。

雷達(dá)接收到信號(hào)(包含目標(biāo)、切片干擾和噪聲)為

(10)

式中，w(n)為高斯白噪聲，s(n)為雷達(dá)信號(hào)，sJ(n)為干擾信號(hào)，αt為雷達(dá)信號(hào)的系數(shù)，αs為干擾信號(hào)的系數(shù)。

間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)式干擾分別經(jīng)雷達(dá)信號(hào)匹配濾波和自身匹配濾波后之差可表示為

r0(n)

(11)

在已知間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)式干擾的窗函數(shù)，則式(11)兩種匹配處理之差應(yīng)非常小，在理想情況下為0。為了衡量上式兩種處理方法之差，這里取無窮范數(shù)，可得

||f[q(n)]||∞=||Hq||∞

(12)

式中，矩陣H為系數(shù)矩陣，q為加窗向量，待估計(jì)值。

當(dāng)||f[q(n)]||∞取最小值時(shí)，雷達(dá)信號(hào)加窗之后的結(jié)果最接近于間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)干擾信號(hào)。據(jù)此，本文可將參數(shù)估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問題，從而實(shí)現(xiàn)干擾信號(hào)切片寬度與切片數(shù)量的估計(jì)。為了使參數(shù)估計(jì)模型求解時(shí)獲得稀疏解，并且防止過擬合，在式(12)中加入正則化項(xiàng)，本文間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)式干擾參數(shù)估計(jì)模型為

(13)

式中，||q||1為正則項(xiàng)。

2 基于ADMM的間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)式干擾的參數(shù)估計(jì)算法

分析式(13)可以發(fā)現(xiàn)其屬于非線性整數(shù)規(guī)劃問題。目前，解決非線性整數(shù)規(guī)劃問題的傳統(tǒng)方法主要有分支定界法[8-9](Branch-and-Bound，BB)、廣義Benders分解法[10](Generalized Benders Decomposition，GBD)等。但BB在處理大規(guī)模優(yōu)化問題中速度較慢，GBD在針對(duì)非凸問題時(shí)，子問題的最優(yōu)解不能準(zhǔn)確地傳遞給主問題。因此，這些算法在求解非線性整數(shù)優(yōu)化問題時(shí)時(shí)間復(fù)雜度都較高。

ADMM算法融合了對(duì)偶上升法的可分離性以及乘子法的收斂性，核心思想是將一個(gè)大的問題分解成若干個(gè)小問題，交替迭代進(jìn)行求解，使原目標(biāo)與對(duì)偶變量共同收斂[11]，其標(biāo)準(zhǔn)形式如下[12]：

(14)

式中，f(x)，g(z)為2個(gè)凸函數(shù)。

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：

Lp(x,z,λ)=f(x)+g(z)+λT(Ax+Bz-c)+

(15)

式中，Lp(x,z,λ)為增廣拉格朗日函數(shù)，λ為對(duì)偶變量，ρ>0為懲罰系數(shù)。則k+1次更新迭代形式為

(16)

根據(jù)式(16)可知，ADMM算法首先分別求解x和z兩個(gè)變量，然后根據(jù)x和z再對(duì)λ求解。算法迭代時(shí)，x和z是交替更新的，這個(gè)過程稱為交替方向過程[13-14]。

對(duì)于非線性整數(shù)優(yōu)化問題，ADMM算法可將其分解后形成兩個(gè)小的子問題：整數(shù)歸整問題、連續(xù)問題，通過縮小問題的規(guī)模來增加求解的彈性。具體做法是復(fù)制一個(gè)和整數(shù)變量有相同邊界的連續(xù)變量，代替整數(shù)變量參與連續(xù)問題的優(yōu)化。根據(jù)ADMM算法原理，將式(13)寫成如下緊湊形式：

(17)

p-q=0

(18)

當(dāng)對(duì)式(13)中的整數(shù)變量q進(jìn)行復(fù)制，使其連續(xù)變化，就得到了式(17)中的變量p，變量p與變量q有相同的邊界條件。式(18)為它們之間的耦合關(guān)系，目的就是為了保證p代替q參與連續(xù)問題優(yōu)化后，得到的最優(yōu)解能一致收斂到q。將式(17)和式(18)寫成增廣拉格朗日罰函數(shù)的形式，則目標(biāo)函數(shù)為

L(p,q,λ)=F(p)+λT(p-q)+

(19)

根據(jù)ADMM的更新迭代形式，將待優(yōu)化模型分解得到兩個(gè)規(guī)模較小的子模型，如式(20)所示是只包含變量p的非線性規(guī)劃模型，如式(21)所示為只包含變量q的混合整數(shù)二次規(guī)劃模型。

(20)

(21)

式中，k為更新迭代次數(shù)。

根據(jù)式(20)和式(21)可知，非線性規(guī)劃模型對(duì)應(yīng)式(13)的松弛模型，混合整數(shù)二次規(guī)劃模型對(duì)應(yīng)式(13)的整數(shù)歸整模型。

則k+1次更新迭代形式為

(22)

根據(jù)ADMM的收斂條件，當(dāng)?shù)趉+1次迭代完成后，qk+1與pk+1之間的殘差達(dá)到收斂精度時(shí)，迭代停止，得到最優(yōu)解qk+1，收斂判定條件如式(23)所示。圖2為ADMM算法的流程圖，圖3為間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)式干擾的參數(shù)估計(jì)流程圖。

ε=||pk+1-qk+1||2<ε0

(23)

式中，ε0為迭代停止基準(zhǔn)，本文取0.001。

圖2 ADMM算法流程

圖3 間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)式干擾參數(shù)估計(jì)流程

3 仿真分析

仿真參數(shù)設(shè)置如下：線性調(diào)頻信號(hào)B=2 MHz，時(shí)寬T=10 μs，采樣頻率fs=5B，干擾采樣周期Tu=0.2T，占空比r=0.5，殘差迭代停止基準(zhǔn)ε0=0.001，背景為高斯白噪聲。圖4為間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)式干擾信號(hào)的時(shí)域波形。

圖4 間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)式干擾信號(hào)的時(shí)域波形

圖5是在干噪比JNR=14 dB，ρ=0.9下的殘差收斂曲線圖。殘差是判斷ADMM算法是否達(dá)到最優(yōu)的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)。由圖5分析可知：殘差隨著迭代次數(shù)的增加而減小，在迭代相應(yīng)的次數(shù)后，其值趨近于零，說明該算法良好的收斂性。圖6為上述條件下估計(jì)的加窗向量，從圖中可以精確地得到切片數(shù)量，而切片寬度存在一定的誤差。

圖5 殘差收斂曲線

圖6 估計(jì)得到的加窗向量

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，在JNR=10～25 dB,ρ=0.9時(shí)分別進(jìn)行100次蒙特卡洛仿真，計(jì)算每個(gè)JNR下估計(jì)切片寬度的均方根誤差，將本文結(jié)果與文獻(xiàn)[3]比較，圖7為2種算法估計(jì)切片寬度均方根誤差圖，從圖中可以發(fā)現(xiàn)本文算法隨著JNR增大，估計(jì)均方根誤差在減小，JNR≥10 dB時(shí)估計(jì)的均方根誤差在0.02 μs左右，估計(jì)的精度較文獻(xiàn)[3]有較大提高，且受噪聲的影響更小。實(shí)驗(yàn)證明了該方法的優(yōu)越性。

圖7 2種算法估計(jì)切片寬度的均方根誤差

為了研究切片寬度對(duì)本文算法的影響，在JNR=14 dB，ρ=0.9時(shí)分別進(jìn)行100次蒙特卡洛仿真估計(jì)，計(jì)算不同切片寬度下估計(jì)切片寬度的均方根誤差，圖8為估計(jì)的均方根誤差隨切片寬度變化曲線圖。從圖中可以看出本文算法受切片寬度的影響較小，估計(jì)均方根誤差更小。

圖8 估計(jì)的均方根誤差隨切片寬度變化曲線

為了測(cè)試使用本文算法抗干擾的效果，將雷達(dá)接收信號(hào)的干擾區(qū)間置零，即

s(t)+sJ(t)=0

(24)

式中，s(t)為目標(biāo)信號(hào)，sJ(t)為間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)式干擾信號(hào)，t∈[nTu+TI,(n+1)Tu]，將雷達(dá)接收信號(hào)的非零部分作拼接處理，然后將拼接處理后的信號(hào)進(jìn)行匹配濾波處理。圖9為利用本文算法提取的參數(shù)抑制干擾的效果圖。從圖中可以看出目標(biāo)回波疊加間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)式干擾信號(hào)經(jīng)過抗干擾處理后，假目標(biāo)被成功抑制掉，且比文獻(xiàn)[3]的抗干擾效果好。

圖9 抗干擾處理前后的對(duì)比圖

4 結(jié)束語

間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)式干擾與雷達(dá)信號(hào)具有相參性，在時(shí)域上能夠形成大量且逼真的假目標(biāo)。針對(duì)間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)的問題，本文以間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)干擾的模型為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出干擾經(jīng)過脈沖壓縮后的結(jié)果，構(gòu)造含有加窗向量的非線性整數(shù)優(yōu)化模型，最后巧妙利用ADMM算法求解加窗向量，實(shí)現(xiàn)切片寬度和數(shù)量的估計(jì)。仿真結(jié)果表明在干噪比10 dB以上時(shí)，該方法估計(jì)參數(shù)的精度較其他方法有明顯提高且更加穩(wěn)定。由于間歇采樣轉(zhuǎn)發(fā)式干擾能夠通過調(diào)整參數(shù)形成不同的干擾樣式，針對(duì)其他干擾樣式的參數(shù)估計(jì)是下一步的研究方向。