葉鵬達，尤晶晶，2*，仇 鑫，徐 帥，茹 煜

（1.南京林業(yè)大學(xué) 機械電子工程學(xué)院，江蘇 南京 210037；2.南京航空航天大學(xué) 江蘇省精密與微細制造技術(shù)重點實驗室，江蘇 南京 210016）

1 引 言

“人工智能”這一詞匯最早出現(xiàn)在20世紀50年代，它是科學(xué)家們用來討論機器模擬人類智能時提出的［1］。作為人工智能領(lǐng)域一個典型的產(chǎn)物，智能機器人能夠代替人們完成復(fù)雜危險的任務(wù)，如遠程醫(yī)療［2］、焊接［3］和衛(wèi)星裝配［4］等。相比于串聯(lián)機器人，并聯(lián)機器人具有輸出精度高、結(jié)構(gòu)剛性好和承載能力強等優(yōu)點［5-6］。然而，由于結(jié)構(gòu)上的復(fù)雜性，并聯(lián)機器人普遍存在工作空間小和動平臺轉(zhuǎn)動能力差的缺點。工作空間是評價并聯(lián)機器人能否完成某一作業(yè)的重要性能指標，是實現(xiàn)后續(xù)控制及應(yīng)用的基礎(chǔ)，因此，研究并聯(lián)機器人的工作空間具有十分重要的意義［7-8］。

一般而言，并聯(lián)機器人工作空間的求解方法主要分為立體幾何法，現(xiàn)代數(shù)學(xué)法和有限離散法三類［9］。其中，有限離散法是常用方法，該方法主要包括網(wǎng)格法、Monte Carlo法和優(yōu)化法等方法。文獻［10］以3-PRR（P表示移動副，下劃線表示驅(qū)動副，R表示轉(zhuǎn)動副）平面并聯(lián)機器人為研究對象，運用Monte Carlo法求出了不同姿態(tài)下的工作空間。文獻［11］提出一種可用于微小零部件裝配作業(yè)的雙SCARA并聯(lián)機器人，建立了運動學(xué)正解數(shù)學(xué)模型，基于Monte Carlo法得出了工作空間的點云圖。文獻［12］提出了一種結(jié)構(gòu)簡單的2-PSS&PPU（S表示球面副，U表示萬向鉸）并聯(lián)微動機器人，推導(dǎo)了工作空間解析表達式，利用三維離散點搜索法得到了機構(gòu)的工作空間。文獻［13］以4-SPS并聯(lián)機構(gòu)為研究對象，計算得到機構(gòu)的位置和姿態(tài)工作空間，并提出“點集”的方法近似計算位置工作空間的面積，最后探究了工作空間面積與機構(gòu)尺度參數(shù)之間的關(guān)系。文獻［14］提出了一種具有平轉(zhuǎn)解耦特性的3SPS+3（SP-U）型六自由度并聯(lián)機構(gòu)，結(jié)合柔性鉸鏈回轉(zhuǎn)空間及支鏈行程范圍，采用邊界離散點搜索法得到了機構(gòu)的位置和姿態(tài)可達工作空間。為改善移動機器人機械腿的靈活性并提高其地面適應(yīng)能力，文獻［15］提出一種基于可轉(zhuǎn)軸線轉(zhuǎn)動副的2-PrRS+PR（P）S變胞并聯(lián)機構(gòu)，建立了反向運動學(xué)模型，確定出約束條件及主要參數(shù)的取值范圍。采用Monte Carlo法得到該機構(gòu)的工作空間點云圖，并用自適應(yīng)網(wǎng)格劃分方法計算得到工作空間體積，最后分析了主要結(jié)構(gòu)參數(shù)對工作空間體積的影響，為結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供理論參考。從以上分析可以看出，這些方法的本質(zhì)是將工作空間離散為點，然后通過約束條件篩選出滿足要求的點，這些點的集合構(gòu)成了并聯(lián)機器人的工作空間，所以可統(tǒng)稱為點離散法（Point Discretiza‐tion Method，PDM）。PDM操作簡單，但也存在缺點：（1）工作空間的計算精度過度依賴于離散點的數(shù)目，當離散點的數(shù)目不充足時，生成的工作空間邊界較粗糙，不光滑；（2）通過增加離散點的數(shù)目，在一定程度上能夠改善工作空間邊界點的缺失，然而，大多數(shù)離散點仍然集中在工作空間內(nèi)部，這就導(dǎo)致離散點的浪費，影響計算效率；（3）運用PDM計算得到的工作空間，由于精確度不高，面積和體積的計算誤差較大，不利于后續(xù)的優(yōu)化設(shè)計。

在前期研究中，課題組發(fā)現(xiàn)運用區(qū)間分析方法能夠得到計算結(jié)果的有限域，更重要的是該方法得到的結(jié)果中不存在漏解［16］。鑒于此，本文引入?yún)^(qū)間數(shù)學(xué)的理論，提出一種適用于并聯(lián)機器人工作空間計算的高精度、無漏判的區(qū)間離散法（Interval Discretization Method，IDM）。以3-RPR平面并聯(lián)機器人為研究對象，對比分析了IDM和PDM的數(shù)值性態(tài)，驗證了所提方法的優(yōu)越性。本文工作為并聯(lián)機器人工作空間的計算提供了一種新思路。

2 區(qū)間分析理論

區(qū)間分析也稱為區(qū)間數(shù)學(xué)，它是從計算數(shù)學(xué)的誤差理論研究中發(fā)展而來。1966年，Moore首次系統(tǒng)地提出區(qū)間分析理論，這為后續(xù)對該理論的研究、應(yīng)用和拓展奠定理論基礎(chǔ)［17］。目前，區(qū)間分析已經(jīng)成為計算數(shù)學(xué)中一個較為活躍的分支，并且在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，如并聯(lián)機器人［18］、六維加速度傳感器［19］和飛行器［20］等。對于給定的數(shù)對，若滿足，則閉有界數(shù)集合為：

令R上所有有界閉區(qū)間所組成的集合記為I（R），因此，如果A為R的子集A?R，則A上的所有有界閉區(qū)間所組成的集合可表示為：

若區(qū)間X的上、下界相等，即，此時可定義為點區(qū)間：

對于任意的X∈I（R），分別定義：

式中：m（X），W（X）和|X|分別表示區(qū)間X的中點、寬度和絕對值；mid（X）表示區(qū)間X的中點；max（?）表示取各元素的最大值。

式中min（?）表示取各元素的最小值。

另外，區(qū)間向量和區(qū)間矩陣分別定義為：

設(shè)實函數(shù)f（x）=f（x1，x2，...，xn）存在區(qū)間值映射，經(jīng)過區(qū)間擴展可得F（X）=F（X1，X2，...，Xn）。以函數(shù)f（x）=x為例，將區(qū)間［x］代入后可得：

區(qū)間值的映射關(guān)系如圖1所示。

圖1 區(qū)間值的映射關(guān)系Fig.1 Mapping relation of interval values

3 算法原理

通過引入?yún)^(qū)間分析，將點離散擴展為區(qū)間離散，這從原理上改進了算法，為后續(xù)的優(yōu)化設(shè)計奠定理論基礎(chǔ)。圖2（a）和2（b）分別為IDM和PDM的算法流程。IDM共包含6個步驟，分別為：

圖2 區(qū)間離散法和點離散法的流程Fig.2 Flow charts of interval and point discretization al‐gorithms

步驟1：根據(jù)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，確定機構(gòu)的初始搜索區(qū)域（這里以二維搜索區(qū)域為例，也可為三維或更高維數(shù)）。該區(qū)域由兩個區(qū)間構(gòu)成（P，Q），這兩個區(qū)間存在3種組合方式：兩個區(qū)間均為位置變量、兩個區(qū)間均為姿態(tài)變量以及位置和姿態(tài)區(qū)間變量的混合。所確定的初始搜索區(qū)域必須包含機構(gòu)的真實工作空間，但范圍不能過大，該區(qū)域的確定不影響工作空間確定的精度。

步驟2：根據(jù)機構(gòu)尺度約束關(guān)系，推導(dǎo)出解析反解表達式，將區(qū)間P和區(qū)間Q代入表達式中，得到驅(qū)動副運動區(qū)間的計算值［l］。

步驟3：將［l］與驅(qū)動副行程［s］進行比較，存在3種情況。（1）對于所有驅(qū)動副，如果［l］全部位于［s］內(nèi)，即［l］?［s］，表明該搜索區(qū)域位于工作空間內(nèi)部，則將該搜索區(qū)域存入內(nèi)部區(qū)間集Win；（2）至少存在一個驅(qū)動副，如果［l］全部位于［s］外，即［l］∩［s］=?，表明該搜索區(qū)域位于工作空間外部，則將該搜索區(qū)域存入外部區(qū)間集Wout；（3）該搜索區(qū)域位于工作空間邊界，則將該搜索區(qū)域存入邊界區(qū)間集Wbou。

步驟4：計算Wbou內(nèi)區(qū)間的區(qū)間寬度，并與精度閾值ε進行比較，存在兩種情況。（1）如果區(qū)間寬度小于或等于ε，則轉(zhuǎn)至步驟6；（2）如果區(qū)間寬度大于ε，則對Wbou內(nèi)的所有區(qū)間進行一次區(qū)間二等分，產(chǎn)生若干個子搜索區(qū)域，并存入子邊界區(qū)間集wbou。

步驟5：清空Wbou，依次將wbou內(nèi)的子搜索區(qū)域代入步驟2得到的解析反解表達式中，計算得到［l］，然后返回步驟3。

步 驟6：根 據(jù) 步 驟3中 得 到 的Win，Wout和Wbou，用繪制直線框的方式將所有區(qū)域描繪出來，即為并聯(lián)機器人的工作空間。

4 案 例

4.1 結(jié)構(gòu)模型描述與坐標系建立

本文以3-RPR平面并聯(lián)機器人為研究對象，該機構(gòu)主要由1個正三角形形狀的動平臺、1個正三角形形狀的靜平臺和3條完全相同的支鏈構(gòu)成，如圖3所示。每條支鏈均由1個移動副和固結(jié)于兩端的2個轉(zhuǎn)動副串聯(lián)而成，其中，移動副為驅(qū)動副。通過驅(qū)動3個移動副實現(xiàn)動平臺的三維運動，分別為平面內(nèi)的二維移動和繞該平面法線的一維轉(zhuǎn)動。靜平臺上3個頂點處的轉(zhuǎn)動副幾何中心分別記作B1，B2和B3，動平臺 上3個 頂 點 處的轉(zhuǎn)動副的幾何中心分別記作A1，A2和A3，li（i=1，2，3）表示移動副的實時長度。靜坐標系｛oxy｝與靜平臺相連，原點o與B1重合，x軸與靜平臺底邊B1B2重合，其正方向由B1指向B2，y軸正方向為豎直向上；動坐標系｛m-uv｝與動平臺相連，原點m位于動平臺形心處，u軸與動平臺底邊A1A2平行，其正方向由A1指 向A2，v軸 正 方 向 由m指向A3。初始狀態(tài)下，靜坐標系和動坐標系的坐標軸方向一致；動平臺繞m逆時針轉(zhuǎn)過的角度記為θ。

圖3 3-RPR平面并聯(lián)機器人的結(jié)構(gòu)模型Fig.3 Structural model of 3-RPR planar parallel robot

4.2 位置反解推導(dǎo)

已知動平臺的位置（x，y）和姿態(tài)（θ），求解l1，l2和l3。給定靜平臺和動平臺的邊長分別為2NF和2NM，因此，點B1，B2，B3和m在靜坐標系中的坐標表示為：表示點Bi在靜坐標系中的坐標；mo表示點m在靜坐標系中的坐標。

點A1，A2和A3在動坐標系中的坐標表示為：

式中：

通過坐標轉(zhuǎn)換，點A1，A2和A3在靜坐標系中的坐標可表示為：

其中：

因此，li的表達式為：

至此，構(gòu)建了3-RPR平面并聯(lián)機器人的位置反解模型。

4.3 計算結(jié)果分析及對比

位置工作空間是指在給定姿態(tài)下動平臺參考點能夠達到的所有位置的集合，姿態(tài)工作空間是指在給定位置下動平臺參考點能夠達到的所有姿態(tài)的集合。本文對比分析了位置工作空間和姿態(tài)工作空間，給定機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)分別為：NF=3 mm，NM=1 mm，1.2 mm≤li≤8 mm，計算結(jié)果的三維立體圖分別如圖4和圖5所示。觀察圖4可以看出，兩種方法計算得到的位置工作空間的形狀基本一致。從每個截面來看，位置工作空間具有對稱性，但內(nèi)部存在空洞，當θ接近±π rad時，空洞消失；從整體來看，位置工作空間呈現(xiàn)中間大兩端小的形狀，并且隨著θ的增大，內(nèi)部空洞有朝向邊界偏移的趨勢。觀察圖5可以看出，兩種方法計算得到的姿態(tài)工作空間的形狀基本一致。從每個截面來看，姿態(tài)工作空間具有對稱性，但內(nèi)部存在空洞，當y=0 mm時，姿態(tài)工作空間為三塊不相連的區(qū)域；從整體來看，姿態(tài)工作空間的形狀不規(guī)則，當θ位于0 rad附近時，動平臺在x方向的運動范圍達到最大。

圖4 位置工作空間Fig.4 Position workspace

圖5 姿態(tài)工作空間Fig.5 Orientation workspace

5 數(shù)值性態(tài)分析

由于算法原理上的差異，IDM和PDM所體現(xiàn)的數(shù)值性態(tài)也有所不同。為了進一步探究兩種方法的數(shù)值性態(tài)，本文對比研究了兩種方法在計算位置工作空間（θ=0 rad）時的效率、精度和誤差靈敏度。所使用的軟件為Matlab R2012a和INTLAB_V6工具箱，計算機CPU為Intel CORE I5-4200U，主頻為2.30 GHz，內(nèi)存為4 GB。

5.1 效 率

效率t（運行時間）不僅與計算精度有關(guān)，也與機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)。表1給出了3-RPR平面并聯(lián)機器人5種不同的結(jié)構(gòu)參數(shù)，隨著計算精度的提高，每種結(jié)構(gòu)參數(shù)所對應(yīng)的算法運行時間如圖6所示。觀察圖6可以看出，不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下，曲線的整體趨勢大致相同，并且隨著計算精度的提高，IDM的效率優(yōu)勢越來越明顯。

圖6 不同精度所對應(yīng)的運行時間Fig.6 Elapsed time for different accuracies

表1 3-RPR平面并聯(lián)機器人的相關(guān)參數(shù)統(tǒng)計Tab.1 Statistic of relevant parameters of 3-RPR planar parallel robot

為了進一步探究工作空間面積和邊界長度對運行時間的影響，式（14）和式（15）給出了面積和邊界長度理論值的計算公式：

式中：Aint表示由積分計算得到的面積理論值；ai和bi分別表示積分的下限和上限；p（y）表示邊界曲線表達式；Bint表示由積分計算得到的邊界長度理論值。

由于IDM和PDM算法的原理不同，前者計算得到的工作空間由直線框構(gòu)成，后者的由離散點構(gòu)成，因此，兩種算法計算得到的工作空間面積實際值的計算公式分別定義為：

式中：AI表示區(qū)間離散工作空間的面積；AWin表示W(wǎng)in的面積；λ為 臨界區(qū)間乘子，表示W(wǎng)bou內(nèi)的工作空間內(nèi)部面積與外部面積的比值，這里取為0.5；AWbou表示W(wǎng)bou的面積；AP表示點離散工作空間的面積；m表示點離散工作空間內(nèi)的正方形的個數(shù)；As表示點離散工作空間內(nèi)的每個正方形的面積；n表示點離散工作空間內(nèi)的三角形的個數(shù)；At表示點離散工作空間內(nèi)的每個三角形的面積。

表1列出了5種不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下所對應(yīng)工作空間的面積和邊界長度，并且統(tǒng)計了算法的運行時間，如圖7所示。觀察圖7可以發(fā)現(xiàn)，IDM的運行時間與邊界長度有關(guān)，邊界長度越長，運行時間也越長；PDM的運行時間與面積有關(guān)，面積越大，運行時間越長；而IDM的運行時間與面積之間的關(guān)系以及PDM的運行時間與邊界長度之間的關(guān)系都不確定。從算法原理上分析：IDM的運行時間主要消耗在區(qū)間拆分過程中，而這一過程主要集中在邊界處，因此，邊界長度越長，區(qū)間拆分的過程也越多，導(dǎo)致運行時間變長；PDM的運行時間主要集中在位置點的判斷和存儲的過程中，因此，工作空間面積越大，離散點也越多，這就增加了判斷和存儲的過程，導(dǎo)致運行時間變長。

圖7 工作空間的面積與邊界長度對運行時間的影響Fig.7 Influence of area and boundary length of work‐space on elapsed time

5.2 精 度

考慮到IDM和PDM計算得到的工作空間與理論（真實）的工作空間之間存在差異，為了定量對比它們之間的差異，給出了相對誤差衡量指標：

式中：RE表示相對誤差；A表示工作空間面積的實際值。

根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計了兩種算法的相對誤差，如表2所示。由表2可知，對于5種不同的結(jié)構(gòu)參數(shù)，IDM的相對誤差較小，即計算得到的工作空間的精度較高。究其原因，可能源于邊界差異，區(qū)間離散工作空間的邊界由封閉的直線框構(gòu)成，而點離散工作空間的邊界由不封閉的離散點構(gòu)成，這會造成邊界的不確定，導(dǎo)致不精確的計算結(jié)果。

表2 區(qū)間離散法和點離散法的相對誤差對比Tab.2 Comparison of relative errors between interval and point discretization methods

5.3 誤差靈敏度

在實際計算過程中，機構(gòu)的制造公差和裝配誤差對計算結(jié)果都會產(chǎn)生影響。為了探究兩種算法對誤差的敏感程度，本文分別研究了3種輸入誤差（動平臺邊長誤差、靜平臺邊長誤差和移動副長度誤差）的誤差靈敏度，并將其平均值作為綜合誤差靈敏度，誤差靈敏度為：

式中：SE表示誤差靈敏度；ΔRE表示相對誤差的變化量；ΔIE表示輸入誤差的變化量。

圖8給出了兩種算法對3種輸入誤差的綜合誤差靈敏度，并且計算了IDM和PDM所對應(yīng)3種輸入誤差的綜合誤差靈敏度的均值，分別為0.394和0.396。可以發(fā)現(xiàn)，IDM的綜合誤差靈敏度均小于PDM，表明IDM對3種輸入誤差的敏感程度均較低。

圖8 區(qū)間離散法和點離散法的綜合誤差靈敏度對比Fig.8 Comparison of comprehensive error sensitivity be‐tween interval and point discretization methods

6 結(jié) 論

本文基于區(qū)間分析提出一種工作空間的高精度求解方法。該方法將工作空間由傳統(tǒng)的點離散擴展為區(qū)間離散，從原理上避免了位置點的漏判。以3-RPR平面并聯(lián)機器人為案例，計算得到其位置工作空間和姿態(tài)工作空間。進一步地，對比分析了IDM和PDM的數(shù)值性態(tài)，包括效率、精度和誤差靈敏度。結(jié)果表明，IDM和PDM的運行時間分別與工作空間的邊界長度和面積成正比；IDM和PDM的計算誤差分別為0.002%和0.272%；IDM和PDM所對應(yīng)3種輸入誤差的綜合誤差靈敏度的均值分別為0.394和0.396。值得一提的是，IDM不僅適用于3-RPR平面并聯(lián)機器人，也適用于其他構(gòu)型的并聯(lián)機器人。