李曉林， 鄧潔

(長沙理工大公路工程試驗(yàn)檢測中心， 湖南 長沙 410076)

現(xiàn)代斜拉橋常為密索體系，在給定結(jié)構(gòu)體系布置與恒載分布的條件下，通過人為調(diào)整斜拉索張力以實(shí)現(xiàn)主梁線形、主梁應(yīng)力、索塔偏位、索塔應(yīng)力等結(jié)構(gòu)參數(shù)指標(biāo)。如何通過索力優(yōu)化實(shí)現(xiàn)合理成橋狀態(tài)與計算施工索力是斜拉橋設(shè)計與施工監(jiān)控中的重要問題。在給定解空間內(nèi)，斜拉索索力存在多組可行解，為求得較優(yōu)索力組合，學(xué)者們進(jìn)行了大量理論研究與試驗(yàn)分析。顏東煌等根據(jù)活載作用、預(yù)應(yīng)力作用下主梁截面應(yīng)力控制條件，采用應(yīng)力平衡法確定了主梁恒載彎矩可行域，為斜拉橋合理成橋狀態(tài)提供了確定依據(jù)；謝劍等以某獨(dú)塔混合梁轉(zhuǎn)體斜拉橋?yàn)槔?，綜合利用零位移法、內(nèi)力平衡法等對索力進(jìn)行了優(yōu)化；張峻峰等采用影響矩陣法，結(jié)合ANSYS優(yōu)化模塊計算了某獨(dú)塔斜拉橋成橋索力；朱敏等提出一種基于多種群遺傳算法的大跨度斜拉橋索力優(yōu)化方法，并以南京長江三橋?yàn)槔龑υ撍惴ㄟM(jìn)行了驗(yàn)證；陳志軍等基于粒子群優(yōu)化算法，聯(lián)合ANSYS進(jìn)行獨(dú)塔斜拉橋成橋索力優(yōu)化，優(yōu)化后主梁線形更平順、受力更均勻。

常規(guī)索力優(yōu)化方法存在費(fèi)時費(fèi)力、對約束條件敏感、部分結(jié)構(gòu)如主梁存在彎矩不合理等問題，在某些非對稱異形斜拉橋中難以滿足設(shè)計要求。粒子群算法(PSO)由于其高效的尋優(yōu)能力與清晰簡明的算法結(jié)構(gòu)，近年來在目標(biāo)優(yōu)化領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，但其仍存在早熟收斂、搜索精度低、后期迭代效率不高及全局搜索能力與局部搜索能力不平衡等缺點(diǎn)。鑒于此，該文在普通粒子群算法的基礎(chǔ)上引入自適應(yīng)變異算子與非線性自適應(yīng)慣性權(quán)重，提出一種基于改進(jìn)粒子群算法的斜拉橋索力優(yōu)化方法。

1 PSO算法

1.1 標(biāo)準(zhǔn)PSO算法

標(biāo)準(zhǔn)PSO算法是一種群體化智能算法，該算法受鳥群行為特征啟發(fā)，在搜索空間Ω中搜尋D維目標(biāo)，將每個個體表征為種群粒子，第i個粒子位置x={x1,x2,x3，…，xn}和速度v={v1,v2,v3，…，vn}兩個特征向量，位置x表示問題的一個可能解，速度v表示粒子更新位置的基本速度，粒子在迭代中根據(jù)其所處不同位置x代入目標(biāo)函數(shù)中分別計算對應(yīng)的適應(yīng)度值fn，以個體極值Pb表示個體最優(yōu)適應(yīng)度值對應(yīng)的最優(yōu)位置，以群體極值Gb表示群體最優(yōu)適應(yīng)度值對應(yīng)的最優(yōu)位置，經(jīng)PSO算法參數(shù)初始化后，按式(1)、式(2)進(jìn)行迭代，粒子通過Pb與Gb更新自身速度和位置。

(1)

(2)

圖1 標(biāo)準(zhǔn)PSO算法流程

1.2 PSO算法改進(jìn)

由于斜拉橋索力往往存在多組可行解，在標(biāo)準(zhǔn)PSO算法中易陷入局部搜索陷阱，使計算不收斂或收斂速度過慢，降低索力優(yōu)化效率；斜拉橋索力優(yōu)化可視為多峰搜索問題，標(biāo)準(zhǔn)PSO算法在該問題上存在早熟收斂問題。而改善方法主要是增加粒子群規(guī)模，由于PSO算法計算量隨粒子群規(guī)模呈指數(shù)增長，將增加硬件資源的消耗，降低索力優(yōu)化效率。同時，考慮到采用PSO算法進(jìn)行索力優(yōu)化時進(jìn)行有限元計算本身需耗費(fèi)大量時間，引入自適應(yīng)變異算子與非線性自適應(yīng)慣性權(quán)重，在保證計算時間的前提下增加全局搜索能力，提高索力優(yōu)化成功率。

1.2.1 自適應(yīng)變異算子

設(shè)粒子群規(guī)模為n，fi為第i個粒子的適應(yīng)度值，通過計算粒子群平均適應(yīng)度值fm，可按式(3)計算粒子群適應(yīng)度方差σ2。根據(jù)文獻(xiàn)[9]，粒子群適應(yīng)度方差可體現(xiàn)所有粒子的收斂程度，其值越小則粒子群越趨于收斂，反之則表明粒子群尚處于隨機(jī)搜索階段。

(3)

式中：f為標(biāo)準(zhǔn)化因子，用以限制粒子群適應(yīng)度方差的大小。

文獻(xiàn)[10]提出平均聚集距離Dm與最大聚集距離Dmax，其定義分別見式(4)、式(5)。當(dāng)適應(yīng)度方差σ2趨近于零而平均聚集距離小于最大聚集距離時，粒子陷入局部收斂，此時需對粒子群中部分粒子進(jìn)行變異，以免陷入局部搜索陷阱。

(4)

(5)

在標(biāo)準(zhǔn)PSO算法基礎(chǔ)上引入簡單變異算子，在粒子每次更新后以一定概率重新初始化粒子，增加判定條件，當(dāng)隨機(jī)數(shù)r1、r2大于指定閾值時對當(dāng)前粒子重新隨機(jī)賦值，即：

(6)

式中：k為指定閾值；rand(xi)表示對粒子xi位置重新隨機(jī)賦值。

1.2.2 非線性自適應(yīng)慣性權(quán)重

對于標(biāo)準(zhǔn)PSO算法，其慣性權(quán)重因子ω為常數(shù)，為平衡算法的全局搜索能力與局部搜索能力，需使慣性權(quán)重因子根據(jù)算法迭代過程進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整。文獻(xiàn)[11]提出線性遞減權(quán)重因子，在迭代過程中線性減小權(quán)重因子的值，可在一定程度上增強(qiáng)算法的搜索能力與計算效率。然而線性遞減權(quán)重因子仍存在早熟收斂與求解精度不理想等缺陷，故采用非線性自適應(yīng)慣性權(quán)重因子，其按下式計算：

(7)

式中：ωs為初始慣性權(quán)重；ωe為最大迭代次數(shù)時的慣性權(quán)重；t為當(dāng)前迭代次數(shù)；tmax為最大迭代次數(shù)。

非線性自適應(yīng)慣性權(quán)重因子在算法迭代早期可加速權(quán)重值的遞減速度，提高全局搜索效率，在后期隨著權(quán)重因子的遞減可提高求解精度。

2 基于改進(jìn)PSO算法的斜拉橋索力優(yōu)化

采用改進(jìn)PSO算法和Python編制程序，結(jié)合有限元分析軟件ABAQUS進(jìn)行斜拉橋索力優(yōu)化，流程如下：

(1) 建立斜拉橋有限元模型，設(shè)定材料本構(gòu)參數(shù)與邊界約束條件進(jìn)行有限元分析，按恒載平衡法初步計算索力，導(dǎo)出索力優(yōu)化控制指標(biāo)(根據(jù)實(shí)際需求可選擇索塔偏位、塔底應(yīng)力、控制截面應(yīng)力、主梁彎矩、主梁線形等)。

(2) 構(gòu)建改進(jìn)PSO算法模型，對粒子初始位置與速度進(jìn)行隨機(jī)初始化，定義位置與速度的閾值，設(shè)定粒子群規(guī)模、最大迭代次數(shù)、加速因子。

(3) 將索力優(yōu)化控制指標(biāo)帶入目標(biāo)函數(shù)計算粒子適應(yīng)度值，計算個體極值Pb與群體極值Gb。由于索力優(yōu)化控制指標(biāo)往往由多個量組成，可分別計算各指標(biāo)的均方誤差，再以各指標(biāo)加權(quán)平均值作為適應(yīng)度函數(shù)值，各指標(biāo)權(quán)重可相等亦可根據(jù)實(shí)際需求分別指定。

(4) 按式(1)、式(2)更新粒子速度與位置，將更新后的粒子位置(即索力)帶入有限元模型重新求解，導(dǎo)出索力優(yōu)化控制指標(biāo)。

(5) 重復(fù)步驟3～4，直至滿足要求。

3 算例分析

3.1 工程背景

某獨(dú)塔雙索面組合梁斜拉橋，采用塔-梁-墩固結(jié)體系，索塔包括塔頂、鋼塔、鋼-混結(jié)合塔、砼塔，橋面以上索塔凈高107 m，塔頂7 m為裝飾鋼塔，橋面以下至承臺26.065 m為砼塔；輔跨45 m+40 m，為預(yù)應(yīng)力砼結(jié)構(gòu)；主跨158 m，為鋼箱梁，設(shè)計中心線處梁高3 m；采用扇形雙索面平行鋼絲冷鑄錨式索，每側(cè)索面12對斜拉索，全橋共48根斜拉索，順橋向間距為10 m(鋼梁側(cè))和5 m(砼梁側(cè))，其中主跨側(cè)斜拉索從近塔端至遠(yuǎn)塔端依次編號為m1～m12，輔跨側(cè)斜拉索從近塔端至遠(yuǎn)塔端依次編號為b1～b12。全橋總體布置見圖2。

圖2 斜拉橋總體布置(單位：m)

3.2 索力優(yōu)化分析

3.2.1 有限元分析與改進(jìn)PSO算法參數(shù)設(shè)定

采用ABAQUS建立該橋三維有限元模型，單元類型與邊界約束參考文獻(xiàn)[12]的相關(guān)設(shè)置，其中砼采用引入減縮積分的20節(jié)點(diǎn)二次六面體單元(C3D20R)模擬，鋼梁與鋼塔采用引入減縮積分的四節(jié)點(diǎn)曲面殼單元(S8R)模擬，斜拉索采用多個兩節(jié)點(diǎn)三維線性桁架單元(T3D2)模擬以體現(xiàn)斜拉索垂度效應(yīng)，預(yù)應(yīng)力束采用兩節(jié)點(diǎn)三維線性桁架單元(T3D2)模擬，通過降溫法施加索力與預(yù)應(yīng)力。忽略樁基礎(chǔ)，對墩臺底部施加邊界約束，斜拉索與主梁、索塔以MPC約束的方式連接，不同材料的索塔和主梁采用TIE連接。通過MODEL CHANGE實(shí)現(xiàn)構(gòu)件的施工階段逐步激活，在分析步初始激活重力加速度以實(shí)現(xiàn)隨施工階段構(gòu)件逐步激活的恒載自動計算。有限元模型見圖3。

圖3 斜拉橋有限元模型

考慮到該橋?yàn)榉菍ΨQ結(jié)構(gòu)，兩側(cè)拉索索力不等，將24對索作為設(shè)計變量，即x=[x1,x2,…,x24]。改進(jìn)PSO算法中主要參數(shù)見表1，其中粒子速度v和位置x的閾值、種群規(guī)模n及最大迭代次數(shù)G可根據(jù)實(shí)際硬件條件進(jìn)行調(diào)整。

表1 改進(jìn)PSO算法主要參數(shù)取值

綜合考慮優(yōu)化目標(biāo)與相應(yīng)約束，定義適應(yīng)度函數(shù)為：

(8)

式中：ω1、ω2、ω3、ω4分別為位移權(quán)重因子、索力權(quán)重因子、主梁彎矩權(quán)重因子、塔偏權(quán)重因子，分別取0.66、0.005 1、0.29、0.16；δi為主梁節(jié)點(diǎn)i處的位移；xmax、xmin分別為索力最大、最小值；γi為主梁節(jié)點(diǎn)i處的彎矩；μ為塔頂偏位。

適應(yīng)度函數(shù)值越小，說明當(dāng)前粒子位置(索力)越合理。

3.2.2 優(yōu)化結(jié)果

采用Python編制程序，結(jié)合ABAQUS實(shí)現(xiàn)基于改進(jìn)PSO算法的斜拉索索力自動優(yōu)化。為對比分析，采用標(biāo)準(zhǔn)PSO算法結(jié)合ABAQUS進(jìn)行索力優(yōu)化。二者適應(yīng)度函數(shù)值隨迭代次數(shù)的變化見圖4。由圖4可知：在算法迭代前期，標(biāo)準(zhǔn)PSO與改進(jìn)PSO算法的適應(yīng)度函數(shù)值相差不大，但迭代次數(shù)超過100次后二者出現(xiàn)差異，標(biāo)準(zhǔn)PSO算法的適應(yīng)度函數(shù)值基本不再下降，而改進(jìn)PSO算法由于引入變異算子及非線性自適應(yīng)權(quán)重因子，跳出了局部搜索陷阱，從而獲得了較優(yōu)結(jié)果。

圖4 改進(jìn)PSO算法與標(biāo)準(zhǔn)PSO算法適應(yīng)度函數(shù)值對比

優(yōu)化前后斜拉索索力見圖5。由圖5可知：優(yōu)化前最大、最小索力差值為2 210 kN，優(yōu)化后為2 207 kN，二者相差甚微。優(yōu)化后主跨側(cè)m11索的索力變化最大，為4.55%；輔跨側(cè)b9索的索力變化最大，為2.25%。優(yōu)化后主跨索力除m1索外其余均略微增加，而輔跨索力均略微增加。

圖5 斜拉索索力優(yōu)化前后對比

優(yōu)化前后斜拉橋主梁線形見圖6。由圖6可知：優(yōu)化后主跨整體向上偏移而輔跨向下偏移，其中主跨撓度最值由-34 mm減小至-19 mm，輔跨撓度最值由-5 mm增加至-8 mm。優(yōu)化后主跨豎向位移明顯減小，但輔跨位移增加，總體而言，相較于優(yōu)化前位移更趨近于零，且主跨與輔跨位移更趨于接近，符合斜拉橋成橋狀態(tài)對主梁平順的要求。

圖6 索力優(yōu)化前后主梁線形對比

優(yōu)化前后斜拉橋主梁彎矩見圖7。由圖7可知：索力優(yōu)化后輔跨主梁彎矩變化較小，這主要是由于輔跨為砼梁，其預(yù)應(yīng)力作用占比較大，索力變化產(chǎn)生的彎矩差異占比較??；主跨主梁彎矩相較于優(yōu)化前更均勻，正彎矩峰值減小，負(fù)彎矩峰值增加，彎矩最大值從29 134 kN·m減小至23 890 kN·m，同時在靠近索塔處(x趨近于零的位置)負(fù)彎矩減小，相對而言彎矩圖更平順，結(jié)構(gòu)受力更優(yōu)越。

圖7 索力優(yōu)化前后主梁彎矩對比

優(yōu)化前后斜拉橋索塔偏位見圖8。由圖8可知：索力優(yōu)化前索塔偏位呈上大下小的趨勢，索力優(yōu)化后該趨勢得到一定改善，塔頂偏位從58 mm減小至23 mm，更符合斜拉橋成橋狀態(tài)對索塔豎直的要求，索塔偏位減小也有益于降低索塔應(yīng)力，使結(jié)構(gòu)在運(yùn)營狀態(tài)中更安全可靠。

圖8 索力優(yōu)化前后索塔偏位對比

4 結(jié)語

在標(biāo)準(zhǔn)PSO算法上引入自適應(yīng)變異算子與非線性自適應(yīng)慣性權(quán)重進(jìn)行改進(jìn)，提出基于改進(jìn)PSO算法的斜拉橋索力優(yōu)化方法，并以某獨(dú)塔非對稱鋼-混組合斜拉橋?yàn)槔M(jìn)行驗(yàn)證，得到如下結(jié)論：

(1) 自適應(yīng)變異算子與非線性自適應(yīng)慣性權(quán)重能有效避免標(biāo)準(zhǔn)PSO算法早熟收斂與局部搜索陷阱的問題，同時在不大幅增加計算時間的前提下提高搜索精度，粒子位置對應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)值更優(yōu)，具有良好的性能。

(2) 考慮主梁線形、索力極差、主梁彎矩及塔偏的適應(yīng)度函數(shù)可有效反映粒子位置優(yōu)劣，基于文中適應(yīng)度函數(shù)可正確對索力目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化。

(3) 索力優(yōu)化后其值小幅增加，主梁線形、主梁彎矩、索塔偏位相較于優(yōu)化前在峰值上均有不同程度減小，且分布更均勻合理，優(yōu)化方法可行。該方法也適用于雙塔斜拉橋、多塔斜拉橋等的索力優(yōu)化。