宋利紅 楊 宇 李海福 孫晗森 鄭麗婧 徐春陽

1. 成都理工大學(xué)能源學(xué)院 2. 中海油研究總院有限責(zé)任公司 3. 中國石油遼河油田公司勘探開發(fā)研究院

0 引言

地?zé)醿?chǔ)層溫度的確定在地?zé)豳Y源的開發(fā)評(píng)價(jià)過程中有著舉足輕重的地位，眾多學(xué)者[1-4]針對(duì)不同地區(qū)利用陽離子Na-K溫標(biāo)、K-Mg溫標(biāo)、Na-K-Ca溫標(biāo)、Na-K-Mg溫標(biāo)等對(duì)熱儲(chǔ)溫度進(jìn)行了計(jì)算。但地?zé)醿?chǔ)層溫度通常會(huì)受到很多因素的影響：不同儲(chǔ)層的地?zé)崃黧w可能在采出前發(fā)生混合，對(duì)流體溫度進(jìn)行分析時(shí)存在一定的誤差；相鄰層段的層間竄流、循環(huán)對(duì)流等會(huì)使地?zé)崃黧w在開采前就與其他液體發(fā)生混合，從而影響儲(chǔ)層溫度的測(cè)量。特別是地面冷水與熱流體的混合會(huì)使大量的Cl-、Na+、K+等離子混入，這些離子之間的比值會(huì)大大影響地?zé)釡貥?biāo)方法計(jì)算的準(zhǔn)確性。因此，針對(duì)這種情況，常常利用混合模型計(jì)算熱儲(chǔ)層溫度、分析地下熱流體深部溫度特征和冷熱水混合過程[5]。

在1974年，F(xiàn)ournier和Truesdell根據(jù)硅-焓（即二氧化硅-水的焓值）平衡提出了混合模型并成功對(duì)儲(chǔ)層原始流體的溫度進(jìn)行了估算；王曉翠[6]對(duì)云南沘江沿岸溫泉水進(jìn)行了水化學(xué)分析，采用硅-焓圖解法對(duì)地下熱水在采出前未發(fā)生蒸汽和熱量損失的情況進(jìn)行了熱儲(chǔ)溫度計(jì)算。但前人的實(shí)踐應(yīng)用表明，硅-焓圖解法對(duì)熱儲(chǔ)溫度的計(jì)算已經(jīng)廣泛應(yīng)用，但繪圖過程繁瑣?；诖?，在硅-焓圖解法的基礎(chǔ)上，提出改進(jìn)圖解法以及Newton-Raphson迭代算法，并對(duì)熱儲(chǔ)溫度進(jìn)行了計(jì)算。

1 混合模型的提出

地表的大氣降水通常會(huì)與地?zé)崴旌希?通常的混合情況如圖1所示。在C點(diǎn)處地下流體呈高溫?zé)崴疇顟B(tài)，并在地下滲流通道內(nèi)向上流動(dòng)，在某個(gè)深度與向下滲流的地表大氣降水（A點(diǎn)）混合，即“混合點(diǎn)（D點(diǎn)）”。隨后產(chǎn)生溫泉水，在地表顯露（B點(diǎn)）。圖1中顯示，若在該區(qū)打井鉆至C處，采出液將全為地下熱流體，該處可采用傳統(tǒng)的地質(zhì)溫度計(jì)直接計(jì)算熱流體溫度。如果鉆遇到地表水和地?zé)崴幕旌弦?，其混合液的溫度并不能表征地下的熱?chǔ)溫度，采用傳統(tǒng)的地質(zhì)溫度計(jì)無法準(zhǔn)確得出熱流體溫度，必須采用混合模型方法進(jìn)行計(jì)算[7]。

圖1 地?zé)崃黧w與冷水混合示意圖[9]

混合模型方法是通過對(duì)溫泉水以及該地區(qū)的冷水溫度、二氧化硅含量進(jìn)行測(cè)量，從而對(duì)混合液中熱水溫度及冷水比例進(jìn)行估計(jì)。混合模型法通常利用圖版進(jìn)行求解，在繪圖讀數(shù)時(shí)容易產(chǎn)生誤差[8]?；诖?，為了減小繪圖讀數(shù)產(chǎn)生的誤差，在方程組構(gòu)建的前提下提出了改進(jìn)圖解法和Newton-Raphson迭代求解方法，并對(duì)熱儲(chǔ)溫度進(jìn)行計(jì)算。

2 混合模型計(jì)算方法

2.1 方程組的構(gòu)建

Fournier和Truesdell在1974年針對(duì)圖1這種典型的地?zé)崃黧w混合情況提出了一種計(jì)算熱水溫度和冷水在混合液中所占比例的方法，并得出了熱水溫度與焓、SiO2含量之間的關(guān)系（表1）。對(duì)此方法作了三個(gè)基本假設(shè)：一是混合后沒有熱量損失；二是儲(chǔ)層流體的二氧化硅含量由石英的溶解度控制；三是不管是否發(fā)生混合，二氧化硅都不會(huì)發(fā)生沉積或溶解。由于地?zé)崴c冷水混合前發(fā)生蒸汽損失會(huì)導(dǎo)致計(jì)算失準(zhǔn)，所以方程組只適用于混合前未發(fā)生蒸汽損失的情況[9]。

由能量守恒原理可知：

式中H（冷）表示冷水的焓，kJ/kg；H（熱）表示熱水的焓，kJ/kg；H（溫）表示混合溫泉水的焓；SiO2（冷）表示冷水的二氧化硅含量，mg/L；SiO2（熱）表示熱水的二氧化硅含量，mg/L；SiO2（溫）表示混合溫泉水的二氧化硅含量，mg/L；X表示冷水在混合液中所占的比例。

表1中的關(guān)系引自 Fournier等（1974）[9]及Gupta等 （2007）[10]。利用表1數(shù)據(jù)做出二氧化硅含量和溫度的關(guān)系曲線，擬合得到SiO2含量與溫度的關(guān)系式：

表1 熱水溫度、焓和SiO2含量表[9-10]

式中T表示熱水溫度，℃；SiO2表示二氧化硅含量，mg/L；擬合精度R=0.997。

式（1）、（2）中焓和二氧化硅都是和熱水溫度有關(guān)的函數(shù)。

熱水溫度和焓之間的關(guān)系如下[11]。

當(dāng)60℃≤T≤330℃時(shí)：

當(dāng)240℃≤T≤330℃時(shí)：

在不發(fā)生蒸汽損失情況下，聯(lián)立式（1）、（2）、（3）、（4）和（5）可得出熱水溫度以及二氧化硅含量的表達(dá)式。

當(dāng)60℃≤T≤240℃時(shí)：

當(dāng)240℃≤T≤330℃時(shí)：

在式（6）～式（9）中，熱水溫度和冷水混合比例X均為未知數(shù)。在現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得的H（溫）、SiO2（溫）、H（冷）、SiO2（冷）數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，利用圖解法、改進(jìn)圖解法及Newton-Raphson方法進(jìn)行求解。

2.2 圖解法求解

圖解法是基于熱焓和二氧化硅平衡的一種方法，其原理簡(jiǎn)單，容易估計(jì)混合水中熱水組分的溫度[12]。

由于地下熱水中溶解二氧化硅的規(guī)律遵循SiO2在熱水中的溶解度曲線。因此，溫度越高，對(duì)應(yīng)焓值越大，SiO2的溶解量也越多。而且熱水在通道中上升的過程中，與冷水混合后，溫度會(huì)迅速降低，但是SiO2的溶解量降低的速度會(huì)更加遲緩一些，所以這種SiO2的“滯后記憶”功能可以記錄較長(zhǎng)時(shí)間段內(nèi)地下熱水的溫度值[13]。

因此，基于這一原理，可以利用水的溫度和二氧化硅濃度在曲線上推算出原始的熱儲(chǔ)溫度，具有簡(jiǎn)單、高效的優(yōu)點(diǎn)[14]。分析步驟如下（圖2）：

圖2 硅-焓關(guān)系圖

①確定當(dāng)?shù)卮髿饨邓臏囟群投趸韬浚?/p>

②使用蒸汽表[15]將溫度轉(zhuǎn)換為焓，并在硅-焓圖中繪制出大氣降水的硅-焓點(diǎn)A；

③同理，確定熱泉水的溫度和二氧化硅含量；

④將溫度轉(zhuǎn)換為焓，并在圖中繪制熱泉水的硅-焓點(diǎn)B；

⑤通過二氧化硅在熱水中的溶解量與焓的關(guān)系，來繪制沒有蒸汽損失時(shí)的二氧化硅溶解度曲線；

⑥連接熱泉水和大氣降水的硅-焓點(diǎn)，并作延長(zhǎng)線與二氧化硅溶解度曲線相交于C點(diǎn)，C點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)表示地下熱水的焓值，通過查對(duì)應(yīng)蒸汽表即可計(jì)算出對(duì)應(yīng)的熱儲(chǔ)溫度。由大氣降水的硅-焓點(diǎn)與熱泉水硅-焓點(diǎn)之間的距離AB除以大氣降水的硅-焓點(diǎn)與上述延長(zhǎng)線交點(diǎn)間的距離AC來計(jì)算出冷水的混合比例（圖2）。

2.3 改進(jìn)圖解法求解

由于利用圖解法讀取C點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)容易產(chǎn)生誤差，從而影響計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，于是將圖解法進(jìn)行改進(jìn)，基于圖2中直線AB和SiO2溶解度曲線，直接計(jì)算交點(diǎn)，提高計(jì)算精度。

圖2中直線AB是基于混合過程能量守恒的前提下，冷水變?yōu)闇厮木€性變化過程，直線BC表示混合過程使熱水變?yōu)闇厮木€性變化過程。因此，基于SiO2的“滯后記憶”功能，對(duì)圖解法進(jìn)行改進(jìn)：利用方程解出C點(diǎn)的坐標(biāo)值，來表征一定時(shí)間段內(nèi)的熱儲(chǔ)溫度，即求出直線AB與SiO2溶解度曲線的交點(diǎn)（C點(diǎn)坐標(biāo)）。直線AB的方程可以通過聯(lián)立式（1）和式（2）表示出來。

用x代表熱水焓值H（熱），y表示熱水二氧化硅含量SiO2，可得出AB直線方程為：

根據(jù)得出式（3）的方法，結(jié)合熱水的溫度焓值表，做出硅-焓關(guān)系曲線并進(jìn)行擬合，擬合精度R=0.999，得到：

因此，聯(lián)立式（10）、（11）并代入實(shí)際水樣數(shù)據(jù)可直接計(jì)算出C點(diǎn)坐標(biāo)值，即可得出熱水焓值和熱水二氧化硅含量。針對(duì)圖解法中直接讀出的C點(diǎn)坐標(biāo)值和通過改進(jìn)圖解法計(jì)算出的C點(diǎn)坐標(biāo)值，會(huì)存在一定的差異。因此，采用改進(jìn)圖解法計(jì)算出的結(jié)果可以校正圖解法讀數(shù)的誤差，具有實(shí)際意義。

2.4 Newton-Raphson方法求解

除了對(duì)圖解法進(jìn)行改進(jìn)外，提出了利用Newton-Raphson迭代法[16]來計(jì)算熱儲(chǔ)溫度和冷水混合比例值。

Newton-Raphson迭代法是一種用構(gòu)造的近似線性方程代替原方程的方法，常用于求解非線性方程組的近似解。從方法的構(gòu)造、編程方式上講，具有一定的普適性，是目前使用較為廣泛的一種迭代求解非線性方程的方法。

對(duì)于非線性方程f（T）的根T*，設(shè)有一個(gè)近似值Tk≈T*，實(shí)值函數(shù)f（T）在零點(diǎn)T*的充分小鄰域U（T*）內(nèi)二階連續(xù)可微且f'（T）≠0。

由泰勒展開式可得到：

因?yàn)閒（T*）=0，f'（T）≠ 0，所以有 ：

將方程（7）中右邊的高階項(xiàng)略去，變成一個(gè)新的近似值，記為Tk+1，由此可得到牛頓迭代公式為：

利用Newton-Raphson方法迭代求解熱水溫度（T）和冷水混合比例（X）的具體步驟如下。

②計(jì)算雅可比矩陣：

③求線性方程組的解Δx；

是：輸出x，計(jì)算結(jié)束；

否：進(jìn)一步判斷k=N?

是：輸出“已達(dá)到最大迭代次數(shù)!”；

否：x（0）=x，返回第一步進(jìn)行重復(fù)計(jì)算。

3 計(jì)算實(shí)例

海闊對(duì)各區(qū)不同水樣進(jìn)行分析，假設(shè)地?zé)崃黧w與冷水混合前沒有發(fā)生蒸汽損失。本次引用其文章中的五個(gè)水樣數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)研究，各研究區(qū)雨水的溫度和二氧化硅含量在表2中給出。

根據(jù)表2中相關(guān)數(shù)據(jù)，利用圖解法畫出一系列如圖3所示的硅-焓圖，并求出對(duì)應(yīng)方程與二氧化硅溶解曲線的交點(diǎn)值。讀出對(duì)應(yīng)坐標(biāo)值與計(jì)算出的坐標(biāo)值如表3所示。

圖3 混合前沒有蒸汽和熱量損失的硅-焓示意圖

表2 部分水樣數(shù)據(jù)表[20]

圖中曲線表示沒有發(fā)生蒸汽損失時(shí)的二氧化硅溶解度曲線。

由表3可知，C1的坐標(biāo)值是通過圖解法直接讀數(shù)而求出的，C2坐標(biāo)值是通過求解直線AB及二氧化硅溶解度曲線方程組求出的交點(diǎn)。二者計(jì)算結(jié)果相差不大，說明改進(jìn)圖解法計(jì)算熱儲(chǔ)溫度的可行性。

表3 圖解法和改進(jìn)圖解法得出的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)值表

表4計(jì)算結(jié)果表明，除去水樣YX4-1，利用圖解法和改進(jìn)圖解法計(jì)算出的4個(gè)水樣熱水溫度差值分別為2.3℃、8.0℃、2.3℃、7.0℃，求取平均值是4.90℃；圖解法和Newton-Raphson方法計(jì)算出的四個(gè)水樣熱水溫度差值分別為2.6℃、8.6℃、1.3℃、1.1℃，求取平均值是3.40℃；改進(jìn)圖解法和Newton-Raphson方法計(jì)算出的4個(gè)水樣熱水溫度差值分別為0.3℃、0.6℃、1.0℃、5.9℃，求取平均值是1.95℃。

表4 3種方法的熱水溫度和冷水混合比例計(jì)算結(jié)果表

4 結(jié)論

1）基于硅-焓方程組構(gòu)建，改進(jìn)圖解法是利用解方程的形式求解坐標(biāo)值，較圖解法而言提高了計(jì)算的準(zhǔn)確度，減小了誤差。

2）Newton-Raphson迭代算法是一種計(jì)算熱儲(chǔ)溫度的新方法。該方法通過構(gòu)造近似線性方程來代替原方程，求解以熱水溫度、二氧化硅含量以及冷水混合比例為自變量的非線性方程組。此算法求解熱儲(chǔ)溫度和冷水混合比例過程簡(jiǎn)單，計(jì)算速度快，計(jì)算精度高。

3）圖解法與改進(jìn)圖解法、Newton-Raphson迭代算法計(jì)算出的4個(gè)水樣熱儲(chǔ)溫度差的平均值分別為4.90℃、3.40℃；改進(jìn)圖解法與Newton-Raphson迭代算法計(jì)算出的該值為1.95℃。所以用改進(jìn)圖解法和Newton-Raphson迭代算法計(jì)算熱儲(chǔ)溫度具有可行性。