王詩怡，陳姚節(jié)，徐 新

(武漢科技大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖北 武漢 430065)

0 引 言

近年來使用計算機(jī)仿真技術(shù)模擬現(xiàn)實環(huán)境是一個熱點話題。自然環(huán)境特效的模擬就是其中的一個應(yīng)用，其中包括了自然災(zāi)害，比如洪水、雪崩，也有模擬自然風(fēng)光，例如草原、瀑布。此中最常見的便是對氣候的模擬，好比風(fēng)、雨、雷、雪等。天氣模擬在游戲、電影、廣告等應(yīng)用場景中占據(jù)著重要的地位。

近幾年很多研究人員在雨滴降落模擬的真實性上取得了很大的進(jìn)展。孫學(xué)金等人[1]用Runge—Kutta法求解，驗證出了雨滴降落的末速度，并且和Gunn & Kinzer法的實測數(shù)值相比較吻合，結(jié)果更加準(zhǔn)確。劉嘉瑞等人[2]提出了一種基于SPH的模擬雨滴擊打樹枝等不規(guī)則物體邊界的方法，使用一種吸引力模型來模擬水滴從物體表面的滑落，在模擬水滴的收縮、流動等特性上達(dá)到了比較真實的效果。李寧等人[3]用API函數(shù)和粒子系統(tǒng)，在OpenGL中模擬了機(jī)場附近的雨雪雷電等自然天氣特效。Marcos Slomp等[4]通過研究雨滴表面紋理變化進(jìn)行實驗，可以在粒子比較多的情況下模擬雨滴。唐玉蕾和袁贊[5]改進(jìn)了基于粒子系統(tǒng)的雨滴動態(tài)過程的模擬，增強(qiáng)降雨實現(xiàn)的逼真度。劉小玲等采用多幅雪花紋理與粒子隨機(jī)組合，使雪花效果符合多樣性和隨機(jī)性。實驗結(jié)果表明，該算法能在大規(guī)模場景中進(jìn)行雨雪效果的實時渲染，并有較高的真實感[6]。Kim[7]將雨滴以及雨水流動模擬與基于粒子和柵格的區(qū)域融合的算法結(jié)合起來并且進(jìn)行了改進(jìn)。Huamin Wang等人[8]從物理建模的角度，研究了雨滴實際運(yùn)動過程中的規(guī)律，對雨滴的形變過程進(jìn)行建模。劉西川等人[9]研究了基于粒子成像測速技術(shù)的雨滴微物理特性，研究出雨滴的速度與其直徑成正比，雨滴的取向也受風(fēng)力影響，統(tǒng)計得到受自然環(huán)境影響下，雨滴傾角的平均值為2.1°,標(biāo)準(zhǔn)偏差為11.5°。Rouseau[10]通過研究雨滴的物理特性，將雨滴繪制的方法進(jìn)行了改進(jìn)，著重研究雨滴的外觀。Tatarchuk[11]把降雨場景結(jié)合了粒子系統(tǒng)和多細(xì)節(jié)層次并進(jìn)行仿真實驗，提升了逼真度，可是場景細(xì)節(jié)不夠完善。陳華杰等[12]將粒子系統(tǒng)與LOD技術(shù)結(jié)合研究，優(yōu)化粒子發(fā)射器從而提高了利用的效率，實現(xiàn)了較為高效的對雨雪的模擬。

粒子系統(tǒng)是實現(xiàn)大規(guī)模場景降雨仿真的一種有效方法[13]。但結(jié)合其物理運(yùn)動規(guī)律可以更真實地模擬雨滴的降落過程，使模擬出的畫面更接近真實的自然場景，可以提升用戶的體驗感。

文中在粒子系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，結(jié)合雨滴的物理特性以及其運(yùn)動特性，通過分析雨滴從高空降至地面過程中的受力情況，判斷其運(yùn)動規(guī)律，提出了聯(lián)動雨滴大小與風(fēng)力的模擬方法，實現(xiàn)了動態(tài)模擬在不同雨滴大小與不同風(fēng)力下的雨滴傾角動態(tài)變化，最終實現(xiàn)了一種較為真實的雨滴降落過程的自然場景。

1 雨滴的降落運(yùn)動特性

1.1 雨滴降落特性

雨滴從高空自由下落期間呈現(xiàn)出不同的形狀、大小、速度與傾角等物理特征，對于這些微物理特征的研究在自然場景仿真、電影特效繪制、天氣雷達(dá)探測等方面都有重大意義。雨滴降落的運(yùn)動過程復(fù)雜多變，其物理特性受環(huán)境影響，在不同時空下的雨滴狀態(tài)也有很大差異。

雨滴的形成是由陸地和海洋表面的水蒸發(fā)變成水蒸氣，當(dāng)升騰的氣流夾帶著水蒸氣和云凝結(jié)核抵達(dá)某一距離時，空氣臨近飽和狀態(tài)和或處于飽和狀態(tài)，水蒸氣遇冷上升到一定高度會凝結(jié)成小水滴、小冰晶，水蒸氣會在云凝結(jié)核上發(fā)生凍結(jié)現(xiàn)象形成小液滴，隨著氣流升騰進(jìn)一步凍結(jié)形成云滴。某些云滴相互靠近，會發(fā)生融合匯聚現(xiàn)象，由此形成更大的云滴，這被稱為雨滴的碰并增長，某些較大的云滴重力若大過空氣阻力，則會產(chǎn)生重力碰并現(xiàn)象。當(dāng)云滴大到一定程度，所受重力大于在空中受到的阻力便會從云層下落，在下落過程中和雨滴或者蒸騰的水蒸氣繼續(xù)融合匯聚，漸漸地就形成了雨滴。

雨滴在降落過程中受到重力、空氣阻力和風(fēng)力等因素的影響，具有不同的大小、速度、空間取向等多種物理特性。其中雨滴的大小、速度與空間取向在現(xiàn)實生活中可以直接被觀測者用肉眼感知，表現(xiàn)得最為直觀。研究表明，雨滴隨體積增加，其形狀會逐漸從球體變成橢球體，且半徑不斷改變，由于雨滴具有表面張力，半徑較小的雨滴在降落過程中會持續(xù)球體形態(tài)，而半徑較大的雨滴在重力和空氣阻力等力的影響下，逐漸形變，而發(fā)展成近似橢球的形態(tài)。

由物理學(xué)知識可知，物體從高空下落時，將受到空氣阻力作用[14]，雨滴受到的空氣阻力與雨滴的大小、速度和狀態(tài)等物理特性有關(guān)，且阻力與速度成正相關(guān)。雨滴的直徑普遍在0.5 mm至6 mm之間。雨滴的一般形狀是隨著雨滴體積的增大，雨滴逐步變成下面平坦，上面圓潤，表現(xiàn)出類似“饅頭”的形態(tài)[15]。而雨滴的生成并降落的高度也隨季節(jié)改變，冬季在2 000 m左右，夏季在5 000 m左右。雨滴從云層開始下落時由于體積較小，忽略空氣阻力可視為自由落體運(yùn)動。在降落過程中會和其他雨滴進(jìn)行匯聚融合，從而產(chǎn)生空氣阻力，此時雨滴進(jìn)行變加速的運(yùn)動，其形狀會由球形逐漸發(fā)展為橢球形。無數(shù)的實驗已經(jīng)表明，雨滴會隨著體積的增大，而最終形成一個下面平坦，上面圓滑的半球形，雨滴在受力平衡后便勻速運(yùn)動。

1.2 雨滴運(yùn)動過程分析

雨滴由云層下落的過程中的速度是非常重要的物理特性之一。雨滴比較小的時候，自身重力較小，不容易克服空氣的阻力，可能會浮在空中，直到和別的雨滴融合匯聚，且其重力可以克服空氣阻力時開始降落。雨滴降落的過程當(dāng)中，因為速度小，受到的空氣阻力與速度成正比，則空氣阻力隨速度的改變而不斷改變，雨滴速度變大的過程中，雨滴就會做變加速運(yùn)動。

在距離地面高度100 m以上，雨滴所受重力大于所受的阻力，雨滴速度逐漸變大，且雨滴之間有匯聚現(xiàn)象，雨滴變大后所受阻力和重力不斷改變，則雨滴做變加速運(yùn)動。后期隨著雨滴不斷地融合匯聚及其速度的增大，受到的阻力增大加速度變小，直到阻力等于重力，此時雨滴做勻速運(yùn)動。

由于雨滴在降落過程中受到的環(huán)境因素影響較大，雨滴的運(yùn)動特性會特別繁雜，如果將所有因素都考慮，系統(tǒng)很難達(dá)到要求。為了方便對雨滴的降落過程進(jìn)行建模，現(xiàn)做出以下假設(shè)：

(1)雨滴從高空開始下落，在其下落過程中是獨立的，不考慮雨滴的融合匯聚現(xiàn)象的影響。

(2)不考慮雨滴形變，視雨滴為球形。

雨滴降落過程中會受到三個力的影響，分別是重力、空氣阻力和空氣浮力。距地面大于100 m時，雨滴在垂直方向上運(yùn)動過程有如下運(yùn)動公式：

(1)

其中，m表示雨滴的質(zhì)量，V1表示雨滴垂直方向的下降速率，ρα和ρω分別表示空氣和水的密度，F(xiàn)D1表示雨滴在垂直方向上受到的空氣阻力，它的一般形式如下：

(2)

公式(2)又叫牛頓曳力公式，其中S表示雨滴橫截面積，C是曳力系數(shù)，可將它看做常量。

對于半徑為R的雨滴，其橫截面積有以下公式：

S=πR2

(3)

在雨滴距地面一定距離時，雨滴重力等于空氣阻力，視為勻速運(yùn)動，此時有如下運(yùn)動公式：

mg=FD1

(4)

根據(jù)以上的分析，整理可得雨滴在垂直方向上的運(yùn)動微分方程為：

(5)

雨滴在水平方向的運(yùn)動過程中，會受到風(fēng)力與空氣阻力的影響，受力分析簡化圖如圖1所示。

圖1 雨滴水平受力分析

F為水平方向上所受到的風(fēng)力，為水平方向上的空氣阻力，則雨滴在水平方向上的運(yùn)動方程如下：

(6)

其中，V2為雨滴在水平方向上的運(yùn)動速率，則雨滴在水平方向的受力方程如下：

F=ρα(V-V2)2S

(7)

其中，V為水平方向上的風(fēng)速。綜合以上所述公式，可整理出雨滴在水平方向上的運(yùn)動微分方程：

(8)

雨滴在理想狀態(tài)下，從高空降落的過程中在垂直方向和水平方向上的運(yùn)動建模如上述公式所述，下面將會討論雨滴在受一定風(fēng)力影響時，不同半徑的雨滴粒子產(chǎn)生的不同的傾角，以及雨滴粒子半徑一定時，不同大小風(fēng)力對雨滴傾角的影響。

2 雨滴受風(fēng)力影響的傾角

2.1 雨滴傾角相關(guān)研究

雨滴傾角即雨滴的取向，指雨滴的對稱軸與垂直方向上的夾角(傾斜角β)。理想情況下風(fēng)力為0，雨滴傾角則為0°。但是自然環(huán)境中降雨受到風(fēng)、湍流等多種因素的影響，雨滴的取向呈現(xiàn)不同的特征[16]。Hendry等[17]利用線偏振X波段雷達(dá)探測強(qiáng)降雨發(fā)現(xiàn)，雨滴的平均傾斜角為0°，標(biāo)準(zhǔn)差為6°。Beard等[18]在均一各向同性湍動理論的基礎(chǔ)上，預(yù)測平均傾斜角β應(yīng)當(dāng)為0°，標(biāo)準(zhǔn)差小于4°，這一預(yù)測與Hendry等[17]的雷達(dá)觀測結(jié)果一致。胡云濤等選取2015年6月17日南京地區(qū)降水微物理特征測量儀(PMCS)獲取的有效雨滴，計算每個雨滴的傾斜角[19]。分析得到雨滴傾角分布于0°兩側(cè)，大部分雨滴傾角在-20°到20°之間，平均值為0.82°，標(biāo)準(zhǔn)差為15.9°。研究表明，雨滴在降落過程中會受環(huán)境影響，形成不同大小的傾角，且基本服從高斯分布。

理論上，對于雨滴的傾角目前還沒有確定模型，且實際情況較為復(fù)雜，受環(huán)境因素影響較大，暫沒有準(zhǔn)確的雨滴傾角建模，需更多實際測量以及理論推導(dǎo)。實驗上，大多利用雷達(dá)探測和降水微物理特征測量儀等儀器來測量雨滴降落過程中展現(xiàn)的各種物理特征，測量結(jié)果是基于一段時間之內(nèi)的雨滴測量，由于一段時間內(nèi)風(fēng)力的方向與大小會不停變化，雨滴的傾角會在垂直方向兩側(cè)均勻分布。

文中只考慮某一時刻風(fēng)往同一個方向吹的情況，模擬雨滴在風(fēng)力大小和雨滴大小不同的時候形成的不同F(xiàn)D2傾角。

2.2 雨滴傾角物理特性分析

為了更好地模擬雨滴粒子下降過程中傾角受風(fēng)力影響的變化，現(xiàn)分析雨滴傾角的物理特性。

在雨滴降落的勻速運(yùn)動階段，在垂直方向上由公式(4)推導(dǎo)得到：

(9)

則垂直方向上的速率V1有如下公式：

(10)

雨滴在水平方向上也做勻速運(yùn)動，受力公式如下：

(11)

則雨滴在水平方向上的速率V2有如下公式：

(12)

雨滴傾角β與速率分析如圖2所示。

圖2 雨滴速率-傾角分析

傾角β可由以下公式表示：

(13)

雨滴質(zhì)量有以下公式：

(14)

可推斷雨滴傾角β與風(fēng)力F成正比，與半徑R成反比。雨滴大小與雨滴半徑成正比，在仿真實驗中，只需控制雨滴大小即可反映半徑R對雨滴傾角的影響。接下來討論將雨滴粒子半徑與雨滴粒子所受風(fēng)力聯(lián)動，動態(tài)模擬不同粒子半徑以及不同風(fēng)力大小時雨滴的傾角變化。

3 雨滴降落傾角模擬仿真實驗

3.1 粒子系統(tǒng)

粒子系統(tǒng)是在計算機(jī)仿真、游戲動畫和圖形學(xué)中廣泛使用的一項技術(shù)。對雨、雪、火焰等不規(guī)則物體的模擬，是計算機(jī)仿真中最難以突破的科研目標(biāo)之一[20]。在所有的研究方法中利用粒子系統(tǒng)進(jìn)行模擬的方式是當(dāng)前模擬效果最好并且應(yīng)用最普遍的方法[21]。

雨滴粒子很難用傳統(tǒng)圖形學(xué)相關(guān)技術(shù)渲染出來，文中利用粒子系統(tǒng)，高效模擬大量的、小而密的雨滴粒子，并且通過對粒子系統(tǒng)屬性的設(shè)定，準(zhǔn)確地控制每個粒子的運(yùn)動狀態(tài)，實現(xiàn)動態(tài)實時的渲染效果。

3.2 圖形用戶界面

圖形用戶界面(graphical user interface，GUI)可以滿足用戶在界面進(jìn)行實時操作的需求。Unity3D中有豐富的圖形系統(tǒng)，包含通常使用到的按鈕、圖片、文本等控件。文中制作了控制雨滴大小與風(fēng)力大小的動態(tài)GUI界面，如圖3所示，運(yùn)行過程中可調(diào)節(jié)滑條來動態(tài)控制雨滴的傾角。可以直觀地模擬雨滴大小不同，風(fēng)力不變時，雨滴傾角與雨滴大小成反比；風(fēng)力不同，雨滴大小不變時，雨滴傾角與風(fēng)力大小成正比的雨滴傾角特性。

圖3 動態(tài)控制雨滴大小與風(fēng)力大小界面

3.3 實驗結(jié)果

文中在CPU為1.6 GHz Intel Coare i5的PC機(jī)上進(jìn)行實驗，在Unity3D和Visual Studio.2010開發(fā)環(huán)境中，通過對雨滴運(yùn)動過程中在垂直方向和水平方向上的運(yùn)動建模，實現(xiàn)了三維場景降雨過程的模擬。圖4和圖5展示了風(fēng)力不變，改變雨滴大小時傾角的變化，傾角與雨滴大小成反比。

圖4 風(fēng)力不變雨滴較小

圖5 風(fēng)力不變雨滴較大

圖6～圖8展示了雨滴大小不變，風(fēng)力大小改變時雨滴傾角的變化，傾角與風(fēng)力成正比。

圖6 雨滴大小不變，風(fēng)力為0

圖7 雨滴大小不變，風(fēng)力較小

圖8 雨滴大小不變，風(fēng)力較大

在公式(13)的基礎(chǔ)上，完成了雨滴大小與風(fēng)力的動態(tài)控制仿真。模擬了在風(fēng)力大小不變的情況下，雨滴變大，傾角變小；在雨滴大小不變的情況下，風(fēng)速變大，雨滴傾角變大，效果較為真實。

4 結(jié)束語

文中使用粒子系統(tǒng)模擬雨滴降落仿真，從雨滴的特性出發(fā)，研究了雨滴的物理特性，如降落速度、形狀和半徑，和雨滴從云層開始下落至到達(dá)地面過程中的運(yùn)動特性，研究了雨滴降落過程中所受的力以及加速度、速度的變化，從而更加真實地模擬雨滴降落的運(yùn)動過程。并且提出了將雨滴大小與風(fēng)力聯(lián)動的方法，結(jié)合圖形用戶界面實現(xiàn)了動態(tài)控制雨滴大小和風(fēng)力，模擬了雨滴大小不同以及風(fēng)力不同的情況下雨滴傾角的變化，實驗結(jié)果較為真實。