魏 臻

(福建技術(shù)師范學院 大數(shù)據(jù)與人工智能學院,福建福清 350300)

§1 引言

捕食-食餌模型是生態(tài)學的基本模型之一,學者們對兩種群的模型進行了研究得到了許多有趣的結(jié)論(見[1-9]及其中的參考文獻).文獻[1-6]研究了帶有功能性反應(yīng)函數(shù)的種群,文獻[1,4-7]研究了避難所對種群的影響.大多數(shù)捕食系統(tǒng)只考慮捕食者的直接捕殺,近年來,學者們注意到食餌對捕食者產(chǎn)生的恐懼會影響食餌種群的繁殖能力,Wang等[8]提出了用函數(shù)f(K,y)=表示食餌種群受到恐懼效應(yīng),其中K表示恐懼程度.Zhang等[9]研究了具有恐懼效應(yīng)和Holling-II功能性反應(yīng)函數(shù)結(jié)合避難所的捕食-食餌模型

其中系數(shù)均為正數(shù),α表示食餌的內(nèi)稟增長率,r表示捕食者的死亡率,表示單位時間內(nèi)每個捕食者吃掉食餌的最大數(shù)量,c表示轉(zhuǎn)化系數(shù),(1?m)x表示被捕食的食餌量,m ∈[0,1),討論了恐懼效應(yīng)和避難所對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.

另外,人類對自然資源開發(fā)利用以獲得資源,但過度的開發(fā)會使種群滅絕,生態(tài)系統(tǒng)遭到破壞.為了種群能夠得到合理的開發(fā)利用,人類通過設(shè)置禁獵區(qū)等方式來保護種群,使得種群得以生存.Chakraborty等[10]提出了半封閉捕獲的概念,[11-13]對這樣的捕獲進行研究,劉等[13]研究了具有半封閉捕獲的Lotka-Volterra系統(tǒng):

其中E表示捕撈努力量,q1,q2分別表示食餌和捕食者的捕撈系數(shù),0

結(jié)合以上,本文考慮具有恐懼效應(yīng)及避難所和半封閉捕獲項的捕食系統(tǒng)

其中系數(shù)均為正常數(shù).本文研究系統(tǒng)(3)平衡點的穩(wěn)定性及恐懼效應(yīng),避難所和捕獲項對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.

§2 主要結(jié)果

系統(tǒng)(3)的平衡點由

證系統(tǒng)(3)的雅可比矩陣為

§3 恐懼效應(yīng),避難所和半封閉捕獲項的影響

§4 數(shù)值模擬及結(jié)論

用數(shù)值來說明恐懼效應(yīng),避難所和捕獲項對種群的影響.

例4.1設(shè)系統(tǒng)(3)中的數(shù)值取為

(1) 當K=0,m=0.8時,存在兩個邊界平衡點E0(0,0),E1(55,0)和唯一正平衡點,E?(6,7.84),如圖1(a),E0,E1是不穩(wěn)定的,E?是源點,系統(tǒng)存在極限環(huán).

(2)當K=0.1,m=0.8時,存在兩個邊界平衡點E0(0,0),E1(55,0)和唯一正平衡點,E?(6,4.111),如圖1(b),E0,E1是不穩(wěn)定的,E?是源點,系統(tǒng)存在極限環(huán).恐懼效應(yīng)不影響x種群密度,但影響y種群密度.

(3) 當K=1,m=0.8時,存在兩個邊界平衡點E0(0,0),E1(55,0)和唯一正平衡點,E?(6,1.1091),如圖1(c),E0,E1是不穩(wěn)定的,E?從不穩(wěn)定的源點變?yōu)榉€(wěn)定的匯點.

例4.2設(shè)系統(tǒng)(3)中的數(shù)值取為

(1) 當K=1,m=0.9時,存在兩個邊界平衡點E0(0,0),E1(30,0)和唯一全局漸近穩(wěn)定的正平衡點為E?(20,0.13728),如圖2(a).

圖2 參數(shù)(9)條件下系統(tǒng)(3)的動力學行為

(2) 當K=1,m=0.96時,存在一個不穩(wěn)定的邊界平衡點E0(0,0)和唯一全局漸近穩(wěn)定的邊界平衡點E1(30,0),如圖2(b),增加了避難所使得y種群絕滅.

(3) 當K=0,m=0.96時,存在一個不穩(wěn)定的邊界平衡點E0(0,0)和唯一全局漸近穩(wěn)定的邊界平衡點E1(30,0),如圖2(c),恐懼效應(yīng)不能改變y種群絕滅.

例4.3設(shè)系統(tǒng)(3)中的數(shù)值取為

(1) 當n=0.2時,存在兩個邊界平衡點E0(0,0),E1(30,0)和唯一全局漸近穩(wěn)定的正平衡點為E?(10,1.6886),如圖3(a).

圖3 參數(shù)(10)條件下系統(tǒng)(3)的動力學行為

(2) 當n=0.3時,存在E0(0,0)和全局漸近穩(wěn)定的邊界平衡點E1(5,0),如圖3(b).

(3) 當n=0.4時,只存在一個全局漸近穩(wěn)定的原點E0(0,0),如圖3(c).說明過度的捕撈,使得兩種群絕滅.

本文研究一類具有恐懼效應(yīng)及避難所和半封閉捕獲項的捕食系統(tǒng)的動力學行為,討論了系統(tǒng)平衡點的局部穩(wěn)定性和正平衡點的全局穩(wěn)定性,證明了系統(tǒng)在適當?shù)臈l件下存在Hopf分支.研究表明當正平衡點存在時,恐懼效應(yīng)對食餌種群密度沒有影響,但能減少捕食者種群密度而且能使系統(tǒng)更加穩(wěn)定.當0≤m<1?2m?時,隨著避難所的增加,在恐懼效應(yīng)影響下,捕食者種群密度先增加后減少.但當避難所達到一定值時,捕食者種群就絕滅了.人類對種群的捕撈時,需考慮保護區(qū)的大小,適當?shù)牟稉撇趴梢允沟梅N群得以生存.