劉夢麗,朱 敏,宋小飛

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,安徽蕪湖 241000)

§1 引言和模型建立

近年來,傳染病的大規(guī)模間斷性暴發(fā)嚴(yán)重影響了社會公眾的健康.傳染病的傳播具有多種媒介,例如,有通過蚊子傳播的蚊媒疾病,有通過空氣傳播的呼吸道疾病,有通過排泄物傳播的糞口疾病等.常見的糞口傳播是指傳染源消化道內(nèi)含有的病原體通過糞便排出體外,污染水源和食物,然后通過各種形式經(jīng)過消化道間接進入人體造成感染,故糞口傳播又稱為消化道傳播.糞口疾病種類眾多,比較常見的糞口傳播疾病有霍亂[1],細(xì)菌性痢疾[2],手足口病,還包括絳蟲病,蟯蟲病,蛔蟲病等一些寄生蟲疾病[3].雖然能夠通過有效切斷傳播途徑從而降低糞口疾病的感染率,但在一些偏遠(yuǎn)及經(jīng)濟相對落后的地區(qū),公共衛(wèi)生知識的缺乏導(dǎo)致糞口疾病不斷流行,而在一些公共場所,各種環(huán)境衛(wèi)生問題的存在也導(dǎo)致無法完全切斷糞口疾病的傳播,因此對于糞口傳染病的研究仍然至關(guān)重要.

針對糞口傳播模型,許多學(xué)者從不同角度探討了糞口傳染病的傳播機理.文獻[4]將自由邊界引入到一類反應(yīng)擴散糞口模型,探究了感染區(qū)域的擴張能力對病毒傳播的影響;文獻[5]重點研究了合作和部分退化的反應(yīng)擴散系統(tǒng),通過上下解方法揭示了單穩(wěn)態(tài)波陣面的存在性,得到了單穩(wěn)定波陣面的最小波速與傳播速度一致的結(jié)論;在文獻[6]中,作者關(guān)注了具有非局部項和雙自由邊界的部分退化系統(tǒng),分析出非局部項和雙自由邊界弱化了疾病的傳播風(fēng)險;在霍亂細(xì)菌擴散而感染者不擴散的情形下,Zhao和Wang[7]利用不動點定理以及上下解方法探討了單穩(wěn)態(tài)非線性條件下系統(tǒng)單調(diào)行波解的存在性.

事實上,由于氣候變化和人類活動領(lǐng)域的不斷擴張,種群棲息地和病毒的生存范圍都在不斷發(fā)生變化.因此,對于生物種群的持續(xù)和滅絕來說,生存區(qū)域的變化是不可忽略的一個因素.許多學(xué)者都關(guān)注了區(qū)域變化對自然科學(xué)、生命科學(xué)以及醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域的影響[8-10].本文將在以下Capasso和Maddalena提出的霍亂微分方程模型[1]的基礎(chǔ)上,重點探討區(qū)域變化對糞口模型傳播動力學(xué)的影響,

并同時給出了判斷穩(wěn)定性的閾值參數(shù)

這里的λ?是?Δ算子在齊次邊界條件下的主特征值.為了后文書寫方便,首先給出如下記號

Dt=Ω(t)×(0,+∞),D0=Ω(0)×(0,+∞),Bt=?Ω(t)×(0,+∞),B0=?Ω(0)×(0,+∞),這里Ω(t)?Rn是一個隨時間t變化的區(qū)域,?Ω(t)為其邊界,Ω(0)為初始域.根據(jù)文獻[11-13],對于在Ω(t)內(nèi)的任意點x(t),細(xì)菌種群密度為u1(x(t),t),感染性人類密度為u2(x(t),t),由質(zhì)量守恒原理和Reynolds輸運定理[14],在(x,t)∈Dt時有如下演化域上的糞口模型,

考慮問題(3)具有齊次的Dirichlet邊界條件u1(x(t),t)=u2(x(t),t)=0和初始條件(u1,u2)=(u1,0(x),u2,0(x)),其中初始條件為正的有界連續(xù)函數(shù),令

利用[13,15]類似的方法,則問題(3)與其初始條件和邊界條件可以轉(zhuǎn)換為如下形式

§2 基本再生數(shù)

基本再生數(shù)表示在完全易感人群中由一個典型的受感染個體在平均患病期間內(nèi)所產(chǎn)生的平均繼發(fā)性病例數(shù),是非常重要的一個傳染病閾值.一般來說,對于由常微分系統(tǒng)所刻畫的傳染病模型,基本再生數(shù)可以通過下一代矩陣法[16]算出,而模型(3)和(4)均為反應(yīng)擴散系統(tǒng),將利用特征值問題和下一代感染算子的譜半徑求解[17].

首先考慮模型(4)的極限系統(tǒng)如下

將模型(5)在無病平衡點(w,v)=(0,0)處線性化后可以得到以下方程:

根據(jù)文獻[17]中對基本再生數(shù)的定義可知,問題(6)中感染倉室內(nèi)個體的自身演變是由以下的線性反應(yīng)-擴散方程組所決定的,

同時還能夠得到關(guān)于的其它相關(guān)結(jié)論.

定理2.1以下論斷成立.

的主特征值,這里η?是λ?對應(yīng)的特征函數(shù).

(ii) 在問題(7)中當(dāng)y ∈Ω(0)時,?Δφ(y)和?Δψ(y)恒大于0.

并由(7)中主特征對的唯一性可知()就是(7)的解.因此,結(jié)論(i)成立.并注意到φ,ψ與η?的關(guān)系,結(jié)合(9)可判斷(ii)也成立.

在條件(G1),(G2)及(H)下,將利用上下解方法來探討區(qū)域變化對問題(4)動力學(xué)行為的影響.為了便于比較,將依次給出固定域上的情形和變化域上的情形.

§3 固定域?qū)S口疾病的影響(ρ(t)≡ρ∞≡1)

在考慮區(qū)域變化對糞口疾病動力學(xué)的影響之前,首先給出上下解定義和比較原理.

以及對應(yīng)的特征值問題

然后再根據(jù)定理2.1中的相關(guān)計算可知問題(10)的基本再生數(shù)為

這里的Θm是文獻[1]中閾值,由(2)式給出.下面先給出固定域上問題(10)的動力學(xué)結(jié)論,相關(guān)證明在后文中闡述.

定理3.1當(dāng)1時,系統(tǒng)(10)的平凡解(0,0)全局漸近穩(wěn)定.

§4 變化域?qū)S口疾病的影響(ρ(t)/≡ρ∞)

如果ρ(t)/≡ρ∞,此時Ω(t)是一個變化區(qū)域,下面首先探討1時問題(4)的動力學(xué).

引理4.2如果0>1,則存在T0>0,使得當(dāng)t ≥T0時,(M1,M2)和(?0φ,?0ψ)是問題(4)的上下解,這里(M1,M2)由(17)定義,?0充分小且(φ,ψ)是特征值問題(7)的主特征函數(shù)對.

類似于(16),又有

現(xiàn)在考慮輔助問題(21)分別伴隨不同的初始條件

這里的T0由引理4.2定義,有如下引理.

則存在逆變換t=f(h)使得

從而問題(21),(25)轉(zhuǎn)化為

顯然,問題(28)仍然是一個合作系統(tǒng),但其擴散系數(shù)已變?yōu)槌?shù).回顧關(guān)系式(27),有

注對于固定區(qū)域中定理3.1和定理3.2的證明,可以分別通過定理4.1和定理4.2的證明在ρ(t)≡1的情況下推導(dǎo)得出.

§5 數(shù)值模擬和流行病學(xué)分析

現(xiàn)在選擇不同的演化率ρ(t)來模擬問題(4)解的長期行為.

模擬5.1選取較大的演化率

根據(jù)定理4.2可知當(dāng)1時,問題(4)的任意解介于橢圓系統(tǒng)(15)的最大解和最小解之間,這意味著糞口病毒將會傳播.通過圖1(a)可以觀察出變量w(y,t)趨于一個正穩(wěn)定態(tài),通過圖1(b)和(c)能夠看出區(qū)域Ω(t)的增長趨勢以及糞口病毒的變化趨勢.

圖1

定理4.1表明問題(4)在1時,(0,0)全局漸近穩(wěn)定,而圖2(a)中也顯示出(4)的解最終趨于無病平衡點,這意味著糞口病毒將逐漸消失.由圖2(b)(c)能夠看出區(qū)域Ω(t)在不斷增大.

圖2

基于Capasso和Maddalena提出的模型(1),深入研究了區(qū)域的變化對糞口傳染病傳播的影響.在探究模型(4)解的長期行為的過程中,首先給出了演化率ρ(t)的相關(guān)假設(shè),然后通過下一代感染算子的譜半徑以及相應(yīng)的特征值問題計算出基本再生數(shù)(8),將其作為判斷問題(4)解的穩(wěn)定性的閾值參數(shù).由于拋物系統(tǒng)(4)具有和時間相關(guān)的擴散系數(shù),在利用上下解方法判斷解的漸近行為的過程中會出現(xiàn)前文中提到的兩個困難,而通過引理4.2和4.3可以克服了這兩個困難,并且建立了拋物系統(tǒng)(4)和橢圓系統(tǒng)(15)的解之間的關(guān)系.最后通過定理4.1和4.2,可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)1時,問題(4)具有平凡解(0,0),并且全局漸近穩(wěn)定,這意味著糞口病毒和感染人群將逐漸消失,當(dāng)1時,〈(?0φ,?0ψ),(M1,M2)〉是問題(4)的吸引域,這表明糞口病毒和感染人群將會逐漸擴散.

在文獻[13]中,作者考慮了區(qū)域增長對單一物種的昆蟲擴散模型的影響,得出結(jié)論:區(qū)域的增長對正穩(wěn)態(tài)解的漸近穩(wěn)定性有積極影響,而對平凡解的漸近穩(wěn)定性有消極影響,這意味著區(qū)域的演化會促進昆蟲的擴散.相對于單一物種模型,給出了兩個不同物種的模型(4),根據(jù)第三部分的分析,也即演化域和固定域的對比可知,當(dāng)1時,糞口病毒和感染人群在固定域和演化域上都將消失;當(dāng)1時,糞口病毒在固定域上將會消失,在演化域上將會傳播;當(dāng)1時,糞口病毒在固定域和演化域上都會傳播.結(jié)果說明較大的演化率會進一步增加糞口病毒傳播的風(fēng)險.綜合來看,棲息地的擴張會促使物種的蔓延包括病毒的擴散.在現(xiàn)實生活中,隨著氣候變化和人類生存環(huán)境的改變,適合病毒生存的空間也在不斷增大,這使得病毒的傳播風(fēng)險增加.通過以上分析意識到,減緩全球氣候變暖的速度,適當(dāng)控制人類的活動范圍能夠有效地控制糞口病毒的傳播.