林守金，許 濤，譚海輝，張 莉， 張士輝

（1. 中山邁雷特?cái)?shù)控技術(shù)有限公司， 廣東中山 528437；2. 西安工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院， 西安 710048；3. 電子科技大學(xué)中山學(xué)院， 廣東中山 528400）

0 引言

高性能電主軸作為現(xiàn)代高檔數(shù)控機(jī)床智能化核心動(dòng)力部件，其軸承動(dòng)態(tài)力學(xué)特性嚴(yán)重影響著電主軸在復(fù)雜工況運(yùn)行條件下的綜合服役性能。在復(fù)雜工況和變載荷運(yùn)行條件下軸承動(dòng)力學(xué)與軸承摩擦特性、接觸特性和潤滑特性密切相關(guān)，通過適時(shí)改變軸承預(yù)緊力調(diào)控軸承動(dòng)力學(xué)特性可以使電主軸動(dòng)態(tài)服役性能隨工況自適應(yīng)變化。目前，軸承預(yù)緊力控制方法通常假設(shè)特定功能和穩(wěn)定工況運(yùn)行的軸承預(yù)緊力恒定不變，預(yù)緊優(yōu)化時(shí)主要針對軸承系統(tǒng)剛度、溫度和疲勞壽命等單一性能指標(biāo)逐項(xiàng)分析。最近研究表明當(dāng)電主軸在超過萬轉(zhuǎn)的變速區(qū)間內(nèi)連續(xù)復(fù)合作業(yè)時(shí)，軸承滾動(dòng)體離心力和陀螺力矩會(huì)誘發(fā)軸承內(nèi)部部件作用力動(dòng)態(tài)變化，引起的滾動(dòng)體非穩(wěn)態(tài)摩擦使實(shí)際預(yù)緊力隨著主軸運(yùn)行狀態(tài)動(dòng)態(tài)變化，造成其他服役性能耦合影響[1-5]，輕則影響電主軸對零件的加工精度，重則會(huì)造成軸承損壞。Grama SN[6]和Paulson NR[7]從溫升和潤滑角度出發(fā)，分別研究電主軸精度和疲勞壽命影響關(guān)系，指出速度為影響電主軸服役性能的重要因素，但缺乏考慮速度影響的預(yù)緊力與軸承動(dòng)力學(xué)性能動(dòng)態(tài)變化過程的定量研究。為綜合考慮各因素對軸承動(dòng)力學(xué)建模精度的影響，擬采用軸承靜力學(xué)模型考慮滾動(dòng)體滑動(dòng)、自旋轉(zhuǎn)、陀螺運(yùn)動(dòng)和接觸區(qū)流體潤滑效應(yīng)對滾動(dòng)體影響[8]，建立軸承整體力及力矩平衡方程，運(yùn)用牛頓萊布尼斯迭代方法可以獲得軸承內(nèi)部部件相互作用力量化規(guī)律，但隨著主軸運(yùn)行狀態(tài)適時(shí)變化對軸承建模精確影響控制成為建模難點(diǎn)。Lundberg G等[9]指出軸承軸向載荷影響滾動(dòng)軸承內(nèi)部載荷會(huì)誘發(fā)軸承疲勞壽命改變，近期，西安交通大學(xué)張進(jìn)華團(tuán)隊(duì)通過研究軸承疲勞壽命模型指出，合適的預(yù)緊力可改善軸承載荷分布，能夠延長軸承疲勞壽命，軸承載荷、預(yù)緊力和轉(zhuǎn)速均為影響軸承疲勞壽命的重要因素。為進(jìn)一步提高速度激勵(lì)條件下軸承動(dòng)力學(xué)主動(dòng)控制精度，本文針對速度激勵(lì)引起的軸承動(dòng)力學(xué)改變對軸承疲勞壽命影響，提出采用變可靠度因子和疲勞壽命的雙尺度軸承預(yù)緊力調(diào)控方法，實(shí)現(xiàn)高速電主軸軸承預(yù)緊力主動(dòng)定量控制，進(jìn)一步提升高性能電主軸運(yùn)行過程中動(dòng)態(tài)性能自適應(yīng)優(yōu)化控制精度。

1 高速角接觸球軸承動(dòng)力學(xué)分析模型

角接觸球軸承是電主軸重要的功能回轉(zhuǎn)部件，其動(dòng)態(tài)性能直接決定電主軸綜合性能，高速運(yùn)行時(shí)受滾動(dòng)體離心力的影響。軸承動(dòng)力學(xué)特性是電主軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的關(guān)鍵。擬靜力學(xué)模型是研究軸承動(dòng)力學(xué)特性的重要方法，Jones[8]以溝道控制理論為基礎(chǔ)建立球軸承擬靜力學(xué)分析模型，本文考慮高速運(yùn)行狀態(tài)下滾動(dòng)體離心力與軸承軸向預(yù)緊力共融作用，建立動(dòng)態(tài)反應(yīng)多場景運(yùn)行的預(yù)載荷-軸承接觸界面力學(xué)影響模型。

1.1 轉(zhuǎn)速、預(yù)載荷共融影響對軸承界面作用力影響

軸承從靜止至高速的隨機(jī)復(fù)合變速運(yùn)行過程中，滾動(dòng)體所受離心力和陀螺力矩對軸承產(chǎn)生影響。為完整描述整個(gè)變速過程軸承內(nèi)部載荷變化規(guī)律，本節(jié)構(gòu)建考慮離心力和陀螺力矩影響的球軸承力學(xué)影響模型。分析軸承旋轉(zhuǎn)過程，滾動(dòng)體受離心力和陀螺力矩復(fù)合影響對接觸界面力學(xué)分布狀態(tài)、滾動(dòng)體與滾道相對變形和內(nèi)外接觸角完整變化規(guī)律。如圖1所示，軸承單個(gè)滾動(dòng)體受力特性表示為：

圖1 角接觸軸承滾動(dòng)體受力

式中：Fc為滾動(dòng)體離心力；dm為節(jié)圓直徑；ρ為滾動(dòng)體密度；D為滾動(dòng)體直徑；n為軸承轉(zhuǎn)速；Qi和Qo分別為滾動(dòng)體與內(nèi)滾道和外滾道相互作用力；αi和αo分別為滾動(dòng)體與內(nèi)、外滾道實(shí)際接觸角。

為了使軸承滾動(dòng)體平穩(wěn)運(yùn)行，由圖1（a）可知系統(tǒng)需滿足如下平衡條件：

式中：Fa為軸承軸向預(yù)緊力；Fr為軸承徑向預(yù)載荷。通常情況沿軸向有多種約束方式施加軸向預(yù)緊力Fa保證軸承系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行[10]。

由式（1）～（2）可看出，軸承軸向預(yù)緊力Fa與滾動(dòng)體離心力Fc和內(nèi)、外接觸角αi和αo密切相關(guān)，任意參數(shù)變化均會(huì)影響其它參數(shù)，軸承轉(zhuǎn)速n與離心力Fc密切相關(guān)，且軸承轉(zhuǎn)速n與軸向預(yù)緊力Fa共同作用影響軸承運(yùn)行參數(shù)αi和αo。為此，F(xiàn)c和Fa的共融匹配能夠確保軸承系統(tǒng)穩(wěn)定工作，分析軸承界面力學(xué)特性時(shí)應(yīng)考慮二者動(dòng)態(tài)匹配規(guī)律，使軸承各部件綜合性能最優(yōu)。

1.2 軸承滾動(dòng)體動(dòng)力學(xué)動(dòng)態(tài)匹配數(shù)值分析

軸承運(yùn)行過程中，滾動(dòng)體與內(nèi)、外圈溝道相互接觸，受到內(nèi)、外圈溝道對滾動(dòng)體的作用力，同時(shí)受滾動(dòng)體離心力和軸向預(yù)緊力復(fù)合影響，由式（1）～（2）分析可知任意狀態(tài)運(yùn)行的軸承作用力在一定范圍內(nèi)動(dòng)態(tài)匹配，為完整表達(dá)軸承各部件作用力的變化規(guī)律，構(gòu)建球軸承動(dòng)力學(xué)匹配模型。當(dāng)軸承高速運(yùn)行時(shí)受離心力作用，軸承滾珠與軸承內(nèi)、外圈溝道的接觸角不再相同，如圖1（c）所示滾動(dòng)體與內(nèi)外滾道的接觸作用力動(dòng)態(tài)表達(dá)為：

式中：Ki、δi分別為滾動(dòng)體與內(nèi)滾道接觸動(dòng)剛度和接觸區(qū)變形量；Ko、δo分別為滾動(dòng)體與外滾道接觸動(dòng)剛度和接觸區(qū)變形量。

為確定軸承轉(zhuǎn)速和軸向預(yù)緊力的動(dòng)態(tài)匹配數(shù)值關(guān)系，圖1（c）中陀螺力矩Mg計(jì)算如下：

滾動(dòng)體與滾道切向摩擦力T計(jì)算公式為：

式中：Mg為滾動(dòng)體所受的陀螺力矩；D為滾動(dòng)體直徑。

軸承高速隨機(jī)運(yùn)行時(shí)，由于離心力作用使?jié)L動(dòng)體與內(nèi)、外滾道接觸角不同，考慮載荷和離心力聯(lián)合作用時(shí)滾道曲率中心點(diǎn)改變。受沿軸向預(yù)緊力作用軸承滾動(dòng)體受力均勻，假定外滾道曲率中心O空間位置固定不變，由外滾道控制理論可知內(nèi)滾道曲率中心固定位置發(fā)生移動(dòng)，由于滾動(dòng)體內(nèi)外接觸角發(fā)生變化，因此滾動(dòng)體中心位置也隨之移動(dòng)。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)僅受軸向預(yù)緊力作用時(shí)，軸承內(nèi)外圈間會(huì)產(chǎn)生軸向位移δa，如圖2所示，滾動(dòng)體在任意位置處僅產(chǎn)生軸向位移，內(nèi)、外溝道中心軌跡間距離為：

圖2 載荷作用前后滾動(dòng)體位置示意圖

在圖2中利用勾股定理可以得：

式中：δij為滾動(dòng)體與內(nèi)滾道接觸區(qū)法向變形；δoj為滾動(dòng)體與外滾道接觸區(qū)法向變形；ri為內(nèi)滾道曲率半徑；ro為外滾道曲率半徑。

針對圖1（c）列平衡方程：

為了方便求解未知變量，可建立沿軸向的軸承系統(tǒng)平衡方程：

式中：Z為軸承滾體總個(gè)數(shù)。

得到以上方程后，當(dāng)已知軸承軸向預(yù)緊力Fa和滾動(dòng)體離心力Fc后，聯(lián)立方程（7）～（10），采用數(shù)值迭代方法求解變量αi,αo,δi,δo,δa的數(shù)值解，最終可以獲得任意狀態(tài)下軸向預(yù)緊力與速度的匹配關(guān)系。

2 球軸承疲勞壽命分析

倫德伯格帕爾姆格（Lundberg-Palmgren）理論認(rèn)為軸承軸向預(yù)緊Fa直接影響滾動(dòng)軸承內(nèi)部載荷Qo(i)，引起接觸摩擦特性變化，盡而改變軸承疲勞壽命[9]。本節(jié)在不改變設(shè)計(jì)參數(shù)的前提下根據(jù)用戶對軸承壽命的要求，通過優(yōu)化軸承軸向預(yù)緊力提高電主軸動(dòng)態(tài)性能。結(jié) 合Weibull 假 設(shè)[11]，認(rèn)為材料都是從接觸點(diǎn)內(nèi)部開始退化，如圖3 所示W(wǎng)eibull給出描述該過程的基本方程：

圖3 Lundberg-Palmgren 理論

式中：S為應(yīng)力作用體積的幸存概率；N為應(yīng)力循環(huán)次數(shù)；τ為最大正交切應(yīng)力；V為應(yīng)力作用材料體積；zo為最大應(yīng)力出現(xiàn)的深度。

倫德伯格帕爾姆格理論實(shí)際應(yīng)用過程中，并未考慮軸承溫度對材料、潤滑及表面切應(yīng)力的影響。實(shí)際應(yīng)用時(shí)往往采用非標(biāo)準(zhǔn)的方法來預(yù)估軸承實(shí)際壽命，為了增加評估的準(zhǔn)確性需考慮可靠性增加、非標(biāo)準(zhǔn)材料、潤滑和污染等因素影響，最后將諸多因素串聯(lián)考慮確定軸承系統(tǒng)實(shí)際疲勞壽命，計(jì)算方法為[12]：

式中：a1為可靠度-壽命修正系數(shù)；a2為材料壽命-修正系數(shù)；a3為潤滑-壽命修正系數(shù)；a4為污染-壽命修正系數(shù)；Lna為可靠度為n%時(shí)軸承疲勞壽命/（× 106轉(zhuǎn)）；ε為旋轉(zhuǎn)滾道指數(shù)。

基本動(dòng)載荷Qc和載荷Q通過軸承動(dòng)態(tài)載荷計(jì)算公式如下：

對于滾動(dòng)體與外圈接觸時(shí)基本動(dòng)載荷Qc由與外圈相關(guān)參數(shù)計(jì)算（r為外圈滾道半徑，α為滾動(dòng)體與外圈的接觸角），載荷Q為滾動(dòng)體與外圈的接觸載荷。對于滾動(dòng)體與內(nèi)圈接觸時(shí)基本動(dòng)載荷Qc由與內(nèi)圈相關(guān)參數(shù)計(jì)算（r為內(nèi)圈滾道半徑，α為滾動(dòng)體與內(nèi)圈的接觸角），載荷Q為滾動(dòng)體與內(nèi)圈的接觸載荷。整個(gè)球軸承壽命的計(jì)算公式如下，應(yīng)用時(shí)Qci、Qi分別代表內(nèi)圈基本動(dòng)載荷和等效載荷，Qco、Qo分別代表外圈基本動(dòng)載荷和等效載荷。

式中：Lna代表運(yùn)行可靠度在n%條件下，軸承運(yùn)行轉(zhuǎn)速（×106轉(zhuǎn)）。

3 雙尺度調(diào)控的軸承預(yù)緊力優(yōu)化

3.1 變可靠度的軸承軸向預(yù)緊力上限優(yōu)化

實(shí)際應(yīng)用時(shí)軸承疲勞壽命受多種因素復(fù)合作用，應(yīng)考慮多因素使評估結(jié)果更符合實(shí)際狀態(tài)。通過考慮軸承整體可靠性、潤滑條件、非標(biāo)準(zhǔn)材料和污染等因素，綜合評估軸承整體疲勞壽命。式（12）中給出了考慮多因素條件的軸承整體疲勞壽命計(jì)算方法。為了準(zhǔn)備評估軸承預(yù)緊變化，本節(jié)提出通過實(shí)時(shí)改變可靠度壽命修正系數(shù)的方法，實(shí)現(xiàn)變工況條件下軸承軸向預(yù)緊評估。

軸承服役壽命直接關(guān)系到電主軸整機(jī)綜合性能，軸承運(yùn)行狀態(tài)受潤滑、材料等諸多因素影響?？紤]到實(shí)際情況，引入式（12）綜合評估軸承疲勞壽命，同時(shí)考慮可靠度壽命修正系數(shù)，材料壽命修正系數(shù)，潤滑壽命修正系數(shù)和污染壽命修正系數(shù)對實(shí)際軸承疲勞壽命的影響程度。實(shí)際施加的軸向預(yù)緊力在保證疲勞壽命的同時(shí)最大程度提高系統(tǒng)綜合性能指標(biāo)。根據(jù)式（12）建立如式（14）的影響關(guān)系式，當(dāng)軸承轉(zhuǎn)速和設(shè)計(jì)疲勞壽命確定時(shí)，軸承軸向預(yù)緊力可表示為可靠度壽命修正系數(shù)的函數(shù)。

通過改變可靠度壽命修正系數(shù)a1，得到在設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)速和設(shè)計(jì)疲勞壽命條件下的軸向預(yù)緊力優(yōu)化值。

3.2 考慮接觸區(qū)運(yùn)動(dòng)特性的軸承預(yù)緊下限優(yōu)化

當(dāng)軸向預(yù)緊力作用于軸承時(shí)能夠避免滾動(dòng)體與滾道發(fā)生相對滑動(dòng)運(yùn)動(dòng)，引起溫度升高[13]。造成溫度升高的最直接原因就是滾動(dòng)體與滾道間的滑動(dòng)摩擦現(xiàn)象。如果作用于滾動(dòng)體的滑動(dòng)摩擦力矩大于作用在滾動(dòng)體的陀螺力矩Mg，將有效改善滾動(dòng)體的滑動(dòng)摩擦現(xiàn)象。根據(jù)滾動(dòng)體與滾道間作用載荷Qi和Qo，給出最小預(yù)緊Famin需使下式成立：

式中：μ為滑動(dòng)摩擦因數(shù)，對于球軸承一般取值范圍為0.0012～0.0020。

3.3 雙尺度調(diào)控對軸承軸向預(yù)緊力上限優(yōu)化策略

電主軸在隨機(jī)變速運(yùn)行過程中，軸承軸向預(yù)緊力與運(yùn)行速度的共融影響引起軸承動(dòng)態(tài)疲勞壽命動(dòng)態(tài)變化，二者的動(dòng)態(tài)匹配過程是軸承實(shí)際運(yùn)行壽命提升技術(shù)的關(guān)鍵，通過分析發(fā)現(xiàn)影響軸承疲勞壽命的重要因素為軸向預(yù)緊力，且與軸承可靠性密切相關(guān)，為提高軸向預(yù)緊力動(dòng)態(tài)優(yōu)化方法的適應(yīng)性，本節(jié)采用雙尺度調(diào)控的思路實(shí)現(xiàn)軸向預(yù)緊力動(dòng)態(tài)評估，基本過程如圖4所示，通過調(diào)整可靠性尺度a1可以改變軸向預(yù)緊力的調(diào)控間距，提高軸向預(yù)緊力調(diào)控頻率，盡而改善軸承對復(fù)合工況的適應(yīng)性，調(diào)控壽命因子Lna可以動(dòng)態(tài)調(diào)控軸承使用壽命。本文通過可靠性因子和壽命的協(xié)同調(diào)控，從軸向預(yù)緊力調(diào)控頻率和軸承使用壽命2個(gè)方面提升動(dòng)態(tài)變速運(yùn)行過程軸承綜合運(yùn)行性能。

圖4 軸向預(yù)緊力Fa雙尺度調(diào)控策略（可靠性尺度）

4 案例分析

本文選用型號為B7007C，采用油氣潤滑的角接觸軸承為研究對象，利用本文提出的雙尺度軸承軸向預(yù)緊力優(yōu)化方法。分析不同工況的電主軸軸承軸向預(yù)緊力動(dòng)態(tài)分析方法。角接觸軸承的具體參數(shù)如下：rb＝3.25 mm，dm=24.255 mm，α°=15 °，Z=17和ro=3.510 mm，ri=3.705 mm。

明確軸承參數(shù)和設(shè)計(jì)壽命后，可以得到如圖5 所示的軸承最大疲勞壽命曲線。圖中可以看出，恒定疲勞壽命條件下失效率恒定不變時(shí)預(yù)緊曲線隨轉(zhuǎn)速升高逐漸減小。相同疲勞壽命條件下失效率提高預(yù)緊曲線整體增加。以B7007C角接觸軸承為研究對象，給出設(shè)計(jì)使用壽命分別在2000 h和5000 h條件下軸承預(yù)緊曲線變化規(guī)律。以軸承設(shè)計(jì)最大預(yù)緊為初始預(yù)緊時(shí)，疲勞壽命5000 h，失效率10%條件下，軸承低于6000 r/min 運(yùn)行時(shí)以最大軸向預(yù)緊工作。疲勞壽命2000 h，失效率10%條件下，軸承最大轉(zhuǎn)速可升至13000 r/min。若軸承工作轉(zhuǎn)速范圍小于最高轉(zhuǎn)速，可以施加大軸向預(yù)緊力保證軸承具備較強(qiáng)的抑制振動(dòng)能力和較高剛度。當(dāng)轉(zhuǎn)速繼續(xù)提高時(shí)，軸承預(yù)緊曲線會(huì)繼續(xù)減小，實(shí)際中這種情況是不可能的。因軸承滾珠會(huì)隨著轉(zhuǎn)速提高發(fā)生自旋運(yùn)動(dòng)，促使軸承滾珠與滾動(dòng)體間產(chǎn)生劇烈摩擦，導(dǎo)致溫度升高軸承部件破壞，為此以軸承不發(fā)生滑動(dòng)為確定最小預(yù)緊的邊界條件確定軸承軸向最小預(yù)緊力。

圖5 不同尺度條件下軸承理論最大軸向預(yù)緊力

根據(jù)式（15）確定軸承軸向預(yù)緊隨轉(zhuǎn)速變化，圖6 所示為最小預(yù)緊隨滾珠與滾道間摩擦因數(shù)變化狀態(tài)。

圖6 軸承最小軸向預(yù)緊力

為提高軸向預(yù)緊力隨著轉(zhuǎn)速變化的調(diào)控特性，結(jié)合圖5～6可以在不同速度區(qū)間實(shí)施軸向預(yù)緊力動(dòng)態(tài)優(yōu)化控制。如圖7所示，按照低速較大預(yù)緊力和高速較小預(yù)緊力的軸向預(yù)緊力施加原則，圖7（a）～（b）可以看出通過改變失效率就可以調(diào)控預(yù)緊力的調(diào)控界限，圖7（a）在轉(zhuǎn)速為7500 r/min 時(shí)就要減小軸向預(yù)緊力，圖7（b）則要到14000 r/min 才需要減小軸向預(yù)緊力。同理，圖7（c）～（d）中當(dāng)設(shè)計(jì)疲勞壽命提高時(shí)，圖7（c）從一開始就需要降低軸向預(yù)緊力，而圖7（d）在550 r/min 時(shí)就需要開始降低軸向預(yù)緊力。綜合圖7 可發(fā)現(xiàn)通過調(diào)整可靠性指標(biāo)和疲勞壽命能夠?qū)崿F(xiàn)軸向預(yù)緊力與速度匹配時(shí)，使軸承具有穩(wěn)定的運(yùn)行性能。在圖7中I區(qū)域?yàn)檩S承運(yùn)行時(shí)開始需要調(diào)控預(yù)緊力的區(qū)域，當(dāng)軸承在I I區(qū)域運(yùn)行時(shí)，本文方法具有一定的局限性。

圖7 軸向預(yù)緊力與轉(zhuǎn)速的協(xié)同控制過程

5 結(jié)束語

本文為明確速度激勵(lì)的軸承軸向預(yù)預(yù)緊力自適應(yīng)優(yōu)化綜合策略。建模分析不同運(yùn)行狀態(tài)下軸承軸向預(yù)緊力對軸承動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律，采用滾道控制理論構(gòu)建預(yù)緊力動(dòng)態(tài)控制模型研究軸承預(yù)緊力動(dòng)態(tài)匹配方法，采用雙尺度調(diào)控方法研究基于疲勞壽命動(dòng)態(tài)控制的軸承預(yù)緊力主動(dòng)優(yōu)化方法，實(shí)現(xiàn)電主軸服役性能自適應(yīng)優(yōu)化控制，得到以下結(jié)論。

（1）為了明確轉(zhuǎn)速、預(yù)載荷共融作用對軸承界面作用力的影響關(guān)系，通過構(gòu)建角接觸軸承動(dòng)力學(xué)模型分析軸承動(dòng)態(tài)運(yùn)行過程中速度與軸向預(yù)載荷的動(dòng)態(tài)匹配關(guān)系，提出采用控制軸向預(yù)載荷的方法實(shí)現(xiàn)軸承動(dòng)力學(xué)特性動(dòng)態(tài)控制。

（2）本文通過軸承疲勞壽命尺度和可靠度尺度綜合調(diào)控，研究軸承軸向預(yù)緊力與疲勞壽命的定量控制規(guī)律。為提高軸承自適應(yīng)剛度和抑制振動(dòng)能力，可動(dòng)態(tài)調(diào)整可靠性影響因子改變預(yù)緊力，實(shí)現(xiàn)運(yùn)行激勵(lì)條件下軸承軸向預(yù)載荷動(dòng)態(tài)定量控制。

（3）雙尺度軸向預(yù)載荷調(diào)控方法優(yōu)先確保軸承壽命，通過調(diào)整可靠性指標(biāo)滿足不同加工狀態(tài)的需求，盡而擴(kuò)展電主軸軸承適用性，提升功能復(fù)合電主軸綜合加工能力。