張 淬，郭迎清，黃典貴

（1.黃岡師范學(xué)院機(jī)電與汽車學(xué)院，湖北 黃岡438000；2.西北工業(yè)大學(xué)動力與能源學(xué)院 陜西 西安710072；3.上海理工大學(xué)能源與動力工程學(xué)院 上海200093）

1 引言

變風(fēng)量空調(diào)相對于傳統(tǒng)的定風(fēng)量空調(diào)來說具備低能高效的優(yōu)勢而得到了廣泛的應(yīng)用[1]。對于空調(diào)來說，節(jié)能始終是最受關(guān)注的一個問題，對于空調(diào)所在的環(huán)境來說，溫度與濕度干擾是不可避免的。為跟蹤給定信號，空調(diào)控制系統(tǒng)若在干擾條件下反應(yīng)劇烈，將會導(dǎo)致較大的能耗損失，而且控制性能也會受到較大影響[2]。

迭代學(xué)習(xí)控制算法由于其被控對象模型精度要求較低而被學(xué)者廣泛應(yīng)用于軌跡跟蹤控制[3]。近幾年，迭代學(xué)習(xí)控制與其他理論相結(jié)合產(chǎn)生了許多的新型迭代學(xué)習(xí)控制方法比如PID迭代學(xué)習(xí)控制，自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制以及模型參考迭代學(xué)習(xí)控制等[4-5]。但是迭代學(xué)習(xí)控制的應(yīng)用必須滿足一個嚴(yán)格的重復(fù)性條件，但是在實際的變風(fēng)量空調(diào)運(yùn)行中，遇到的干擾基本上都是隨機(jī)干擾，因此傳統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制無法實現(xiàn)隨機(jī)干擾條件下的空調(diào)溫濕度跟蹤控制。

傳統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)預(yù)測控制通過求解穩(wěn)定條件確定迭代學(xué)習(xí)速率以及預(yù)測步長，但是此種方法使得該種控制器具備一定的保守性[6]。針對變風(fēng)量空調(diào)的跟蹤控制以及能耗節(jié)約，提出了一種二維框架理論的模糊迭代學(xué)習(xí)預(yù)測控制。首先利用二維跟蹤框架對變風(fēng)量空調(diào)模型進(jìn)行相應(yīng)處理從而得到相應(yīng)的二維模型，另外，為了降低傳統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)預(yù)測控制的保守性，利用模糊理論對學(xué)習(xí)速率與預(yù)測步長進(jìn)行在線自適應(yīng)調(diào)整，使得該控制器在保證跟蹤精度的條件下，提升響應(yīng)速度以及干擾魯棒性，降低了擾動條件下的能耗損失。

2 變風(fēng)量空調(diào)建模

嚴(yán)格來說變風(fēng)量空調(diào)系統(tǒng)是一種典型的非線性系統(tǒng)，為便于控制器設(shè)計，本文根據(jù)其工作原理進(jìn)行線性化建模，該系統(tǒng)主要由兩部分組成，第一部分是空調(diào)所在空間模型，根據(jù)文獻(xiàn)[7]可知所在空間溫濕度模型分別為：

式中：tn—房間溫度，ts—送風(fēng)溫度，T1r—所在空間溫度的時間常數(shù)，K1r—空間溫度的放大系數(shù)。所在空間的濕度模型為：dn—空間濕度，ds—送風(fēng)濕度，T2r—空間濕度的時間常數(shù)。

第二部分是空調(diào)表冷器模型，表冷器的作用主要是，利用盤管內(nèi)的冷凍水降低盤管表面流過的空氣的濕度和溫度。

其相應(yīng)溫度與濕度模型為：

式中：T1h,T1c,T2c—各自模型的時間長數(shù)，K1h,K1c,K2c—各自模型的放大系數(shù)。

當(dāng)送風(fēng)與室內(nèi)空氣混合時只能改變室內(nèi)空氣的溫度，不會改變室內(nèi)空氣的含濕量。

所以該變風(fēng)量空調(diào)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

3 二維框架理論

變風(fēng)量空調(diào)在相同季節(jié)每天基本上均進(jìn)行著重復(fù)工作，此種工作特點與間歇過程的特點十分相似，均是在有限的運(yùn)性時間內(nèi)不斷的重復(fù)相同的工作。所以，我們將變風(fēng)量空調(diào)的控制作為一個間歇過程，另外還將變風(fēng)量空調(diào)的溫濕度控制問題轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的間歇過程軌跡跟蹤問題。假設(shè)變風(fēng)量空調(diào)系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間方程如下：

式中：k—運(yùn)行批次，t—運(yùn)行時刻，且滿足t∈[1,N]，N代表間歇過程一個批次的采樣次數(shù)，x∈Rn—狀態(tài)變量，u∈Rn—控制量，d∈Rn—干擾輸入，A,B,C—系統(tǒng)矩陣。

根據(jù)間歇過程的特點：不斷地在固定有限時間上重復(fù)某一確定工作，則可將間歇過程看成有時間軸和批次軸組成的二維系統(tǒng)，從而便于對間歇過程軌跡跟蹤問題的研究。存在如下二維狀態(tài)變量模型：

進(jìn)一步將軌跡跟蹤問題轉(zhuǎn)換為：尋找Δu(t-1,k)，使得e(t,k+1)滿足收斂條件。

為便于說明二維框架理論，假設(shè)存在一個二維狀態(tài)空間模型：

其中：T(i,j)=[R(i,j)S(i,j)]T，

其中大小關(guān)系的定義為當(dāng)h≤i且k≤j時，(h,k)≤(i,j)，當(dāng)且僅當(dāng)h=i且k=j時，(h,k)=(i,j)。

引理1[8]：設(shè)R(i,0)和S(i,0)為相應(yīng)的初始值，若在(i,j)滿足(i,j)≠(0,0)的條件下有u(i,j)=0成立，那么可得T(i,j)=Wi,jT(0,0)。

利用上述分析對二維系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)進(jìn)行求解：對于任意的(h,k)＜(i,j)，

若滿足單獨輸入u(h,k)≠0且R(i,0)與S(i,0)均等于0，

那么存在如下關(guān)系式：

根據(jù)線性系統(tǒng)理論可知狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣與(i,j)無關(guān)，所以T(h,k)對T(i,j)的影響可以等價于Wi-h,j-kT(h,k)。

所以二維系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可以表示為：

進(jìn)一步求解二維系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，若R(0,k)不等于0，而S(h,0)等于0，此時系統(tǒng)輸入為0，

故存在如下關(guān)系式：

此時零輸入響應(yīng)為：

同理，若R(0,k)為0，而S(h,0)不等于0，此時系統(tǒng)輸入為0，故存在如下關(guān)系式：

此時零輸入響應(yīng)為：

綜合上述推理可知該二維系統(tǒng)的零輸出響應(yīng)為：

4 模糊迭代學(xué)習(xí)預(yù)測控制

4.1 迭代學(xué)習(xí)預(yù)測控制

引理2[9]：若系統(tǒng)的初始值保持不變，則二維模型滿足η(1,k)=0,?k＞0

針對二維系統(tǒng)，設(shè)計如下形式的迭代學(xué)習(xí)控制器：

式中：L—迭代學(xué)習(xí)速率。

將該種類型迭代學(xué)習(xí)控制的控制量作為二維系統(tǒng)的輸入量可得到式（19）：

根據(jù)引理2可知式（20）等價于：

在滿足假設(shè)的情況下針對公式（18）所示的控制器，迭代學(xué)習(xí)控制收斂的充分條件為是W0,1能夠保證漸近穩(wěn)定，該條件等價于矩陣I-CBL的特征值包含在單位圓里面[10]。

若上述充分條件成立，則只需尋找到合適矩陣L就等同于完成迭代學(xué)習(xí)控制器的設(shè)計。

已知存在如下結(jié)論：針對線性時不變系統(tǒng)來說，能夠通過壓縮映射方法對P型迭代學(xué)習(xí)控制的收斂性進(jìn)行分析，相當(dāng)于在系統(tǒng)滿足全局Lipschitz條件和初始條件相同的情況下，若，所以該迭代學(xué)習(xí)控制算法單調(diào)收斂。

根據(jù)上述結(jié)論，本文結(jié)合二維框架理論，提出一種針對隨機(jī)擾動的迭代學(xué)習(xí)預(yù)測控制方法，其表達(dá)式為：

式中：Δ(t-1,k+1)—批次間的控制量，

(t-1,k+1)—批次內(nèi)的控制量，該批次內(nèi)控制量主要是為了使得系統(tǒng)在運(yùn)行過程中對隨機(jī)性、非重復(fù)性干擾具有魯棒性。

批次間通過P型迭代學(xué)習(xí)控制律進(jìn)行控制可得相應(yīng)的控制量表達(dá)式為：

式中迭代學(xué)習(xí)速率L可以通過迭代學(xué)習(xí)控制的收斂條件求得。

根據(jù)二維框架理論可知在迭代預(yù)測控制算法的作用下，二維系統(tǒng)的響應(yīng)為：

利用式（25）得到相應(yīng)的預(yù)測模型為：

式中：l∈[1,m]，m代表的是預(yù)測步長。

φ(t+l,k)預(yù)測初始值能夠通過之前時刻的狀態(tài)求得：

定義矩陣：

則公式（28）等價于：

其中的α,β,γ均為相應(yīng)權(quán)重系數(shù)，且滿足均不小于0的條件。進(jìn)一步將該目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式（30）轉(zhuǎn)換為矩陣形式：

利用無約束條件下的優(yōu)化理論進(jìn)行求解可得相應(yīng)的解的表達(dá)式為：

根據(jù)預(yù)測控制理論可知在控制系統(tǒng)運(yùn)行過程中，是將當(dāng)前時刻的控制輸入作用于被控對象，所以某一時刻的控制量為：

4.2 模糊調(diào)整策略

迭代學(xué)習(xí)預(yù)測控制的控制效果很大程度上依賴于學(xué)習(xí)速率與預(yù)測步長的大小。為達(dá)到較好的控制效果，學(xué)習(xí)速率與預(yù)測步長應(yīng)該隨狀態(tài)的變化而自適應(yīng)的調(diào)整。

因此，考慮到模糊理論較強(qiáng)的自適應(yīng)調(diào)整能力[11]，提出了一種基于模糊規(guī)則的變學(xué)習(xí)速率與預(yù)測步長的迭代學(xué)習(xí)預(yù)測控制器。

模糊控制器的輸入量為控制響應(yīng)與給定信號的誤差e(k)和及其變化量Δe(k)，其中Δe(k)=e(k+1)-e(k)，這兩個輸入量能夠反映此時預(yù)測控制的準(zhǔn)確性以及魯棒性。

當(dāng)預(yù)測誤差以及誤差變化率較大時，選擇較小的預(yù)測步長以及較大的學(xué)習(xí)速率從而提高預(yù)測控制精度，當(dāng)誤差較小時，選擇較大預(yù)測步長以及較小的學(xué)習(xí)速率提升魯棒性以及響應(yīng)速度，輸出量為學(xué)習(xí)速率l以及預(yù)測步長m，模糊輸入量與輸出量語言的模糊集分別為：{PB,PM,PS,ZR,NS,NM,NB},{B,MB,M,MS,S},分別進(jìn)行歸一化處理，得到輸入量與輸出量的論域子集為：

式中：學(xué)習(xí)速率l的取值必須從穩(wěn)定范圍內(nèi)選擇。

控制器輸入和輸出的隸屬函數(shù)曲線，如圖1和圖2所示。

圖1 輸入隸屬度函數(shù)Fig.1 Input Membership Function

圖2 輸出輸出隸屬度函數(shù)Fig.2 Output Membership Function

模糊控制規(guī)則，如表1所示。

表1 模糊規(guī)則表Tab.1 Fuzzy Rules Table

5 仿真驗證

已知變風(fēng)量空調(diào)的模型如式（6）所示，從該模型中可以發(fā)現(xiàn)濕度控制是一個單獨的控制回路，為了便于驗證，將式（6）所示的變風(fēng)量濕度控制傳遞函數(shù)模型為研究對象：

定義采樣周期為T=0.5，將連續(xù)傳遞函數(shù)（36）離散化得到離散狀態(tài)空間模型為：

利用MATLAB進(jìn)行仿真，仿真驗證主要通過迭代次數(shù)均為10次的P型迭代學(xué)習(xí)控制控制、二維迭代學(xué)習(xí)預(yù)測控制以及二維模糊迭代學(xué)習(xí)預(yù)測控制三種控制算法進(jìn)行對比。

給定一個濕度值為0.8的定常信號，在無噪聲干擾條件下，分別通過上述三種控制方式進(jìn)行控制，響應(yīng)對比圖，如圖3所示。

圖3 無擾動跟蹤響應(yīng)圖Fig.3 Disturbance-Free Tracking Response Diagram

從圖3中可以看出，P型迭代學(xué)習(xí)控制的響應(yīng)速度最快，其調(diào)節(jié)時間僅為16.7s，而二維迭代學(xué)習(xí)預(yù)測控制與二維模糊迭代學(xué)習(xí)預(yù)測控制的調(diào)節(jié)時間分別為24.5s和21.1s，說明迭代學(xué)習(xí)控制響應(yīng)速度最快，但是模糊調(diào)整策略有助于提升迭代預(yù)測控制的響應(yīng)速度。且通過圖4所示的穩(wěn)態(tài)放大圖可知兩種迭代學(xué)習(xí)預(yù)測控制方法在穩(wěn)態(tài)時均有不同程度的振蕩，相較而言，模糊迭代學(xué)習(xí)預(yù)測控制的穩(wěn)態(tài)過程比較平穩(wěn)，與目標(biāo)濕度值也更為接近。這說明P型迭代學(xué)習(xí)控制在無干擾條件下的跟蹤控制響應(yīng)速度更快，穩(wěn)態(tài)性能更好。而迭代學(xué)習(xí)預(yù)測控制相較于迭代學(xué)習(xí)預(yù)測控制響應(yīng)速度較慢，穩(wěn)態(tài)誤差較大，主要原因是加入預(yù)測環(huán)節(jié)考慮了目標(biāo)特性與動態(tài)特性。雖然兩種迭代控制效果均不如P型迭代學(xué)習(xí)控制，但是依舊能夠保證一定的控制性能，模糊迭代學(xué)習(xí)預(yù)測控制的穩(wěn)態(tài)誤差小于固定學(xué)習(xí)速率與步長迭代學(xué)習(xí)預(yù)測控制，說明模糊調(diào)整策略能夠減小跟蹤穩(wěn)態(tài)誤差。進(jìn)一步在濕度值為0.8的定常信號條件下，給定一個周期性的擾動信號：，在該擾動信號條件下三個控制算法的控制響應(yīng)，如圖5所示，定義擺動量為響應(yīng)超過目標(biāo)值后的最大值減去最小值。在該種正弦周期性干擾下三種控制響應(yīng)的擺動量大小，如表2所示。

圖4 跟蹤響應(yīng)放大圖Fig.4 Tracking Response Magnification

圖5 周期擾動下的跟蹤響應(yīng)圖Fig.5 Tracking Response Diagram under Periodic Perturbation

表2 響應(yīng)最大擺動量對比表Tab.2 Contrast Ttable of Maximum Oscillation Response

從圖5和表2中可以得出，正弦干擾信號對P型迭代學(xué)習(xí)控制的影響最大，而相對來說，該周期性干擾對兩種迭代預(yù)測控制算法的影響較小，進(jìn)一步驗證了無論是固定參數(shù)還是模糊策略的迭代學(xué)習(xí)預(yù)測控制對于周期性擾動均具有較好的魯棒性。

考慮到實際空調(diào)運(yùn)行過程中的空氣流動具有混沌特性，為模擬該混沌擾動，在同樣目標(biāo)濕度值的條件下，給定一個隨機(jī)噪聲干擾，該噪聲干擾的濕度幅值振蕩為±0.5，該噪聲干擾圖，如圖6所示。

圖6 隨機(jī)擾動信號圖Fig.6 Random Disturbance Signal Graph

在此種條件下，三個控制器的響應(yīng)曲線與穩(wěn)態(tài)誤差對比放大圖如圖7與圖8所示，響應(yīng)的擺動量，如表3所示。從中明顯可以看出，P型迭代學(xué)習(xí)控制與二維迭代學(xué)習(xí)預(yù)測控制的響應(yīng)由于噪聲影響過大，較為明顯的偏離目標(biāo)濕度值，無法實現(xiàn)對目標(biāo)的跟蹤，說明P型迭代學(xué)習(xí)控制與傳統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)預(yù)測控制對隨機(jī)干擾的魯棒性能較差，無法保證較大隨機(jī)干擾條件下的跟蹤性能。而二維模糊迭代學(xué)習(xí)預(yù)測控制響應(yīng)依舊保持著較好的響應(yīng)速度，且在達(dá)到穩(wěn)態(tài)后的擺動量僅為P型迭代學(xué)習(xí)控制與二維迭代學(xué)習(xí)預(yù)測控制的11.35%和15.64%，響應(yīng)曲線也顯示了該控制響應(yīng)依舊能夠較好的跟蹤目標(biāo)濕度值。說明加入了預(yù)測控制之后，該控制器對隨機(jī)擾動具有較好的魯棒性，能夠在隨機(jī)噪聲影響下保證較好的跟蹤能力。

圖7 隨機(jī)擾動下的跟蹤響應(yīng)Fig.7 Tracking Response under Random Perturbation

圖8 穩(wěn)態(tài)誤差放大對比圖Fig.8 Steady-State Error Amplification Contrast Diagram

表3 響應(yīng)最大擺動量對比表Tab.3 Contrast Table of Maximum Oscillation Response

6 結(jié)語

針對變風(fēng)量空調(diào)系統(tǒng)設(shè)計了一種基于二維框架理論的模糊迭代學(xué)習(xí)預(yù)測控制器。首先建立了變風(fēng)量空調(diào)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，然后介紹了二維框架理論，進(jìn)一步利用該理論得到了迭代學(xué)習(xí)控制收斂的條件，最后得到了二維模糊迭代學(xué)習(xí)預(yù)測控制器的設(shè)計方法。經(jīng)過仿真對比得到如下結(jié)論：1、P型迭代學(xué)習(xí)控制相對于迭代學(xué)習(xí)預(yù)測控制，更適合無干擾條件下精確模型的跟蹤控制。2、二維迭代學(xué)習(xí)預(yù)測控制對于周期性干擾具備較好的魯棒性，但對隨機(jī)干擾的魯棒性較差，無法在隨即干擾的條件下實現(xiàn)較好的跟蹤。3、二維模糊迭代學(xué)習(xí)預(yù)測控制不僅能夠保證在無干擾或者周期性干擾條件下具備較好的跟蹤效果，而且對大隨機(jī)干擾具有較強(qiáng)的魯棒性，能夠保證在較強(qiáng)隨機(jī)干擾下的良好跟蹤能力。