馬思強，李雄風，許 衍

（中國電子科技集團公司第三十六研究所，浙江 嘉興 314033）

0 引言

空間譜估計是陣列信號處理的重要研究方向之一，它主要依托于空間多傳感器陣列構成的處理系統(tǒng)，完成對空間信號多種參數(shù)的準確估計，這些參數(shù)包括入射信號的方位角、俯仰角、信號源數(shù)等。正如時域頻譜表示信號在各個頻率上的能量分布那樣，空間角譜（空間譜）表示信號在空間各個方向上的能量分布，它和信號的到達方向（DOA）直接相關，故最常用于DOA估計，也就是測向。空間譜估計技術具有突破物理孔徑限制的超分辨特性，能夠大大改善空間信號的角度估計精度、角度分辨力及其它相關參數(shù)精度，因而在雷達、通信、聲吶等眾多領域有著極為廣闊的應用前景。

空間譜估計技術主要形成于20世紀60年代，其中最早的算法是常規(guī)波束形成（CBF）算法[1]，后來又發(fā)展出最大熵（MEM）算法[2]和最小方差（MVM）算法[3]等。從20世紀70年代末開始，空間譜估計的相關研究開始涌現(xiàn)出大量的優(yōu)秀成果，其中以1979年Schmidt等人提出的多重信號分類（MUSIC）算法[4]最為突出。該算法實現(xiàn)了傳統(tǒng)測向技術到現(xiàn)代超分辨測向技術的飛躍，同時也促進了子空間分解類算法[5?10]的興起。

本文主要研究以MUSIC算法為代表的空間譜估計測向方法在通信偵察測向領域的應用。

1 空間譜估計基本原理

1.1 基本假設

空間譜估計系統(tǒng)主要由3個部分組成：其一是空間入射信號，它由信號源向外輻射形成；其二是空間接收陣列，它由天線陣列與接收通道組成；其三是信號處理單元，它負責對各路信號進行綜合處理。每個組成部分對應一個空間：空間入射信號對應目標空間，空間接收陣列對應觀察空間，信號處理單元對應估計空間。空間譜估計問題，實際上就是用估計空間重構目標空間的問題。為了將物理問題抽象成數(shù)學模型，通常需要采取一定的合理假設與近似來簡化問題。下面以三個空間為線索，簡要說明空間譜估計模型的基本假設。

1）目標空間：由入射信號與復雜環(huán)境共同組成的空間。通常假設入射信號是窄帶遠場信號，并且信號源數(shù)小于接收陣列的陣元數(shù)。通常把復雜的環(huán)境因素統(tǒng)一假設成一零均值的高斯白噪聲，并且認為噪聲與信號之間相互獨立。

2）觀察空間：由在空間中按一定方式排列的天線陣元及其接收通道組成的空間。盡管陣元與通道并不需要一一對應，但通常默認一個陣元對應一個通道。通常假設陣列中各陣元是各項同性的且不存在互耦、通道不一致等因素的干擾，并且認為各陣元間的噪聲相互獨立。

3）估計空間：進行空間譜估計（包括陣列信號處理過程，如陣列校正、空域濾波等）的空間。主要從復雜的觀察數(shù)據(jù)中解算出入射信號的各種特征參數(shù)。

1.2 理想數(shù)學模型

在以上假設下，考慮N個信號入射到空間某天線陣列上，陣列共有M（M＞N）個陣元，且每個陣元經(jīng)自己的傳輸信道將信號傳入處理單元。入射信號可用復振幅表示為：

式中，n=1,2,…,N，sn（t）和sn（t?τ）分別表示參考陣元和接收陣元處的入射信號復振幅，un（·）是入射信號的幅度，φn（·）是入射信號的初始相位，ωn是入射信號的角頻率，τ是信號到達接收陣元與參考陣元的相對時延。在窄帶遠場近似下，接收陣元處的入射信號可以簡化為：

每個接收陣元均能接收所有入射信號，因此任一接收陣元處的信號總幅度可以表示為所有入射信號幅度的線性疊加。假設陣列中各陣元是各項同性的且不存在互耦、通道不一致等因素的干擾，故每個陣元的增益系數(shù)相同（因而可以省略），因此各陣元接收到的信號總幅度可表示為：

式中，m=1,2,…,M，x m（·）是陣元接收到的信號總幅度，nm（·）是陣元接收通道的總噪聲。寫成矩陣形式為：

式中，X為快拍數(shù)據(jù)矢量，它表示某一時刻（一個快拍）進入信號處理單元的數(shù)據(jù)總量；S為空間信號矢量，它表示空間中的各個入射信號；N為噪聲數(shù)據(jù)矢量，它表示各個接收通道的噪聲；A為陣列流型或方向矩陣，它與信號的入射方向有關，并可分解為如下導向矢量：

入射信號的空間參數(shù)信息主要蘊含在陣列流型A的時延參數(shù)中。以參考陣元為原點，空間任意接收陣元與參考陣元之間的時延表達式為：

式中，（x,y,z）是接收陣元的坐標，θ和α分別是入射信號的方位角和俯仰角，c是光速。本文考慮接收陣列是均勻線陣，并以第一個陣元為參考陣元，則第n個信號到達第m個陣元時相對于參考陣元的時延為：

式中，d為相鄰陣元的基線長度。不難發(fā)現(xiàn)，一維情形下的時延參數(shù)不包含入射信號的俯仰角信息，這相當于假定所有入射信號與接收陣列共面。遠場條件下的入射信號都可看成均勻平面波，因此這種假定是對模型的合理簡化。

1.3 模型的二階統(tǒng)計特性

在上面的陣列信號接收模型中，已知信息全部來自快拍數(shù)據(jù)矢量。而空間譜估計的主要目的是提取陣列流型中的入射信號方位信息，常用方法是從模型的二階統(tǒng)計特性入手來實現(xiàn)這一目的。為此，首先求快拍數(shù)據(jù)矢量的協(xié)方差矩陣：

式中，R S是信號協(xié)方差矩陣，R N是噪聲協(xié)方差矩陣。在理想白噪聲近似（噪聲分布服從零均值的標準正態(tài)分布）下，可改寫為：

式中，I是M×M維單位矩陣，σ2是噪聲功率（方差）。

在信號源數(shù)小于接收陣列陣元數(shù)的前提下，陣列流型的各導向矢量之間線性獨立。此時對協(xié)方差矩陣進行特征分解，可得：

式中，U是M×M維特征矢量空間，U S是M×N維信號子空間，U N是M×（M?N）維噪聲子空間。與它們對應的特征值對角矩陣分別為：Σ=diag（λ1,λ2,…,λM），ΣS=diag（λ1,λ2,…,λN），ΣN=diag(λN+1,λN+2,…,λM)。λ和e分別是特征值和相應的特征矢量，且有：

2 多重信號分類（MUSIC）算法

如果接收陣元總共接收了L個時刻的快拍數(shù)據(jù)矢量，那么根據(jù)這L組快拍數(shù)據(jù)，可以得到協(xié)方差矩陣的最大似然估計為：

對其進行特征分解，得到：

在理想條件下，信號子空間與噪聲子空間相互正交，此時有：

在實際情況下，接收數(shù)據(jù)矩陣是有限長的，只能用式（13）和式（14）估計協(xié)方差矩陣及其對應的信號子空間、噪聲子空間，這導致式（16）并不完全成立，但其仍應取得極小值，因此，真實的信號入射方位角應是使式（16）取得極小值的θ值：

式（17）便是MUSIC算法的基本公式，它通過構造一個目標函數(shù)并搜索其最小值來尋找對應的信號入射方位角。通常通過取倒數(shù)的形式將最小值問題轉化成最大值問題，于是目標函數(shù)被轉化為：

式（18）被稱為MUSIC算法的譜估計公式，其函數(shù)圖像即為MUCIS空間譜，對θ進行遍歷，則在MUSIC空間譜中出現(xiàn)的每一個譜峰對應的θ值均代表一個真實信號的入射方位角。

要獲得準確的MUSIC空間譜，必須知道信號源數(shù)。但在實際場景中，信號源數(shù)一般是未知的，甚至是變化的。因此，信號源數(shù)的估計是一個關鍵問題。實際中快拍數(shù)據(jù)矢量的協(xié)方差矩陣來源于最大似然估計，它并不是準確的，這導致分解所得的信號子空間和噪聲子空間并不完全正交，同樣的，分解所得的特征值分布也不再完全遵循式（12）所給的規(guī)律。因此，很難從特征值分布中準確地判斷信號源數(shù)，只能根據(jù)一定的準則對信號源數(shù)進行估計。

常用的信號源數(shù)估計方法包括信息論方法[11?12]、平滑秩序列法[13]、蓋氏圓方法[14]、正則相關技術[15]等。本文通過信息論方法的MDL準則[12]估計信號源數(shù)。

3 仿真分析

仿真條件與空間譜估計理想數(shù)學模型的基本假設保持一致。即假定所有入射信號都是窄帶遠場信號，接收陣元是各項同性的且不存在互耦、通道不一致等因素的干擾，信號源數(shù)小于接收陣元數(shù)；噪聲與信號之間相互獨立，各陣元間的噪聲也相互獨立，且所有噪聲都表現(xiàn)為零均值的高斯白噪聲。此外，接收陣列為均勻線陣，即只考慮一維模型。

3.1 理想情形

在理想低噪聲環(huán)境下，假定噪聲強度遠低于信號強度，即信噪比（SNR）趨于極大值，那么噪聲基本可以忽略?，F(xiàn)設置接收陣列如下：陣元數(shù)M=11，基線長度d=0.1 m。另外，再設置3組模擬入射信號如下：1）信號源數(shù)N=2，信號入射方位角分別為?15°、15°；2）信號源數(shù)N=4，信號入射方位角分別為?45°、?15°、15°、45°；3）信號源數(shù)N=6，信號入射方位角分別為?75°、?45°、?15°、15°、45°、75°。所有信號波長均設為λ=0.3 m。模擬得到的MUSIC空間譜如圖1所示。由此可得，在上述仿真條件下，只要滿足信號源數(shù)小于接收陣元數(shù)，MUSIC算法可以同時測得每個入射信號的方位角，并且對不同角度的入射信號都具有很高的測向精度（≤0.005°=18″）。

圖1 理想MUSIC空間譜

MUSIC空間譜的測向分辨率主要取決于遍歷θ（?90°＜θ＜90°）時的最小間隔dθ，間隔越小，則分辨率越高。如圖2（a）—（d）所示，當dθ=0.018°時，入射方位角分別為15°和15.1°的2個信號能被分辨，而入射方位角分別為15°和15.02°的2個信號恰好不能被分辨；入射方位角分別為75°和75.1°的2個信號能被分辨，而入射方位角分別為75°和75.02°的2個信號恰好不能被分辨。這說明測向分辨率在數(shù)值上與dθ相當（略大于dθ），并且不受信號入射方位角的影響。如圖2（e）—（f）所示，當dθ=0.001 8°時，一個入射方位角為15°的信號不論與一個入射方位角為15.02°的信號組合還是與另一個入射方位角為15.01°的信號組合，都可被分辨。這證實了測向分辨率與dθ的正相關關系。

圖2 MUSIC空間譜的測向分辨率

以上分析似乎表明，只要dθ取得足夠小，MUSIC空間譜的測向分辨率就可以無限提高。但在實際情況下，遍歷θ將會引入巨大的運算量，dθ取得越小，消耗的處理資源就越多。因此，處理資源的限制使得測向分辨率不可能無限提高。

3.2 長基線情形

在第3組模擬入射信號的基礎上改變接收陣列的基線長度，以考察MUSIC算法是否受相位模糊的影響。除前面設置的基線長度d=0.1 m外，再另設置2個基線長度：1）d=0.15 m=λ/2；2）d=0.16 m＞λ/2。模擬得到的MUSIC空間譜如圖3所示。結合圖1（c），可以判斷，基線長度只有不大于入射信號波長的一半時，MUSIC空間譜才能正確反映入射信號的數(shù)量及各信號的入射方位角；基線長度大于半波長時，MUSIC空間譜的譜峰數(shù)量增多（并且容易驗證，基線越長則譜峰越多），從而導致虛警的出現(xiàn)。由此可見，MUSIC空間譜估計與干涉儀測向方法[16]一樣，存在相位模糊的問題，它們均要求基線長度小于入射信號的半波長。

圖3 MUSIC空間譜的相位模糊

3.3 異波長情形

盡管入射信號都是窄帶遠場信號，但是每一個入射信號的載波波長不一定相同。并且對于低截獲概率（LPI）的通信方式，例如跳頻通信[17]等，同一信號在不同時刻的載波頻率也是在頻率集內不斷變化的。由此可見，考察入射信號波長不一致的情況對通信信號測向來說是十分必要的。在第3組模擬入射信號的基礎上將其中某個入射方向的信號波長放大10%，使其波長變?yōu)?.33 m，并將對應的信號入射方位角設置為：75°、45°、15°。其它入射方向的信號波長保持不變。在計算MUSIC空間譜時，采用多波長的均方根值表示所有信號的中心波長λ0，并用λ0替換原本統(tǒng)一的λ去計算式（18），由此模擬得到的MUSIC空間譜如圖4所示。不難發(fā)現(xiàn)，只要入射信號中的一個波長發(fā)生改變，就會影響整個MUSIC空間譜的譜峰分布，且譜峰與真實入射方向的誤差（譜峰錯位）呈現(xiàn)出以下規(guī)律：1）信號的入射方位角（絕對值）越大，譜峰錯位受到波長不一致的影響越大，因此測向誤差也越大；2）在僅有一個入射信號波長改變時，波長改變的那個入射信號對應的譜峰往往錯位較為顯著，這可以通過對比入射方位角互為正負的一對入射信號的譜峰錯位情況得出。歸根到底，譜峰錯位來源于中心波長λ0與真實入射波長的不一致，兩者越接近，譜峰錯位越小。由此可以預見，當所有入射信號的波長都不同時，入射方位角越小且入射波長越靠近中心波長的信號測向誤差越小。

圖4 入射信號波長不一致時的MUSIC空間譜

MUSIC空間譜的計算僅使用了陣列流型A中的某一個導向矢量a n。在入射信號波長一致時，所有入射信號對應的導向矢量都相同，故MUSIC空間譜可以準確估計每一個信號的入射方位角；而在入射信號波長不一致時，每個入射信號都有自己對應的導向矢量，只能用中心波長去計算導向矢量以盡可能地近似每個入射信號對應的導向矢量，故MUSIC空間譜必然存在誤差。因此，MUSIC算法對入射信號波長的敏感性源自其算法本身，是原理性的固有誤差。為了探討MUSIC空間譜估計能允許的最大波長變動，在第3組模擬入射信號的基礎上加載不同的波長變化率到不同的入射信號，MUSIC空間譜的測向誤差統(tǒng)計如表1所示。對通信信號測向而言，一般可以容忍1°的測向誤差。因此在這種入射信號組合下，對15°入射的信號，能允許的波長變化率大約為8%；對45°入射的信號，能允許的波長變化率大約為2%；對75°入射的信號，能允許的波長變化率大約為0.5%。這樣的波長差異適應能力是比較弱的。例如，對工作在L頻段的Link 16數(shù)據(jù)鏈信號，其跳頻頻率集是位于960~121 5 MHz的51個頻點，然而即便是以15°入射時的8%的波長變化率也只能覆蓋90 MHz左右的頻差，更不用說以更大的角度入射了。

表1 MUSIC空間譜測向誤差與波長變化率關系表

當然，這種信號波長對測向誤差的影響的估計是比較粗糙的，該誤差產(chǎn)生的根本原因是信號波長與中心波長不匹配，因此入射信號的數(shù)量和所有信號的波長都對測向誤差有貢獻。

3.4 含噪聲情形

接收陣列陣元數(shù)與基線長度保持不變。采用第3組模擬入射信號的配置，即信號源數(shù)N=6，信號入射方位角分別為?75°、?45°、?15°、15°、45°、75°，且所有信號波長均設為λ=0.3 m。在有限的信噪比（SNR）下，空間譜估計的性能將受到影響。例如，在SNR=0 d B時，某次模擬計算得到的MUSIC空間譜如圖5所示。該空間譜譜線最大的缺陷在于譜峰缺失，模擬入射信號共有6個，均勻分布在?75°~75°區(qū)間內，而該譜線的譜峰只有5個，這相當于出現(xiàn)了漏警。另一方面，即便是已有的5個譜峰，相較于低噪聲情形，對應的入射方位角估計也出現(xiàn)了更大的誤差。如圖5右側的局部放大圖所示，以75°入射的信號的DOA估計誤差達到了約0.1°，相對于低噪聲情形的0.005°（見3.1節(jié)）擴大了20倍。

圖5 含噪聲情形的MUSIC空間譜

相比于測向精度的損失，漏警帶來的問題更大。一般情況下，MUSIC空間譜的譜峰數(shù)與估計的信號源數(shù)直接相等，而各種信號源數(shù)估計算法的性能都會隨著噪聲的增大而降低，這是有限信噪比下發(fā)生漏警的根本原因。但在某個固定的信噪比下，多次計算MUSIC空間譜得到的譜峰數(shù)可能發(fā)生浮動，即漏警并不是每次都會發(fā)生，具有一定的漏警概率。為了估計漏警概率，分別在SNR=20 dB、10 dB、0 dB時計算MUSIC空間譜各100次，統(tǒng)計各種譜峰數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)，結果如表2所示。隨著信噪比的下降，漏警概率明顯上升。在SNR=20 dB時，漏警概率約為5%；在SNR=10 d B時，漏警概率約為20%；而在SNR=0 d B時，噪聲功率達到信號功率同等水平，漏警概率達到50%左右，信號源數(shù)估計算法基本失效。除此之外，不同信噪比下出現(xiàn)的最小譜峰數(shù)也不同，它反映了漏警的嚴重程度，例如在SNR=0 d B時，有3%左右的概率出現(xiàn)3個譜峰的空間譜，即丟失的入射信號達到3個之多。

從表2來看，信噪比至少需達到20 d B才能將漏警概率控制在很低的水平，這是由于本文僅根據(jù)MDL準則編寫了十分粗糙的信號源數(shù)估計算法。采用更穩(wěn)健的信號源數(shù)估計算法，可以進一步減小所需的信噪比，甚至達到0 d B以下[18]。但無論如何改進算法，信號源數(shù)估計都不可能與噪聲無關。

表2 有限信噪比下MUSIC空間譜統(tǒng)計表

4 結束語

經(jīng)過仿真分析，MUSIC空間譜用于通信信號測向具有如下特點：理想的低噪聲環(huán)境下，只要入射信號數(shù)量小于接收陣元數(shù)，MUSIC空間譜的譜峰數(shù)量就代表入射信號數(shù)量，且譜峰出現(xiàn)的位置代表信號的入射方位角，此時的測向精度可以達到10″量級，測向分辨率則由譜峰搜索的最小間隔決定。如果接收陣元的基線長度超過入射信號的半波長，則MUSIC空間譜會因相位模糊而出現(xiàn)虛警，這一點與干涉儀測向相同。如果入射信號的頻率不一致或發(fā)生改變，則MUSIC空間譜的測向精度將大幅下降，且入射方位角越大，測向誤差也越大，這對跳頻通信信號等的測向不利。在有限的信噪比下，MUSIC空間譜會產(chǎn)生漏警，其根本原因是信號源數(shù)估計算法的正確率下降，另一方面，MUSIC空間譜的測向精度也會受噪聲影響而下降。由此可見，將MUSIC空間譜估計方法應于通信信號的測向時，為了更好地適應跳頻信號與噪聲環(huán)境等，必須在抑制該算法的波長敏感性與提高該算法在噪聲環(huán)境下的穩(wěn)健性等方面做出進一步的研究與改進?！?/p>