湯碧云，藍(lán)永藝

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門 361021)

0 引言

考慮如下Kirchhoff型方程的Dirichlet邊值問題

(1)

受文獻(xiàn)[11]的啟發(fā)，本文在一般的Kirchhoff 型方程中加入干擾項(xiàng)，形成問題(1),而且將一般的次臨界條件以及AR條件弱化為條件F1)和F2)，再結(jié)合Nehari流形，可以得到方程具有多重解。本文考慮一類非線性項(xiàng)f(x,u)具有更一般的增長性條件,假設(shè):

1預(yù)備知識

假設(shè)u≠0是I的一個(gè)臨界點(diǎn)，即I′(u)v=0,?v∈X,則u包含在以下集合

(2)

中，這個(gè)集合稱為Nehari流形。由文獻(xiàn)[9-10]知，在一定條件下，該流形微分同胚于X的單位球面。

考慮N的一個(gè)子集：

(3)

在條件F1)～F5)的假設(shè)下，給出了以下的幾個(gè)引理。

證明由F5)知,?A>0,?X,當(dāng)u>X時(shí)，有F(x,u)≥Au4,又因?yàn)镕(x,u)∈C(Ω),所以?B>0，使得F(x,u)>-B。綜上，?u∈R,?x∈Ω,F(x,u)≥Au4-B。

(4)

由

(5)

在式(5)中令k→∞,由Fatou引理及F(x,y)的弱連續(xù)性知,左邊結(jié)果為0,右邊結(jié)果為b/4,這是一個(gè)矛盾，所以{uk}有界。

2 定理1及其證明

證明定理1分兩步來證明。

第二步：I(u)在Bτ存在局部極小值，正好是邊值問題(1) 的解。