岳慶興

（自然資源部國土衛(wèi)星遙感應(yīng)用中心，北京 100048）

0 引言

靈活的成像方式是遙感衛(wèi)星先進性的重要標志，文獻[1]指出靈巧衛(wèi)星需要解決的核心技術(shù)主要包括衛(wèi)星的精密姿態(tài)控制、小像元尺寸和高積分級數(shù)TDICCD的研制，小相對孔徑光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計以及用于圖像增強的數(shù)字圖像處理技術(shù)等。靈巧成像依照實現(xiàn)難度可以分成不同的等級，如側(cè)擺成像是多數(shù)衛(wèi)星都具備的較低級別的“靈活”，而同軌多視角立體成像、單軌大區(qū)域多條帶成像、與星下點軌跡呈較大角度成像則是難度較大的“靈活”。我國的遙感衛(wèi)星影像與法國Pleiades、美國WorldView等衛(wèi)星影像相比較，存在影像“方向”的差異：Pleiades、WorldView衛(wèi)星影像往往接近“正南正北”，體現(xiàn)了成像角度的靈活性，而我國遙感衛(wèi)星影像一般是沿軌道傾斜的；另外，Pleiades和 WorldView衛(wèi)星均可實現(xiàn)單相機同軌多視角立體成像，而我國衛(wèi)星立體成像以同平臺多相機模式為主，少數(shù)衛(wèi)星雖具備單相機同軌立體成像模式，但其總體性能還有一定的差距。實現(xiàn)靈巧成像不僅是平臺姿態(tài)控制的問題，其難度還與搭載的相機類型有關(guān)：如框幅式相機兩次“成像”間的關(guān)聯(lián)性較少，姿態(tài)因素對影像清晰度的影響較小；而 TDICCD相機需要對“同一”地面目標多次“成像”并“累加”，需要對像移速度和方向進行嚴格控制，使得同一列的多級 CCD依次嚴格對準同一目標，否則會出現(xiàn)成像模糊。雖然已有研究人員對衛(wèi)星TDICCD相機成像進行了理論研究和仿真試驗，但大多局限于衛(wèi)星姿態(tài)控制或相機設(shè)計領(lǐng)域[2-6]，主要是TDICCD相機成像品質(zhì)的影響因素或TDI積分成像對像移的要求[7-14]，相關(guān)數(shù)學(xué)建模一般以衛(wèi)星動力學(xué)和運動學(xué)方程為基本出發(fā)點[15-17]。本文則以攝影測量中心投影的概念為出發(fā)點[18-20]，根據(jù)初始成像條件下TDICCD兩次的像點“誤差”，計算積分時間的修正量和保持正確像移方向的姿態(tài)運動方法和速度，實現(xiàn)了兩種非沿軌方向TDICCD相機成像仿真：一是影像行地面投影與緯線方向接近的“正南正北”成像仿真；二是掃描方向與星下點軌跡方向呈一定角度的“擺掃”成像仿真。實現(xiàn)TDICCD相機非沿軌成像仿真的重點是在衛(wèi)星的軌道參數(shù)、相機參數(shù)、初始積分時間和成像目標等基本參數(shù)已設(shè)置的條件下，確定衛(wèi)星姿態(tài)的計算方法，包括初始姿態(tài)的計算和姿態(tài)運動速度的計算。本文論述了上述兩種成像仿真涉及的姿態(tài)計算方法，以1∶1萬數(shù)字高程模型（Digital Elevation Model，DEM）和1∶1萬數(shù)字正射影像圖（Digital Orthophoto Map，DOM）作為物方輸入數(shù)據(jù)，在DOM上加入如圖1所示的黑白靶標，用于分析多級積分條件下的成像清晰度，進而驗證仿真方法的正確性。

圖1 仿真輸入靶標Fig.1 Input targets for simulation

1 仿真參數(shù)設(shè)置與初始姿態(tài)計算

1.1 參數(shù)設(shè)置

基本仿真參數(shù)包括軌道參數(shù)、相機參數(shù)、初始積分時間、成像目標。

軌道參數(shù)：軌道高度500km，軌道傾角97.5°，假設(shè)軌道為圓軌道，即偏心率為0。用隨時間變化的衛(wèi)星本體坐標系原點位置P(t){Xt,Yt,Zt}、速度V(t){VXt,VYt,VZt}向量序列作為軌道數(shù)據(jù)。同時，本文假設(shè)相機像空間坐標系原點與衛(wèi)星本體坐標系原點重合，原點就是衛(wèi)星的瞬時位置P(t)。

相機參數(shù)：焦距7.5m，CCD尺寸7μm，積分級數(shù)48級，主點坐標(r0,c0)為(0, 0)。

初始積分時間：根據(jù)衛(wèi)星飛行速度、軌道高度、概略分辨率計算。

成像輸入包括目標區(qū)域中心坐標M(X,Y,Z)，確定成像方向的輔助點M1(X1,Y1,Z1)，即主點會首先對準M1，M和M1坐標基準均為地心直角坐標系。經(jīng)過一段時間后對準M，成像時長Tall。

1.2 初始姿態(tài)計算

在上述條件下，根據(jù)攝影測量中心投影原理，衛(wèi)星在t時刻運行到位置P(t)“對準”目標M成像，可描述為M點“投射”到像面上的像點坐標為主點坐標(0, 0)，這個“投射”所用共線方程里的未知數(shù)是旋轉(zhuǎn)矩陣R的9個參數(shù)；也可描述為像主點對應(yīng)的像空間向量u[0, 0,-f]T（f為相機焦距）經(jīng)旋轉(zhuǎn)矩陣R旋轉(zhuǎn)到物方向量u′，出發(fā)點為P(t)時u′與地面的交點為目標點M。兩種方法的核心都是確定旋轉(zhuǎn)矩陣R，本文基于后一種描述方法即向量旋轉(zhuǎn)的方法計算矩陣R。

用整數(shù)秒時刻的衛(wèi)星位置、速度描述衛(wèi)星運行軌跡。P(t)時刻的位置、速度向量由t前后多個整數(shù)秒時刻的位置、速度通過拉格朗日插值獲取。根據(jù)P(t)時刻的歸一化位置、速度向量及二者的叉積計算瞬時軌道坐標系到地心直角坐標系的旋轉(zhuǎn)矩陣Robt-eth。假設(shè)像空間坐標系與衛(wèi)星本體坐標系重合。將像主點對應(yīng)像空間向量經(jīng)Robt-eth旋轉(zhuǎn)得到物方向量u1，假設(shè)P(t)與目標點M連線向量為u2，像主點“對準”星下點的前提下再“對準”目標點所需矩陣為Rrth-obj，該矩陣通過u1和u2計算。假設(shè)u1和u2都已進行歸一化，u1與u2的叉積為u3，u1、u2間的夾角θ通過反余弦公式求得。已知旋轉(zhuǎn)軸u3和旋轉(zhuǎn)角θ，可以通過四元數(shù)法計算Rrth-obj。

假設(shè)R=Rrth-obj×Robt-eth，通過R即可實現(xiàn)t時刻對準目標M成像，通過繞u2向量軸旋轉(zhuǎn)一定角度k還可以改變成像角度，但TDICCD相機成像必須具備兩個嚴格的成像條件：像移速度與行積分時間匹配，同時像移方向與TDICCD行積分方向一致，否則會導(dǎo)致成像模糊。假設(shè)經(jīng)過積分時間Δt衛(wèi)星位置、速度向量為P′和V′，計算t+Δt時刻瞬時軌道坐標系到地心直角坐標系的旋轉(zhuǎn)矩陣R′obt-eth，用R′obt-eth和t時刻的Rrth-obj相乘得到R′。將M(t)、P(t+Δt)和R′代入共線方程可以求得(t+Δt)時刻的像面坐標(x′,y′)。

這時，“像移方向與TDICCD行積分方向一致，電荷轉(zhuǎn)移周期與單級CCD積分時間Δt一致”的要求等價于x-x'=npix，y-y'=0(這里的像元數(shù)npix表示CCD尺寸，(x,y)為目標M在t時刻的像面坐標，(x′,y′)為目標M在(t+Δt)時刻的像面坐標，x和x′方向為行積分方向)。若x-x'≠npix，則積分時間Δt應(yīng)修改為Δt′

圖2為旋轉(zhuǎn)角度k=0時的星下點軌跡和成像范圍及對應(yīng)的靶標模擬影像?？梢钥闯觯尽罢险薄狈较虻妮斎氚袠?，在模擬影像上呈現(xiàn)一定角度的傾斜，成像范圍的左右邊界也與南北方向呈一定的角度，這個特點與我國多數(shù)衛(wèi)星影像類似。

圖2 k=0時的星下點軌跡、成像范圍及對應(yīng)的靶標模擬影像Fig.2 The ground track, the imaging range and the simulated target image when k=0

2 成像姿態(tài)計算方法

2.1 “南北方向”計算方法

通過繞u2向量軸旋轉(zhuǎn)一個角度k僅僅可以實現(xiàn)影像行在地面的投影與緯線方向接近，相鄰的影像行中心軌跡仍然是沿星下點方向的，這樣不僅不能實現(xiàn)“南北方向”成像，還會導(dǎo)致TDICCD成像模糊。圖3為k=13°時的星下點軌跡和成像范圍及對應(yīng)的靶標模擬影像，可以看出，左右兩側(cè)邊界仍然與星下點軌跡近似平行，與南北方向呈一定角度。如果不結(jié)合滾動角運動，間隔時間Δt的列坐標差與行坐標差比值(y-y')/(x-x')達到0.25，靶標模擬影像出現(xiàn)嚴重模糊，不滿足TDICCD相機的成像條件。

圖3 k=13°時的星下點軌跡、成像范圍及對應(yīng)的靶標模擬影像Fig.3 The ground track, the imaging range and the simulated target image when k=13°

要想使該方向變?yōu)槟媳狈较?，必須通過橫滾方向的姿態(tài)運動實現(xiàn)，因此需要確定一個滾動角速度ω˙或者經(jīng)過一個行積分周期的變化量Δω。本文定義滾動的基準軸(即繞哪個向量軸旋轉(zhuǎn))為歸一化速度向量uv。Δω的計算依據(jù)是實現(xiàn)t時刻和(t+Δt)間的列坐標之差為0，即y-y'=0。

式中f為相機焦距。

繞u2軸旋轉(zhuǎn)角度k對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣Rk通過四元數(shù)法計算，累積的滾動角ω對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣Rω由uv和ω通過四元數(shù)法計算。

最終的旋轉(zhuǎn)矩陣R為

圖4為k=13°并在模擬計算時加入滾動角對應(yīng)的Rω矩陣星下點軌跡、成像范圍及對應(yīng)的靶標模擬影像，可以看出，左右兩側(cè)區(qū)域邊界已經(jīng)接近南北方向，靶標模擬影像清晰，符合TDICCD相機的成像條件。

圖4 k=13°，考慮滾動角速度，星下點軌跡、成像范圍及對應(yīng)的靶標模擬影像Fig.4 The ground track, the imaging range and the simulated target image when k=13° with corresponding ω˙

2.2 “擺掃”計算方法

這里的“擺掃”成像指的是將CCD列方向相比常規(guī)的CCD列方向旋轉(zhuǎn)90°，通過繞衛(wèi)星速度向量軸的姿態(tài)運動實現(xiàn)掃描成像，也就是 CCD列方向與衛(wèi)星“前進方向”一致。這里的“前進方向”以衛(wèi)星本體坐標系與瞬時軌道坐標系重合為前提，否則兩者并不一致(如衛(wèi)星繞衛(wèi)星與目標連線向量旋轉(zhuǎn)一個角度時)。對于TDICCD相機，需要橫滾角和俯仰角同時變化才能滿足TDICCD相機的嚴格成像條件。

在通過初始姿態(tài)計算實現(xiàn)“正對”目標成像的條件下，衛(wèi)星繞u2向量軸旋轉(zhuǎn)k角度，通過四元數(shù)法得到旋轉(zhuǎn)矩陣Rk。假設(shè)衛(wèi)星繞前進方向向量軸uv的旋轉(zhuǎn)速度為ω˙，則相鄰兩行中心成像時刻間的旋轉(zhuǎn)角度 Δω=ω˙×Δt，由uv和 Δω通過四元數(shù)法得到旋轉(zhuǎn)矩陣Rω。假設(shè)P(t)與星下點連線向量為un，uv與un的叉積為up，則間隔Δt的俯仰角變化量Δφ計算方法為

同樣由累加的俯仰角φ和向量up通過四元數(shù)法得到旋轉(zhuǎn)矩陣Rφ。

總的旋轉(zhuǎn)矩陣R計算方法為

圖5為不同旋轉(zhuǎn)角k同一軌道成像的星下點軌跡和地面范圍，圖6為不同k旋轉(zhuǎn)角對應(yīng)的模擬靶標影像?？梢钥闯鐾恍窍曼c軌跡下可以實現(xiàn)各種角度的成像，并且在48級積分條件下沒有出現(xiàn)成像模糊。圖6中k=0°時的模擬靶標影像，與圖2（b）相比，成像角度旋轉(zhuǎn)了90°。圖6中k=13°時的模擬靶標影像，與圖4（b）相比，成像角度也旋轉(zhuǎn)了90°，但同樣實現(xiàn)了“正南正北”成像。也就是說“擺掃”成像模擬方法適合任意k旋轉(zhuǎn)角度，“正南正北”成像或“正東正西”成像只是眾多角度的特例。

圖5 同一軌道星下點軌跡不同旋轉(zhuǎn)角度k及輔助俯仰姿態(tài)運動對應(yīng)的成像范圍Fig.5 Imaging ranges corresponding to different k-rotation angles and auxiliary pitching attitude motions under the same orbit

圖6 旋轉(zhuǎn)不同角度k的靶標影像（48級積分）Fig.6 Target images of different k with 48 levels integration

3 偏離星下點成像仿真

假設(shè)衛(wèi)星飛行軌跡上離目標點最近的時刻為t0，對應(yīng)衛(wèi)星位置為P(t0)。則在t0時刻之前或之后間隔時間Toff對目標成像即前視或后視成像（Toff前視為負值，后視為正值），而t0時刻星下點與目標點存在一定距離時則為側(cè)視成像。目標中心經(jīng)緯度為（L,B）時，衛(wèi)星星下點在同一緯度B對應(yīng)的經(jīng)度為Lnir，Lnir與L差異ΔL越大，側(cè)擺角度越大。假設(shè)t0時刻的星下點向量為un0，t0時刻星下點與對P(t)連線向量為unp，un0與unp間的夾角即Toff時刻的前、后視角度。假設(shè)P(t0)與目標點連線向量為uM0，un0與uM0間的夾角即ΔL對應(yīng)的側(cè)擺角度。

圖7為k=13°時不同視角的星下點軌跡、成像范圍及對應(yīng)的靶標影像。可以看出靶標圖像變小，這是因為偏離星下點成像分辨率由于物距增大而變低，但地面范圍同樣接近“正南正北”效果。同時，靶標影像沒有出現(xiàn)模糊。圖8為“擺掃”成像條件下目標區(qū)域偏離星下點時不同旋轉(zhuǎn)角度k的地面范圍和對應(yīng)的模擬靶標影像。靶標影像同樣沒有出現(xiàn)模糊，證明了姿態(tài)計算方法的通用性。雖然都能實現(xiàn)“正南正北”方向成像，常規(guī)推掃式成像的行積分時間還是取決于衛(wèi)星沿軌道運動的固有速度，而“擺掃”式成像的行積分時間則主要取決于橫滾方向擺動的速度，擺動速度越快，積分時間越短，單位時間成像范圍越大。當然，這種優(yōu)勢也是以衛(wèi)星的姿態(tài)控制能力為前提的，并且積分時間過短必然需要較高的積分級數(shù)才能保證理想的信噪比。

圖7 不同視角的星下點軌跡、成像范圍（k=13°）及靶標影像Fig.7 Ground tracks and imaging ranges with different angles （k=13°）and target images

圖8 旋轉(zhuǎn)不同角度k的成像范圍和對應(yīng)的模擬靶標影像Fig.8 Imaging ranges and target images of different k

4 結(jié)論

通過本文的姿態(tài)計算方法得到的地面范圍和靶標成像結(jié)果可以看出，TDICCD相機沿非星下點方向成像無法通過單個姿態(tài)角的調(diào)整實現(xiàn)，需要通過滾動角或俯仰角的運動才能滿足兩個嚴格的成像條件。本文的基本思想是，間隔一個積分時間周期，僅改變旋轉(zhuǎn)矩陣，同一地面點的投射像點在像面行列方向的坐標應(yīng)滿足行方向間隔一個像素，列方向坐標相同，這與TDICCD相機要求的兩個嚴格成像條件相對應(yīng)。將投射行、列坐標與理想坐標的差異轉(zhuǎn)換為像空間的角度旋轉(zhuǎn)量，根據(jù)像空間和物空間的對稱關(guān)系，這個旋轉(zhuǎn)量就是TDICCD相機對目標“嚴格”成像所需的旋轉(zhuǎn)角度。試驗證明，基于本文提出的旋轉(zhuǎn)角度計算方法，可以實現(xiàn)各種不同角度的地面成像范圍，在48級積分成像條件下，忽略姿態(tài)高頻顫振等因素的條件下，靶標影像不會出現(xiàn)模糊，驗證了仿真方法的正確性。