韓金舸 歐陽鵬輝 李恩平 王軼文 韋聯(lián)福3)?

1) (西南交通大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 信息量子技術(shù)實驗室, 成都 610031)

2) (西南交通大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 量子光電實驗室, 成都 610031)

3) (東華大學(xué)理學(xué)院, 光子學(xué)實驗室, 上海 201620)

超導(dǎo)約瑟夫森結(jié)是實現(xiàn)超導(dǎo)量子計算和微波單光子探測的核心器件, 其物理參數(shù)很難直接測定.與之前常用的測量結(jié)微波激勵效應(yīng)估計方法不同, 本文通過實驗測量低頻電流驅(qū)動下的約瑟夫森結(jié)I-V曲線及其跳變電流統(tǒng)計分布, 并與基于標(biāo)準(zhǔn)電阻電容分路結(jié)模型數(shù)值模擬進行比對, 推算出了約瑟夫森結(jié)的臨界電流 Ic 、電容C、電阻R及阻尼參數(shù) βc 等物理參數(shù).結(jié)果表明, 所推算的參數(shù)值與基于微觀理論推導(dǎo)所得到的Ambgaokar-Baratoff公式基本符合, 可供約瑟夫森結(jié)的器件參數(shù)按需設(shè)計和制備工藝的參數(shù)設(shè)置等參考.

1 引 言

目前經(jīng)典計算機的計算能力漸趨極限, 量子計算機的超強計算能力得到了廣泛關(guān)注[1,2].如谷歌構(gòu)建的53位的超導(dǎo)量子“霸權(quán)”機和中國科技大學(xué)實現(xiàn)的76個光子的“九章”量子計算原型機都展示了經(jīng)典電子計算機所不可比擬的計算功能[3,4].作為一種廣受關(guān)注的量子計算實現(xiàn)模式, 超導(dǎo)量子計算機因其特有的易于集成、芯片設(shè)計和加工技術(shù)相對成熟等方面的優(yōu)勢, 成為量子計算領(lǐng)域的研究熱點.超導(dǎo)量子計算的基本物理單元比特是超導(dǎo)量子比特, 它的三種基本的構(gòu)型——電荷量子比特、磁通量子比特和相位量子比特等的實現(xiàn), 取決于核心器件——約瑟夫森結(jié)的物理參數(shù).這些參數(shù)決定了結(jié)的電容充電能 Ec和約瑟夫森隧穿效應(yīng)能量 EJ之間的比值, 進而決定了超導(dǎo)量子比特的構(gòu)型.此外, 約瑟夫森結(jié)也是實現(xiàn)微波單光子探測的核心器件[5,6].

Ec的大小與約瑟夫森結(jié)的電容有關(guān), 而 EJ的取值則由約瑟夫森結(jié)的臨界電流決定[7?9].這些參數(shù)是量子比特設(shè)計與制備的重要依據(jù), 但實際上它們很難在實驗上直接測量得到, 通常需要根據(jù)其他的某些相關(guān)參量的測量來推算得到.之前采用的方法有測量微波驅(qū)動下的約瑟夫森結(jié)跳變電流統(tǒng)計分布, 通過與理論模型擬合來推算約瑟夫森結(jié)各物理參數(shù).顯然, 這一方法有兩點不足: 第一, 通過微波激勵來進行的參數(shù)標(biāo)定, 實際上是一種動態(tài)標(biāo)定, 有一定的不確定性; 其二, 微波激勵本身需要考慮阻抗匹配實現(xiàn)問題.此外, 還可采用回滯電流與臨界電流的比值來標(biāo)定阻尼參數(shù), 此方法也存在一定的局限性.當(dāng)外界干擾造成約瑟夫森結(jié)I-V特性曲線零點上下漲落時, 回滯電流與臨界電流比值對原點上下漲落比較敏感, 會給標(biāo)定結(jié)果帶來較大誤差[10,11].為盡可能精確地測定結(jié)的各種靜態(tài)物理參數(shù), 本文提出一種基于標(biāo)準(zhǔn)RCSJ (resistively capacitance shunted junction)模型擬合、僅需要低頻電流偏置下的結(jié)跳變電流統(tǒng)計分布測量和結(jié)I-V特征曲線測量的更為簡便的方法, 實現(xiàn)約瑟夫森結(jié)各靜態(tài)物理參數(shù)的推算.當(dāng)然, 實際應(yīng)用時可能還需要通過其他方法來標(biāo)定這些參數(shù), 但本推算方法在器件按需設(shè)計和制備工藝相關(guān)參數(shù)設(shè)置中仍具有一定的參考意義.

2 約瑟夫森結(jié)物理參數(shù)的推算方法

2.1 結(jié)電容和結(jié)臨界電流的推算方法

電流偏置下的約瑟夫森結(jié)可以看作是一個質(zhì)量為 m =C[Φ0/(2π)]2的“粒子”在搓衣板勢U(φ)=?EJ[(Ib/Ic)φ+cos(φ)]中運動的動力學(xué)模型[12], 如圖1所示.其中, Ib是外加偏置電流, C為結(jié)電容,Φ0=h/(2e) 為磁通量子, φ 為約瑟夫森結(jié)兩端的位相差, 結(jié)的約瑟夫森能為 EJ=IcΦ0/(2π) , Ic為約瑟夫森結(jié)的臨界電流.

圖1 電流偏置下的約瑟夫森結(jié)勢能曲線Fig.1.Potential of a current-biased Josephson junction.

勢阱中“粒子”的運動由方程

描述, 其中R為結(jié)電阻.勢阱的高度(即“粒子”跑出勢阱的束縛需要克服的勢壘高度)由下式給出[13]:

顯然, 當(dāng)外加偏置電流遠(yuǎn)小于約瑟夫森結(jié)臨界電流時, “粒子”被很好地囚禁在勢阱中.這時, 結(jié)處于超導(dǎo)狀態(tài)因而結(jié)兩端的電壓為零.當(dāng)偏置電流緩慢增加到接近結(jié)的臨界電流 Ic時, “粒子”可以通過熱激發(fā)或者量子隧穿效應(yīng)逃逸出勢阱, 在宏觀上就表現(xiàn)為約瑟夫森結(jié)兩端可測量的電壓信號, 這時所偏置的電流就稱為跳變電流.當(dāng)然, 由于熱激發(fā)效應(yīng)和量子隧穿效應(yīng)都是隨機事件, 因此測量中記錄下來的與電壓信號對應(yīng)的跳變電流也就是一種隨機分布.

對應(yīng)于“粒子”逃逸出或囚禁于勢阱的兩種不同狀態(tài).假設(shè)“粒子”逃逸出勢阱的分布函數(shù)由P來描述, N(t)為粒子在勢阱中的數(shù)目.則:

因此, 在 ? t 時間內(nèi)“粒子”從勢阱中逃逸的數(shù)目為

其中, Γ (t) 為“粒子”的逃逸概率, I為實驗上可測量的跳變電流大小.在N(0)=1的初始條件下, (4)式積分得:可得跳變電流的分布函數(shù)為[14]

當(dāng)溫度高于某個臨界溫度 T?時, 熱激發(fā)占主導(dǎo)地位, “粒子”逃逸的速度由Kramers公式[15]給出:

其中,at是阻尼系數(shù),其取值范圍為0

它幾乎與溫度無關(guān).其中 aq≈[120π(7.2?U/?ωp)]1/2.以上的理論結(jié)果被廣泛應(yīng)用于早期的約瑟夫森電子學(xué)特性研究, 下面將其應(yīng)用于推算結(jié)的物理參數(shù), 即實驗測量跳變電流的統(tǒng)計分布, 并通過與理論模型的擬合, 來推算約瑟夫森結(jié)的臨界電流 Ic和電容參數(shù)C.

2.2 結(jié)阻尼參數(shù)的推算方法

直流偏置下的約瑟夫森結(jié)RCSJ模型由如下方程描述[17]:

其中Ib為結(jié)的直流偏置,為結(jié)兩端的電壓.令 τ =ωct, 其中則方程(8)可化為如下形式:

這里, βc=2eIcCR2/? 為阻尼參數(shù), ib=Ib/Ic.因此, 對 ib>1 的非超導(dǎo)態(tài), ib應(yīng)該是 d φ/dτ 的一個線性函數(shù).不失一般性, 假設(shè):

這里, ib0為常數(shù), 斜率K可由實驗測得的結(jié)I-V曲線提取.由此, 通過與(9)式數(shù)值解的比較即可建立阻尼參數(shù) βc與斜率K的聯(lián)系, 就可實現(xiàn)阻尼參數(shù) βc的推算, 進而計算出低溫條件下的結(jié)電阻R.

3 約瑟夫森結(jié)的制備及其物理參數(shù)推算

3.1 約瑟夫森結(jié)的制備

采用懸空掩膜斜角度蒸發(fā)鍍膜的工藝來制備SIS (superconductor-insulator-superconductor)約瑟夫森結(jié)[18].所采用的超導(dǎo)材料為Al, 對Al氧化生成的氧化鋁做勢壘層, 制備的主要步驟分為勻膠、光刻、顯影、斜角度蒸發(fā)鍍膜和去膠等.在清洗好的硅片上先后勻上LOR10B負(fù)膠和S1805正膠,勻膠后分別進行烘膠, 溶解掉其中的有機溶劑, 使其與硅片貼牢固.用深紫外曝光機和設(shè)計好的掩模版對其進行曝光; 曝光后的硅片使用顯影液進行顯影, 便可得到所需要的懸空掩膜結(jié)構(gòu).進而, 將其放入電子束蒸發(fā)鍍膜儀完成斜角度鍍膜、氧化、和再一次斜角度鍍膜三個步驟, 制備出約瑟夫森結(jié)樣品.整個結(jié)樣品的制備流程如圖2所示.

圖2 約瑟夫森結(jié)制備流程圖Fig.2.Preparation process of a Josephson junction.

最后將剩余的正、負(fù)光刻膠分別使用丙酮和N-甲基吡咯烷酮進行去除, 就可完成圖3所示的約瑟夫森結(jié)樣品的制備.

圖3 約瑟夫森結(jié)樣品Fig.3.Josephson junction sample.

3.2 約瑟夫森結(jié)I-V曲線和跳變電流的測量

約瑟夫森結(jié)I-V曲線一般采用四端子法進行測量, 一條線路通過一個1000倍的放大器測量結(jié)兩端的電壓信號, 另一條線路測流過結(jié)的電流信號.任意波形發(fā)生器將電壓信號通過可調(diào)電阻加到結(jié)的兩端, 實現(xiàn)結(jié)的電流偏置.這里, 可調(diào)電阻阻值遠(yuǎn)大于約瑟夫森結(jié)電阻, 以逐漸增大結(jié)的低頻偏置電流.流過結(jié)的電流和結(jié)兩端可能產(chǎn)生的電壓信號由數(shù)據(jù)采集卡采集.將數(shù)據(jù)采集卡采集的數(shù)據(jù)在PC端進行處理, 便可得到圖4所示的過阻尼約瑟夫森結(jié)標(biāo)準(zhǔn)I-V特性曲線.

圖4 約瑟夫森結(jié)I-V特性曲線Fig.4.Measured I-V characteristic curve of the fabricated Josephson junction.

下面介紹在50 mK的極低環(huán)境溫度下對約瑟夫森結(jié)跳變電流的實驗測量.為此, 需要給約瑟夫森結(jié)施加一個大小可調(diào)的直流偏置(直流值以dI/dt 的速率逐漸增大).在0時刻觸發(fā)同步信號,開始計時; 隨后調(diào)節(jié)偏置電流使之逐漸增大, 同時監(jiān)測結(jié)兩端的電壓; 當(dāng)結(jié)電壓從零跳變到一閾值時, 計時結(jié)束, 記錄此時的偏置電流大小作為跳變電流.測量信號的時序設(shè)置如圖5所示[19].

圖5 約瑟夫森結(jié)跳變電流實驗測量的時序圖Fig.5.Time sequence diagram for the junction jump current measurements.

重復(fù)以上測量過程 1 04次, 并對采集的測量數(shù)據(jù)在PC端進行數(shù)據(jù)處理, 得到如圖6所示的跳變電流大小測量值的統(tǒng)計分布圖, M為測得對應(yīng)跳變電流值的次數(shù).從圖6中的數(shù)據(jù)可以看出, 在偏置電流小于 4.0×10?7A時, 沒有測到任何跳變事件(即沒有非零的電壓信號); 在偏置電流大于4.8×10?7A時, 結(jié)兩端的電壓幾乎不再發(fā)生跳變,而是逐漸增大.因此, 可以預(yù)計所測量結(jié)的臨界電流應(yīng)該大于 4.8×10?7A.

圖6 約瑟夫森結(jié)跳變電流及其次數(shù)統(tǒng)計Fig.6.Josephson junction jump currents and their statistical distributions.

3.3 約瑟夫森結(jié)物理參數(shù)的推算

首先, 根據(jù)測量得到的跳變電流統(tǒng)計分布特性, 來推算結(jié)的臨界電流 Ic和結(jié)電容C.對實驗測得的結(jié)跳變電流的分布做歸一化處理, 得到圖7中的點狀線跳變電流的統(tǒng)計分布.利用跳變電流的統(tǒng)計分布公式(5)式, 通過調(diào)整約瑟夫森結(jié)臨界電流 Ic和電容C的預(yù)定值, 得到如圖7所示的實驗測量數(shù)據(jù)擬合.在擬合實驗數(shù)據(jù)時, 理論模型的參數(shù)設(shè)定為 Ic=5.56×10?7A, C =23.3 fF.由于跳變電流統(tǒng)計分布理論模型中對結(jié)電阻的取值很不敏感, 因此在理論擬合中暫時取為其室溫測量值R=598?.

圖7 結(jié)跳變電流的歸一化統(tǒng)計分布: 理論擬合(紅實線)與實驗數(shù)據(jù)(點狀線)Fig.7.Statistical distributions of the junction jump currents: theoretical simulations (red soild line), and measurement data (dot line).

為證實理論擬合中預(yù)定的參數(shù)是最優(yōu)的, 具體分析了臨近參數(shù)值對實驗數(shù)據(jù)擬合的偏差程度, 如表1所列.綜合表1的數(shù)據(jù)可見, 圖7中實驗數(shù)據(jù)的理論擬合是最優(yōu)的, 因此所測量約瑟夫森結(jié)的臨界電流可推算為 Ic=5.56×10?7A, 結(jié)電容可估計為 C =23.3 fF.

表1 不同參數(shù)取值對實驗數(shù)據(jù)擬合的偏差度分析Table 1.Deviations from the data simulated by using the different theoretical parameters.

下面推算結(jié)的阻尼參數(shù)值和電阻值.由于約瑟夫森結(jié)的跳變電流分布的理論模型對電阻的變化很不敏感, 所以以上擬合時所取的室溫結(jié)電阻測量值與極低溫工作環(huán)境下的結(jié)電阻的實際數(shù)值有所偏離.為此, 采用與歸一化RCSJ方程(9)的數(shù)值解進行擬合的方法, 數(shù)值解求解采用四階龍格庫塔算法.先實現(xiàn)約瑟夫森結(jié)阻尼參數(shù) βc的推算, 進而計算出極低溫工作時結(jié)電阻R的取值.為此, 將實驗測得的結(jié)I-V曲線(圖4)中的I變量值除以 Ic、電壓變量除以 ? ωc/(2e) 得到圖8中黑色點狀線所示的等效I-V曲線; 進而, 對非超導(dǎo)態(tài)工作區(qū)的結(jié)I-V特征曲線進行線性擬合, 其均方根誤差RMSE(root mean squared error)為0.197.得到如圖8中紅實線所示的擬合直線.由此, 可提取方程(10)中的斜率參數(shù)為 K =0.295.

圖8 約瑟夫森結(jié)的等效I-V曲線Fig.8.Effective I-V curve of the measured Josephson junction.

接下來, 在非超導(dǎo)態(tài)區(qū)域(即取 ib>1 )對方程(9)采用四階龍格庫塔算法進行數(shù)值求解, 得出阻尼參數(shù) βc和斜率參數(shù)K的數(shù)值解, 并進行擬合.圖9中, 點狀線表示由方程(9)數(shù)值解所得的阻尼參數(shù) βc和斜率參數(shù)K的對應(yīng)關(guān)系, 紅實線是利用以下公式對點狀線變化規(guī)律的擬合:

圖9 斜率K隨阻尼參數(shù)變化 βc 關(guān)系Fig.9.Relationship between the parameters βc and K.

均方根RMSE為0.006.因此, 根據(jù)以上對所測試約瑟夫森結(jié)的K參數(shù)推算值 K =0.295 , 再根據(jù)(11)式便可推算出該約瑟夫森結(jié)的阻尼系數(shù)為βc=12.3, 由此說明所制備的約瑟夫森結(jié)是一個過阻尼結(jié), 進而可推算極低溫工作環(huán)境下結(jié)的正常態(tài)電阻值為 R =558.99 ?.

至此完成了對所制備的約瑟夫森結(jié)樣品的物理參數(shù)推算.為了檢驗根據(jù)低頻電流偏置下進行實驗測量所推算的約瑟夫森結(jié)物理參數(shù)的準(zhǔn)確度, 將根據(jù)實驗推算所得到的參數(shù)代入計算得到IcR=5.56×10?7×558.99=3.108×10?4A·?, 與由著名的Ambgaokar-Baratoff公式[20]

在 T =50 mK工作溫度下代入Al的超導(dǎo)能隙值?=2.906×10?23J 計算所得到的值10?4A·? 進行比較, 兩者相差 9.10%.需要說明的是, 由于實驗測量是在遠(yuǎn)離超導(dǎo)轉(zhuǎn)變溫區(qū)進行的, 所以這里超導(dǎo)Al膜超導(dǎo)能隙 ? 可看成是不隨溫度變化的常數(shù).其中存在誤差的主要原因是約瑟夫森結(jié)跳變電流的測量誤差, 在與理論模型擬合時對臨界電流和電容的推算誤差導(dǎo)致了后續(xù)推算結(jié)果與超導(dǎo)能隙理論存在一定誤差.因此, 通過跳變電流分布實驗測量所推算得到的 Ic,R 基本符合Ambgaokar-Baratoff公式, 這說明通過測量低頻電流偏置下跳變電流的統(tǒng)計分布響應(yīng), 來實現(xiàn)約瑟夫森結(jié)物理參數(shù)推算的方法是可行的.

4 結(jié) 論

約瑟夫森結(jié)作為超導(dǎo)量子計算芯片和微波單光子探測芯片的核心器件, 其物理參數(shù)很難直接測定但對器件的按需設(shè)計和制備卻極其重要.不同于通常的高頻微波激勵響應(yīng)測量, 本文提出了一種基于低頻電流偏置下跳變電流分布測量和I-V特性曲線的測量, 結(jié)合結(jié)RCSJ模型和跳變電流統(tǒng)計分布的理論模型, 實現(xiàn)了約瑟夫森結(jié)物理參數(shù)——結(jié)的臨界電流 Ic、結(jié)電容C、結(jié)電阻R 以及結(jié)阻尼參數(shù) βc的推算方法.這些根據(jù)實驗數(shù)據(jù)推算出來的參數(shù), 基本符合著名的Ambgaokar-Baratoff公式, 所以該實驗推算方法是可行的.本文所提出的方法,與測量微波驅(qū)動下約瑟夫森結(jié)跳變電流統(tǒng)計分布的方案相比, 在實驗上更加簡便; 與采用回滯電流與臨界電流比值相比, 不受I-V特性曲線原點上下漲落的影響, 具有獨有的優(yōu)勢.

當(dāng)然, 本文所實現(xiàn)的基于跳變電流分布實驗測量的約瑟夫森結(jié)物理參數(shù)推算, 其精度有待于進一步提高.首先, 跳變電流測量的樣本數(shù)可以更多,從而減少統(tǒng)計誤差; 其次, 根據(jù)電壓信號的跳變記錄到的跳變電流, 通過精密地控制信號同步使其測量精度還有很大的提升空間, 等等.不過, 受限于數(shù)值擬合的理論公式大多數(shù)也只是某種近似處理下的結(jié)果, 通過基于近似理論模型來擬合實驗測量數(shù)據(jù)從中提取結(jié)的物理參數(shù)值, 本身也是影響參數(shù)推算的準(zhǔn)確度.所以, 約瑟夫森結(jié)的物理參數(shù)值還需要在器件后續(xù)應(yīng)用(比如超導(dǎo)量子計算和微波單光子探測等)的研究中, 應(yīng)用其他方法(如器件的能譜測量等)來進行進一步的測定.本文的工作只是提供了可應(yīng)用于約瑟夫森結(jié)器件設(shè)計和制備中,如何實現(xiàn)物理參數(shù)實驗推算的簡單而有效方法, 為按需設(shè)計約瑟夫森結(jié)器件參數(shù)和設(shè)置器件制備工藝參數(shù)提供參考.