金薇 廖新元 駱金鵬 楊永麗

（南華大學(xué)數(shù)理學(xué)院,衡陽,421001）

1 引言

2019 年12 月發(fā)現(xiàn)的新冠肺炎病毒是目前已知的第7 種可以感染人的冠狀病毒.它以一種驚人的速度在中國(guó)各省份和全世界迅速蔓延,研究人員建立數(shù)學(xué)模型研究疾病的傳播機(jī)制并給出疫情的防控措施[1,2].考慮到降水量、溫度、濕度等諸多環(huán)境因素對(duì)傳染病的傳播都有重大的影響,因此,我們認(rèn)為隨機(jī)微分方程模型相比于確定性模型,能更好地描述傳染病的傳播機(jī)制[3,4].目前,在隨機(jī)微分方程中引入白噪聲的方法有兩種：一是加入與系統(tǒng)狀態(tài)成正比的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)[5,6,7],二是加入與系統(tǒng)變量呈現(xiàn)非線性關(guān)系的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)[8,9].

根據(jù)傳染病的傳播規(guī)律,人群可被分為四個(gè)部分：易感者、感染者、恢復(fù)者、交叉免疫者,在時(shí)刻t各部分的人數(shù)分別以S(t),I(t),R(t),C(t)來表示.S(t)與C(t)的區(qū)別在于是否存在免疫個(gè)體差異,當(dāng)不存在此類免疫差異時(shí),SIRC 模型即是SIRI 模型.S(t)+I(t)+R(t)+C(t)表示人群的個(gè)體總數(shù).本文通過加入非線性隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)改進(jìn)文獻(xiàn)[10]的模型,得到如下的新冠肺炎SIRC 隨機(jī)模型:

其中Λ 和μ分別表示出生率和死亡率,η表示交叉免疫體的平均再感染率,α表示感染者的恢復(fù)率,β表示交叉免疫體再次易感的比率,γ表示恢復(fù)者變?yōu)榻徊婷庖哒叩谋嚷?ξ表示接觸率,σij(i,j=1,2,3,4)表示隨機(jī)干擾的強(qiáng)度.假設(shè)模型(1.1)定義在具有濾子{Ft}t≥0且滿足通常條件（濾子遞增且右連續(xù),F0包含所有P零集）的完備概率空間(?,F,{Ft}t≥0,P)上.

2 疾病的隨機(jī)持久性和平穩(wěn)分布

2.1 疾病的隨機(jī)持久性

2.2 疾病的平穩(wěn)分布

3 疾病滅絕性

4 數(shù)值模擬

本節(jié)利用Milstein 數(shù)值模擬仿真([16])驗(yàn)證本文的主要結(jié)果.參照文獻(xiàn)[17,18,19,20,21]對(duì)系統(tǒng)(1.1)定義參數(shù)如下：S(0)=0.6,I(0)=0.2,R(0)=0.11,C(0)=0.09,θ=0.4.

4.1 疾病平穩(wěn)分布模擬

1.取Λ=0.07,μ=0.1,ξ=0.66,α=0.1,β=0.05,η=0.08,γ=0.19,v11=0.03,v12=0.02,v21=0.06,v22=0.04,v31=0.22,v32=0.22,v41=0.02,v42=0.02,Rs0=0.893<1,結(jié)果如圖1 所示.

2.取Λ=0.07,μ=0.08,ξ=0.66,α=0.15,β=0.05,η=0.08,γ=0.19,v11=0.1,v12=0.02,v21=0.06,v22=0.04,v31=0.22,v32=0.22,v41=0.32,v42=0.32=1.458>1,結(jié)果如圖2 所示.

圖1 表示在1 時(shí),經(jīng)過一段時(shí)間疾病會(huì)達(dá)到平穩(wěn)分布.圖2 表示在1 時(shí),經(jīng)過一段時(shí)間疾病不會(huì)達(dá)到平穩(wěn)分布,這與定理2.2 的結(jié)論相符.

圖1 疾病持久且平穩(wěn)分布圖

圖2 疾病持久且不平穩(wěn)分布圖

4.2 疾病滅絕和不同噪聲強(qiáng)度下感染者人數(shù)變化的情況模擬

3.取Λ=0.07,μ=0.3,ξ=0.25,α=0.18,β=0.02,η=0.38,γ=0.04,v11=0.4,v12=0.2,v21=0.3,v22=0.4,v31=0.3,v32=0.4,v41=0.1,v42=0.3=0.497<1,結(jié)果如圖3 所示.

4.取Λ=0.07,μ=0.3,ξ=0.25,α=0.2,β=0.2,η=0.28,γ=0.39,三條曲線i1,i2,i3分別表示在不同強(qiáng)度的干預(yù)措施下感染者的變化趨勢(shì),隨機(jī)變量參數(shù)取值如下：

曲線i1:隨機(jī)擾動(dòng)為零,即是確定性模型,v11=0,v12=0,v21=0,v22=0,v31=0,v32=0,v41=0,v42=0.

曲線i2:隨機(jī)擾動(dòng)較小,v11=0.1,v12=0.2,v21=0.1,v22=0.2,v31=0.1,v32=0.1,v41=0.2,v42=0.2.

曲線i3:隨機(jī)擾動(dòng)較大,v11=0.7,v12=0.5,v21=0.5,v22=0.6,v31=0.6,v32=0.6,v41=0.8,v42=0.5.

圖3 表示在1 時(shí),疾病趨于滅絕,這與定理3.1 的結(jié)論相符.圖4 表示干擾強(qiáng)度越大,疾病滅絕的時(shí)間越短,這說明強(qiáng)力的干擾措施有利于疾病的防控.

圖3 疾病滅絕圖

圖4 不同噪聲強(qiáng)度下感染者人數(shù)的變化圖

5 結(jié)論

本文考慮到隨機(jī)變量可能與系統(tǒng)變量存在非線性關(guān)系,引入了非線性隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)到傳統(tǒng)的SIRC 傳染病模型[10].通過構(gòu)建合適的Lyapunov 函數(shù),我們得到系統(tǒng)(1.1)具有隨機(jī)最終有界性和隨機(jī)持久性的充分條件?通過引入?yún)?shù)和,我們給出了系統(tǒng)(1.1)存在唯一遍歷平穩(wěn)分布和疾病滅絕的相關(guān)結(jié)論：類似于基本再生數(shù)的性質(zhì),若1,則疾病存在平穩(wěn)分布,若1,則疾病不存在平穩(wěn)分布,將會(huì)流行傳播,若1,則疾病將會(huì)趨于滅絕?我們還通過分析不同噪聲強(qiáng)度下感染者人數(shù)的變化趨勢(shì)發(fā)現(xiàn)：干擾措施越大越有利于疾病的防控.