熊 可，劉芝秀

(1.南昌工程學(xué)院 理學(xué)院，江西 南昌 330099；2.江西財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江西 南昌 330077)

世界上幾乎每天都在發(fā)生地震，其中的強(qiáng)地震往往會給人類社會造成比較大的危害，因而人們很早就開始了對地震的研究。雖然研究人員已從各個方面對地震進(jìn)行了詳細(xì)深入的研究，但是就目前的技術(shù)手段來講，地震何時何地發(fā)生仍然是難以預(yù)測的，至少難以提前足夠多的時間對地震進(jìn)行預(yù)測。地震的發(fā)生具有很強(qiáng)的隨機(jī)性，所以地震發(fā)生的統(tǒng)計(jì)規(guī)律一直是地震研究方面的一個熱點(diǎn)，近幾年僅我國研究人員就基于地震數(shù)據(jù)進(jìn)行了持續(xù)不斷的研究，發(fā)表了上百篇的論文[1]，由此可見地震數(shù)據(jù)的研究是一個持續(xù)更新的過程。

在對地震數(shù)據(jù)進(jìn)行研究的過程中，了解地震發(fā)生的時間是重要的，本文著重分析了兩次相鄰地震發(fā)生的時間間隔，利用隨機(jī)過程模型和假設(shè)檢驗(yàn)的方法驗(yàn)證得到了本文所用數(shù)據(jù)記錄的地震間隔時間的一個概率分布，需要強(qiáng)調(diào)的是地震間隔時間的概率密度函數(shù)與所研究的數(shù)據(jù)是密切相關(guān)的，它有多種不同的經(jīng)驗(yàn)概率分布[2-4]，事實(shí)上，我們目前并沒有立足物理機(jī)理推導(dǎo)證明出地震間隔時間的精確分布，因而不同的數(shù)據(jù)和經(jīng)驗(yàn)分布都有助于地震間隔時間精確分布的發(fā)現(xiàn)與證明。

本文所使用的數(shù)據(jù)來自中國地震臺網(wǎng)http：//www.ceic.ac.cn/speedsearch?time=10，采集了2020年3月25日至2021年3月20日之間發(fā)生的破壞力較強(qiáng)的6.0級以上的地震信息。

1 預(yù)備知識

為討論強(qiáng)震間隔時間的分布，首先介紹下重要的指數(shù)分布。

定義1指數(shù)分布

若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為[5]

(1)

則稱X服從指數(shù)分布，記作X～Exp(θ)，其中參數(shù)θ>0。

它的期望E(X)為θ，分布函數(shù)為

(2)

檢驗(yàn)一個總體的分布有如下卡方擬合檢驗(yàn)方法

定義2分布擬合檢驗(yàn)

檢驗(yàn)的原假設(shè)為[5]

H0：總體X的分布函數(shù)是F(x；θ1，…，θr)

其中F形式已知，θ=(θ1，θ2，…θr)未知。在H0為真的情況下，將X的全部可能取值Ω分為子集A1，A2，…，Ak，滿足?AiAj=φ，i，j=1，2，…，k且k>r+1。

記fi(i=1，2，…，k)為x1，x2，…，xn落在Ai中的個數(shù)，即在n次相互獨(dú)立的隨機(jī)試驗(yàn)中，事件Ai={X的值落在子集Ai內(nèi)}發(fā)生的次數(shù)為fi次，因此事件Ai發(fā)生的頻率為fi/n。

另一方面，按照原假設(shè)中總體X的分布可計(jì)算事件Ai所發(fā)生的概率

P(Ai)=pi(θ1，θ2，…，θr)=pi(θ)=pi，

則得一個檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量如下

(3)

它近似地服從卡方分布，即

(4)

由此可知，在顯著性水平α下，假設(shè)檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?/p>

(5)

下文還需要與指數(shù)分布密切相關(guān)的泊松過程。

定義3泊松過程

以N(t)，t≥0表示在時間間隔(0，t]內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)，將增量N(t)-N(t0)記成N(t0，t)，0≤t0

Pk(t0，t)=P{N(t0，t)=k}，k=0，1，2，….

如果N(t)滿足如下條件

(1)對應(yīng)任意選定的正整數(shù)n和任意選定的n個時刻0≤t0

N(t0，t1)，N(t1，t2)，…，N(tn-1，tn)

相互獨(dú)立；

(2)對于充分小的Δt

P1{t，t+Δt}=P{N(t，t+Δt)=1}=λΔt+ο(Δt)，

其中常數(shù)λ>0稱為過程N(yùn)(t)的強(qiáng)度，ο(Δt)是當(dāng)Δt→0時關(guān)于Δt的高階無窮??；

(3)對于充分小的Δt

亦即對于充分小的Δt，在(t，t+Δt]內(nèi)出現(xiàn)2個或2個以上質(zhì)點(diǎn)的概率與出現(xiàn)一個質(zhì)點(diǎn)的概率相比可以忽略不計(jì)；

(4)N(0)=0.則稱N(t)為強(qiáng)度為λ的泊松過程。

之所以說泊松過程與指數(shù)分布密切相關(guān)是因?yàn)閺?qiáng)度為λ的泊松過程的相鄰質(zhì)點(diǎn)間間隔時間是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且服從參數(shù)為1/λ的同一個指數(shù)分布。

2 理論分析結(jié)果與數(shù)據(jù)驗(yàn)證

從數(shù)據(jù)中可以得到全世界2020年3月25日至2021年3月20日一年間共發(fā)生6.0級以上強(qiáng)地震109次，平均每隔3.3天發(fā)生一次6.0級以上強(qiáng)地震，按間隔時間統(tǒng)計(jì)6.0級以上強(qiáng)地震次數(shù)如表1所示。

根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)不難知道，6.0級以上強(qiáng)地震并不是每時每刻都在發(fā)生，存在一個時刻是沒有發(fā)生6.0級以上強(qiáng)地震的，記此時刻為0，用N(t)表示在間隔時間(0，t]內(nèi)發(fā)生的6.0級以上地震的次數(shù)，再類似定義3中定義記號N(t0，t)和Pk(t0，t)。顯然，N(0)=0；而且，在很小的時間間隔內(nèi)同時發(fā)生2次和2次以上的6.0級以上強(qiáng)地震的概率是非常微小的，事實(shí)上6.0級以上強(qiáng)地震發(fā)生一次本身就有持續(xù)的時間，瞬間間隔發(fā)生2次以上的6.0級以上強(qiáng)地震概率為0，即有

那么在不相重疊的時間區(qū)間上發(fā)生6.0級以上強(qiáng)地震關(guān)系是否明顯呢？即

0≤t0

是否相互獨(dú)立，一般情況下，它們明顯不是獨(dú)立的。因?yàn)榘l(fā)生大地震的地方接著會有余震，毗鄰間隔時間發(fā)生的地震次數(shù)有很強(qiáng)的相關(guān)性，但此處考慮的是6.0級以上強(qiáng)地震，其余震很難維持在6.0級以上，所以可以近似的認(rèn)為在不相重疊的時間區(qū)間上發(fā)生6.0級以上強(qiáng)地震次數(shù)是不相關(guān)的；另一方面，在一定的時間間隔內(nèi)發(fā)生1次6.0級以上強(qiáng)地震的概率是可能的，而且時間間隔越大發(fā)生的概率就越大，概率大小與時間長短具有一定的正向關(guān)系。又由前述分析可知，在不相重疊的時間區(qū)間上發(fā)生6.0級以上強(qiáng)地震次數(shù)是獨(dú)立的，又由于N(tn-1，tn)都是描述發(fā)生6.0級以上強(qiáng)地震次數(shù)這同一個現(xiàn)象，僅僅只是時間起點(diǎn)不一樣，可以推知在等時間間隔上是否發(fā)生6.0級以上強(qiáng)地震這一隨機(jī)現(xiàn)象是同分布的，所以對應(yīng)給定的時間間隔發(fā)生6.0級以上強(qiáng)地震的概率應(yīng)該與時間間隔有一個固定的比率，即

P{N(t，t+Δt)=1}=λΔt+ο(Δt)

其中λ為一個比率參數(shù)，即強(qiáng)度。

從以上經(jīng)驗(yàn)可以推斷，發(fā)生6.0級以上強(qiáng)地震的過程正是一個泊松過程，由此可知兩次相鄰的6.0級以上強(qiáng)地震的間隔時間，記其為T，服從指數(shù)分布，設(shè)其密度函數(shù)為

其中λ=1/θ。

下面進(jìn)一步對此做假設(shè)檢驗(yàn)，假設(shè)T服從指數(shù)分布，即原假設(shè)為

在假設(shè)情況下，T的全部可能取值Ω為[0，+∞)。將[0，+∞)分為如下不相交的小區(qū)間：

A1=[0，1.5]，A2=(1.5，3.5]，A3=(3.5，5.5]，A4=(5.5，7.5]，
A5=(7.5，9.5]，A6=(9.5，11.5]，A7=(11.5，13.5]，A8=(13.5，∞).

pi=P(Ai)=P{ai

得

表2 χ2統(tǒng)計(jì)量計(jì)算表

3 擬合評價

上面在顯著性水平α=0.05下驗(yàn)證了相鄰兩次6.0級以上強(qiáng)地震發(fā)生的間隔時間T是服從指數(shù)分布的，其實(shí)用指數(shù)分布擬合間隔時間分布的具體偏差是多大還可以換一個更直觀的角度進(jìn)行觀察，可用給定間隔時間的理論與實(shí)際偏差次數(shù)和實(shí)際次數(shù)的比值來評估指數(shù)分布擬合間隔時間分布的效果。由表2第2列和第4列數(shù)據(jù)四舍五入得間隔時間給定的理論次數(shù)和實(shí)際次數(shù)如表3。

由表3可以看到，給定間隔時間的理論與實(shí)際次數(shù)的差額為表3第4行差額的和，即18次，而實(shí)際次數(shù)為第2行實(shí)際頻數(shù)的和109次，其偏差比率為

表3 間隔時間給定的理論與實(shí)際次數(shù)對比

上述偏差率小再次說明了用指數(shù)分布擬合6.0級以上強(qiáng)地震間隔時間分布的效果是良好的。