張江江，崔志華

(太原科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山西 太原 030024)

1 引言

現(xiàn)實(shí)生活中，所面臨的許多問題受到多個(gè)因素的相互影響。因而，通常將要使那些影響因素得到盡可能優(yōu)化的問題視為多目標(biāo)優(yōu)化問題(Multi-objective optimization problems，MOPs)。為了進(jìn)行更加深入研究，MOPs定義為[1]

(1)

其中x=(x1，x2，…，xD)T是在搜索空間Ω內(nèi)有界的一個(gè)D維決策向量，gi(x)和hj(x)分別表示第i個(gè)不等式和第j個(gè)等式約束；M是目標(biāo)數(shù)量。值得注意的是：當(dāng)目標(biāo)數(shù)量為2和3時(shí)，該問題定義為MOPs；當(dāng)目標(biāo)數(shù)量大于3時(shí)，該問題定義為高維多目標(biāo)優(yōu)化問題(Many-objective optimization problems，MaOPs)[2]。假設(shè)這里給定兩個(gè)決策矢量x，y∈Ω，當(dāng)且僅當(dāng)滿足以下條件，則x帕累托支配y，記作：xy.

?i∈{1，2，…，M}：fi(x)≤fi(y)，
?i∈{1，2，…，M}：fi(x)

(2)

若不存在x∈Ω使得xx*，則x*∈Ω被稱為帕累托最優(yōu)(Pareto optimal)；f(x*)被稱為Pareto最優(yōu)目標(biāo)矢量；通常，一個(gè)問題不同目標(biāo)的潛在沖突性是其成為一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問題的前提屬性，該屬性某程度上就已經(jīng)決定了各個(gè)目標(biāo)值無法同時(shí)獲得最優(yōu)結(jié)果。換言之，在令某個(gè)目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)的同時(shí)，其它幾個(gè)目標(biāo)的性能有可能會(huì)降低，因此，只能盡最大努力使各個(gè)目標(biāo)值接近最優(yōu)。不同于只擁有唯一最優(yōu)解的單目標(biāo)優(yōu)化問題，多目標(biāo)優(yōu)化問題的最優(yōu)解是一組由眾多Pareto最優(yōu)目標(biāo)矢量組成的Pareto最優(yōu)解集(Pareto-optimal set，PS)，集合中的各個(gè)元素稱為Pareto最優(yōu)解。PS在目標(biāo)空間中的映射稱為Pareto最優(yōu)前沿(Pareto-optimal front，PF)。

由于在多目標(biāo)優(yōu)化問題中，目標(biāo)之間存在固有的沖突，沒有最佳的解決方案。因此如何獲得Pareto最優(yōu)解集，一直是眾多學(xué)者研究的問題。近年來隨著進(jìn)化算法(evolutionary algorithm，EA)的快速發(fā)展，它已經(jīng)逐步被認(rèn)為是解決多目標(biāo)優(yōu)化問題的有效工具。

傳統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化算法已經(jīng)被證明能夠有效解決2個(gè)或3個(gè)目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化問題，而在遇到實(shí)際生產(chǎn)生活中具有復(fù)雜特性(例如非線性，不連續(xù)性，多模態(tài)，退化和高維決策空間)的高維多目標(biāo)優(yōu)化問題時(shí)，這些方法將不再被適用。因此，致力于研究解決MaOPs的優(yōu)化算法，毫無疑問是符合社會(huì)發(fā)展的迫切需要的命題，且具有非常重大的實(shí)際意義。然而如何獲取性能高效的優(yōu)化算法，這將是一項(xiàng)值得深入探討的研究工程。

根據(jù)無免費(fèi)午餐(No-Free Lunch，NFL)定理指出，理論上是不存在某種算法在解決所有優(yōu)化問題時(shí)都優(yōu)于其他算法[3]。在實(shí)踐中，NFL定理表明，在解決具有不同特征的優(yōu)化問題時(shí)，不可能設(shè)計(jì)出比其它所有算法性能效果都要有效的算法。然而，研究人員一直致力于開發(fā)適用于多種優(yōu)化問題的通用優(yōu)化算法。此外，從成千上萬的候選算法中選擇一個(gè)有效的算法是非常耗時(shí)的。那么有沒有可能存在一種實(shí)用的算法可以處理一組不同特征的優(yōu)化問題?答案是肯定的。這是因?yàn)楸M管NFL告訴人們沒有一種算法可以有效地解決所有可能的優(yōu)化問題，但在實(shí)踐中所考慮的問題一般總是待優(yōu)化問題的子集。因此，若能在現(xiàn)有優(yōu)化算法的基礎(chǔ)上，利用已經(jīng)提出的各種算子，考慮每個(gè)算子都在算法的不同時(shí)間片段的優(yōu)勢(shì)作用，將這些算子的一系列改進(jìn)策略有機(jī)地集成起來，使其相互協(xié)調(diào)，共同作用，可以大幅提高算法性能[4]。

從仿生學(xué)的角度來看，自然計(jì)算主要是對(duì)生物單一功能的模擬，如蟻群算法[5]、粒子群優(yōu)化算法[6-7]、螢火蟲算法[8-9]和鴿群優(yōu)化算法[10]分別是對(duì)蟻群、粒子群、螢火蟲和鴿群行為的模擬。不同生物經(jīng)過億萬年的進(jìn)化，可以展現(xiàn)出多種多樣的功能特征，成為了對(duì)生存環(huán)境具有最佳適應(yīng)性和高度協(xié)調(diào)性的系統(tǒng)。而對(duì)于一個(gè)優(yōu)越的算法，它的性能通常需要算法內(nèi)部各種機(jī)制相互協(xié)調(diào)，共同作用，而不僅僅依靠其中某個(gè)因素。換句話說，單一機(jī)制作用的算法解決的問題相對(duì)局限。而將互相依存、互相影響的多個(gè)因素，在適當(dāng)?shù)募蓹C(jī)制或協(xié)同策略作用下，所設(shè)計(jì)的集成算法或?qū)?huì)產(chǎn)生更好的效能。

此外，固定策略可能不適合整個(gè)搜索過程。因此，在優(yōu)化過程中，隨著種群向全局最優(yōu)解演化過程中搜索的變化，需要不斷更新搜索策略以適應(yīng)搜索過程。采用適當(dāng)?shù)淖赃m應(yīng)機(jī)制的多策略集合可以使算法在優(yōu)化過程中有更高的概率選擇最合適的策略[25]。此外，集成還可以使不同能力的搜索策略相互支持，從而大大增強(qiáng)了算法的性能。

集成算法的主要思想是在不同的學(xué)習(xí)者中構(gòu)建一個(gè)集合形成一種獲得更準(zhǔn)確，更強(qiáng)大的學(xué)習(xí)者的算法[26-27]。實(shí)踐已經(jīng)證明，集成策略學(xué)習(xí)通常表現(xiàn)出比個(gè)體學(xué)習(xí)者更好的性能。例如，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)集成是一種成功的學(xué)習(xí)方式，它將為同一任務(wù)訓(xùn)練的有限數(shù)量的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)集合在一起，從而在同一任務(wù)上獲得更好的性能。另外，還能提高預(yù)測(cè)的可靠性并減少分類錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)。近年來集成算法在不同領(lǐng)域都有成功的應(yīng)用[28]，如計(jì)算機(jī)視覺中的對(duì)象檢測(cè)，識(shí)別和跟蹤，計(jì)算機(jī)安全中的入侵檢測(cè)以及計(jì)算機(jī)輔助醫(yī)學(xué)診斷中的肺癌細(xì)胞識(shí)別等方面，這些應(yīng)用都證明了集成算法的優(yōu)越性。

首先，集成策略的設(shè)計(jì)對(duì)一個(gè)算法性能的優(yōu)劣具有重要作用。一個(gè)較優(yōu)的策略，在算法執(zhí)行過程中，表現(xiàn)為能根據(jù)問題的特性，來動(dòng)態(tài)選擇性能較優(yōu)的算子。通過該方式作用下旨在結(jié)合現(xiàn)有不同算子的優(yōu)勢(shì)特性，使其相互協(xié)調(diào)、共同作用，來獲得性能更好的高維多目標(biāo)優(yōu)化算法。因此，在第二節(jié)對(duì)集成策略的原理進(jìn)行介紹。然后，在第三節(jié)分別對(duì)集成算法的理論研究和應(yīng)用研究進(jìn)行綜述。最后，展望了一些高維多目標(biāo)集成算法未來發(fā)展趨勢(shì)。

2 集成策略設(shè)計(jì)

通常算法在種群迭代過程的不同階段(如前期，中期和后期)，對(duì)問題解決操作算子的需求也在發(fā)生動(dòng)態(tài)變化。具體來講，一個(gè)性能良好的算法所包含的操作算子應(yīng)該在種群迭代的前期具有快速收斂和擅長全局搜索的屬性，進(jìn)而保證近似最優(yōu)解能夠被快速鎖定，而當(dāng)鎖定近似最優(yōu)解范圍后，需要執(zhí)行局部搜索操作算子發(fā)揮作用，進(jìn)而最終確定最優(yōu)解或最優(yōu)解集。因此一般的集成方法設(shè)計(jì)原則，通常是圍繞兩個(gè)問題來進(jìn)行的：一方面是集成算法中具體應(yīng)該包括哪些操作算子，另一方面是如何設(shè)計(jì)集成策略來執(zhí)行這些操作算子。

針對(duì)第一個(gè)問題，一般解決思路是針對(duì)問題的不同特性，挑選適合的具有獨(dú)特屬性的操作算子。例如，為了使用優(yōu)化算法來解決約束、多模態(tài)、動(dòng)態(tài)問題和多目標(biāo)等問題，可以采用約束處理、小生境、多樣性增強(qiáng)技術(shù)和非支配排序方法等。由于每種操作算子對(duì)應(yīng)的策略和參數(shù)值可能存在不同的組合，因此需要通過排列組合機(jī)制，構(gòu)造不同的集成方式。在對(duì)應(yīng)問題上測(cè)試所有潛在的組合方式，然后利用評(píng)價(jià)度量標(biāo)準(zhǔn)來比較不同的集成方式性能效果，從而挑選最佳集成方式的集成算法。

為了解決第二個(gè)問題，一些優(yōu)秀的集成策略已經(jīng)被提出，如用于解決MOPs的合作—競(jìng)爭(zhēng)策略[29]和協(xié)同進(jìn)化策略[30]等，還有用于解決MaOPs的集成池策略等。這些策略通常能自適應(yīng)地執(zhí)行所需要的操作算子[31]。通過這些集成策略，使得算法能根據(jù)迭代過程的不同階段，動(dòng)態(tài)靈活地使用各種算子搜索選擇機(jī)制，從而提高算法搜索效率，改善算法性能，最終有效解決不同類型的優(yōu)化問題。為了便于理解，這里介紹幾種集成策略原理。

“六書”，即象形、指事、會(huì)意、形聲、轉(zhuǎn)注、假借，六種造字的方法，此“六書”既規(guī)定其叫法，同時(shí)也規(guī)定其順序和每一種具體造字方法的注釋。我們現(xiàn)在所沿用的“六書”內(nèi)涵，是在漫長的歷史發(fā)展中經(jīng)過不斷修正與完善，經(jīng)歷幾代大家的不斷思考與沉淀，最后集眾家之長而定型，沿用至今。

2.1 合作—競(jìng)爭(zhēng)策略

合作—競(jìng)爭(zhēng)策略是指操作算子之間保持著一種動(dòng)態(tài)合作競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系，最終需要實(shí)現(xiàn)共贏局面，即整個(gè)算法最終能夠獲得較好的性能效果。合作—競(jìng)爭(zhēng)策略本質(zhì)上強(qiáng)調(diào)了操作算子之間的相互依存、互惠互利的關(guān)系，然后利用這種關(guān)系使得信息能夠相互及時(shí)補(bǔ)償、交換和調(diào)整，最終達(dá)到改善算法性能的目的。假設(shè)一個(gè)算法存在兩個(gè)操作算子機(jī)制，通過競(jìng)爭(zhēng)，獲得勝利的一方可被稱為“勝利者”，則另一方被稱為“失敗者”?！皠倮摺毙枰龑?dǎo)其他個(gè)體朝更好地方向進(jìn)化，而“失敗者”需要向“勝利者”不斷學(xué)習(xí)，如變異方式等。在每隔若干代的下一次評(píng)價(jià)度量時(shí)，“失敗者”和“勝利者”的身份將會(huì)發(fā)生動(dòng)態(tài)變化，即上次的“失敗者”將在此次成為“勝利者”，而上次的“勝利者”將在此次成為“失敗者”。然而不論誰成為“勝利者”或“失敗者”，對(duì)于整個(gè)算法而言，種群整體都是朝著較好方向進(jìn)化的，因此算法獲得較好性能的可能性也將不斷增大。換言之，算法較好性能的獲得，可以看作是操作算子之間相互競(jìng)爭(zhēng)、相互合作、共同作用的結(jié)果。

2.2 協(xié)同進(jìn)化策略

協(xié)同進(jìn)化策略認(rèn)為種群進(jìn)化過程中需要將個(gè)體與個(gè)體，個(gè)體與其進(jìn)化環(huán)境的因素納入影響種群朝著較好方向進(jìn)化的考慮范圍。因?yàn)榉N群中個(gè)體的進(jìn)化，不僅與其它個(gè)體進(jìn)化有關(guān)，一定程度上還受到其進(jìn)化環(huán)境的影響。因此，在對(duì)個(gè)體進(jìn)行評(píng)價(jià)時(shí)，需要利用其它個(gè)體的信息，即個(gè)體對(duì)個(gè)體進(jìn)行適應(yīng)度評(píng)估，不再僅由目標(biāo)函數(shù)決定，還由其它個(gè)體決定。在協(xié)同進(jìn)化多目標(biāo)優(yōu)化中，種群之間是相互影響、相互制約、相互協(xié)同和共同進(jìn)化的。通常一個(gè)種群會(huì)被分為多個(gè)子種群，然后同時(shí)對(duì)這些子種群采用“分而治之”的方法進(jìn)行操作。而對(duì)于一個(gè)MOP，經(jīng)過分解后形成多個(gè)子問題，要分別對(duì)這些子問題進(jìn)行最優(yōu)解求解。因此，該多目標(biāo)優(yōu)化問題的最優(yōu)解將是由這些多個(gè)子問題的最優(yōu)解共同組成。而一個(gè)種群被分為多個(gè)子種群，各個(gè)子種群獨(dú)立進(jìn)化，在計(jì)算個(gè)體適應(yīng)度值時(shí)進(jìn)行信息交流，這是因?yàn)槊總€(gè)子種群的個(gè)體只是整個(gè)種群最終解的一部分，還需要與其它種群的優(yōu)秀個(gè)體結(jié)合，才能最終形成完整的最終解。其過程能被描述如圖1所示。

2.3 集成池策略

不同于合作—競(jìng)爭(zhēng)策略和協(xié)同進(jìn)化策略偏向于解決MOPs時(shí)具有較好性能，集成池策略旨在用于求解復(fù)雜的MaOPs，并且包含概率選擇和并發(fā)選擇(無概率選擇)兩種集成策略。通常，將種群通過執(zhí)行不同操作算子策略獲得的解，存儲(chǔ)在一個(gè)抽象“池”中，從而形成備選解集成池。該集成池能夠集成許多優(yōu)秀的算子，在它們相互協(xié)調(diào)、共同作用下，使得種群在進(jìn)化過程中獲得更廣泛的備選解。

圖2描述了一般集成池平面圖，簡單來說，先是將不同特性的算子放入一個(gè)“池”中，猶如江河水匯入大海，這里的“池”與一般意義的大海相似。該池中能夠匯聚不同策略方法，如約束處理機(jī)制、啟發(fā)式方法、不同的進(jìn)化策略和選擇策略等。通過構(gòu)造集成池，提高算法整體進(jìn)化效率。并且在集成池選解機(jī)制的作用下，確保種群的收斂性和多樣性被綜合考慮。而對(duì)于集成策略的描述，接下來將一一說明。

圖1 協(xié)同進(jìn)化策略示意圖 圖2 集成池示意圖

2.3.1 概率集成策略

概率集成策略作為算法機(jī)制中最為常用的策略之一，它的設(shè)計(jì)與運(yùn)用對(duì)于整個(gè)算法性能具有舉足輕重的影響。由于實(shí)際問題的不同，工程師對(duì)概率選擇策略要求也不盡相同，并且為了防止因每次迭代評(píng)價(jià)造成的時(shí)間成本浪費(fèi)，通常采用每隔若干代評(píng)價(jià)一次來節(jié)省時(shí)間成本。這里只介紹兩種較為常用的等概率集成和動(dòng)態(tài)概率集成兩種策略。

(1)等概率集成

等概率集成策略是指對(duì)于算法中涉及的操作算子以相同的概率被選擇執(zhí)行，并且通常在種群迭代的整個(gè)過程中，操作算子被選擇概率也不發(fā)生變化。該策略適用于解決對(duì)公平機(jī)制要求較高的實(shí)際問題，但面對(duì)一些易遭受不確定性因素影響的問題時(shí)，將不再適用。

(2)動(dòng)態(tài)概率集成

在動(dòng)態(tài)概率集成策略的設(shè)計(jì)中，參數(shù)設(shè)置常常起到關(guān)鍵作用。設(shè)計(jì)者通常希望通過改變變量參數(shù)值，從而間接改變不同操作算子被選擇概率，進(jìn)而影響算法性能效果。動(dòng)態(tài)概率集成策略中通常要求各操作算子被選擇的概率隨著種群進(jìn)化的不同階段而發(fā)生變化。當(dāng)在算法中涉及的某種操作算子在若干代的評(píng)價(jià)度量表現(xiàn)良好，則理論上應(yīng)適當(dāng)增加該操作算子的被選擇的概率，相應(yīng)的其它操作算子被選擇概率應(yīng)當(dāng)不變或減少(這里對(duì)3個(gè)操作算子而言)。具體來講，當(dāng)種群經(jīng)過每隔若干代進(jìn)化后，需進(jìn)行度量評(píng)價(jià)，對(duì)3個(gè)操作算子被選擇概率依次排序，排名第一的操作算子被選擇概率應(yīng)當(dāng)增大，對(duì)于后兩種操作算子被選擇概率分兩種情況：

情況1 排名第二的操作算子概率不變，排名第三的操作算子被選擇概率減小，減小的概率值應(yīng)與排名第一操作算子增大的概率值相等；

情況2 排名第二和排名第三的操作算子被選擇的概率值都減小，并且兩算子減小的概率值之和應(yīng)與排名第一的操作算子被選擇概率值增加的相同，而至于排名第二和排名第三的操作算子被選擇的具體概率值應(yīng)變化多少，則需要額外度量標(biāo)準(zhǔn)評(píng)價(jià)，然后再按照以上流程執(zhí)行即可。由于在實(shí)際應(yīng)用中情況2更符合現(xiàn)實(shí)，這里僅以情況2方式進(jìn)行舉例描述。

2.3.2 并發(fā)集成策略(無概率集成)

概率集成策略雖然能夠隨著種群進(jìn)化要求來動(dòng)態(tài)的調(diào)整操作算子被選擇概率，然而這種策略有一個(gè)共性問題是解決相關(guān)問題時(shí)所執(zhí)行的操作算子僅對(duì)其包含算子的一種進(jìn)行選擇執(zhí)行，這種方式很大程度上將減少種群解的多樣性，不利于種群獲得較廣泛的前沿面，即獲得相對(duì)最優(yōu)解。為了解決這個(gè)問題，提出不同于概率集成策略的并發(fā)集成策略，即無概率集成。在種群迭代過程中，不再只選擇所包含算子的一種來執(zhí)行，而是對(duì)每個(gè)算子都進(jìn)行運(yùn)作，從而每次迭代都可以獲得比執(zhí)行單一算子相對(duì)較優(yōu)的子代解。

圖3 不同操作算子產(chǎn)生的備選解集成池

同時(shí)為了更好地理解和可視化集成操作算子集成池的思想，圖3給出了一個(gè)關(guān)于集成池的示意圖。可以看出，Q1、Q2和Q3分別是Operator1、Operator2和Operator3算子產(chǎn)生的子代。圖3的重疊區(qū)域展示了一些特殊情況：相同的后代是由不同的操作算子產(chǎn)生的，即使發(fā)生概率很小，在種群進(jìn)化過程中也不可忽視。例如，Q12表示Operator1和Operator2算子產(chǎn)生的相同子代。Q13和Q23分別代表Operator1和Operator3算子、Operator2和Operator3算子生成的相同子代。Q123是Operator1、Operator2和Operator3算子產(chǎn)生的相同子代。顯然，集成池中備選解(Q=Q1+Q2+Q3)將比單一Operator1算子(Q1)、Operator2算子(Q2)或Operator3算子(Q3)產(chǎn)生的子代提供了更好的集成池備選解。

3 高維多目標(biāo)集成算法研究

3.1 集成算法的理論研究

對(duì)于Pareto最優(yōu)近似解集的獲得，在過去的幾十年中，學(xué)者們已經(jīng)提出了多目標(biāo)EA(multi-objective evolutionary algorithm，MOEA)，其中典型的算法包括NSGA-II[32-33]，SPEA2[34]，PESA-II[35]和MOEA/D[36]等。但是，有關(guān)MOEA的早期研究大多集中在具有兩個(gè)或3個(gè)目標(biāo)的問題上。隨著目標(biāo)數(shù)量的增加，目標(biāo)空間維度出現(xiàn)呈指數(shù)增長。同時(shí)原來的MOEA在算法運(yùn)行后期選擇壓力下降，性能降低。特別是在高維目標(biāo)空間中，種群中較大比例的個(gè)體互不支配，從而導(dǎo)致出現(xiàn)目標(biāo)空間急劇震蕩現(xiàn)象。另外，維持種群多樣性的難度也愈發(fā)增加。這些問題是MOEA面臨的重大挑戰(zhàn)，特別是對(duì)于那些基于Pareto支配關(guān)系的選擇算法而言[37-38]。MaOPs在帶來挑戰(zhàn)的同時(shí)，也不斷激勵(lì)著研究人員設(shè)計(jì)新算法機(jī)制，并且通常將用于解決目標(biāo)個(gè)數(shù)在3個(gè)以上的MaOPs的MOEA稱為高維多目標(biāo)優(yōu)化算法(Many-objective evolutionary algorithm，MaOEA)。開發(fā)的MaOEAs可以大致分為如圖4(a)所示的6類，而這些算法按照選擇機(jī)制的不同又可以劃分為如圖4(b)所示的3類。

圖4 高維多目標(biāo)優(yōu)化算法分類

另外，這些性能較好的MaOEAs被證明通常只能很好地解決某些特定種類的MaOPs，但在其它問題上卻表現(xiàn)不佳。因此到目前為止，MaOPs尚未得到充分解決，MaOEA的整體性能仍有提高的空間。

近幾十年來，隨著一些新穎的高效機(jī)制被不斷提出，如啟發(fā)式方法[39]，鄰域大小[40]，小生境方法[41]，約束處理技術(shù)[42]，度量指標(biāo)評(píng)價(jià)機(jī)制[43-44]和其它相關(guān)方法等，集成算法的研究也獲得了廣泛的關(guān)注并取得了令人鼓舞的成果。針對(duì)問題的不同特性，提出了從不同角度的集成方法，如多搜索策略集成[45]、參數(shù)設(shè)置集成[46]以及多EA變量的集成等[47]。Cai[48]等人提出一種蝙蝠集成算法用來解決大規(guī)模單目標(biāo)優(yōu)化問題，該算法通過將6種不同蝙蝠算法(bat algorithm，BA)搜索模式集成，在概率選擇的集成策略作用下，使得算法搜索性能大幅度提升。Wang[49]等人采用不同的集成思路，將8種不同BA搜索模式集成，用于解決單目標(biāo)復(fù)雜的DV-Hop定位問題，結(jié)果證明所設(shè)計(jì)的集成算法能有效改善定位的準(zhǔn)確度。Wang[29]等提出一種新穎的多目標(biāo)集成算法(EF-PD)來解決MOPs，該算法充分發(fā)揮了不同進(jìn)化算子之間的競(jìng)爭(zhēng)以及不同選擇標(biāo)準(zhǔn)間的合作關(guān)系。EF-PD主要是利用分解的方法和資源分配策略用于驅(qū)動(dòng)多個(gè)進(jìn)化算子的競(jìng)爭(zhēng)運(yùn)行，而優(yōu)良后代的移動(dòng)是通過合作選擇機(jī)制進(jìn)行的。Peng[50]等人設(shè)計(jì)了一種在協(xié)同進(jìn)化框架下具有多模態(tài)屬性的多目標(biāo)優(yōu)化算法。具體來講，首先將種群分解成多個(gè)子種群，采用分而治之的方法，同時(shí)利用適應(yīng)度值和多樣性評(píng)價(jià)機(jī)制分別對(duì)各子種群分別進(jìn)行度量，然后在每個(gè)子種群中挑選多個(gè)相對(duì)最優(yōu)解，將這些從各種群中得到的最優(yōu)解作為各種群之間交換的信息，從而最終實(shí)現(xiàn)信息的交互與補(bǔ)償。并且證明通過這種方式，在解決大規(guī)模優(yōu)化問題時(shí)可以節(jié)省大量計(jì)算成本。另外，在BCE算法[51]中，Li等人認(rèn)為在解決某些要求快速收斂的多目標(biāo)問題時(shí)，種群迭代前期需要采用非Pareto支配的選擇策略挑選解，后期則需利用Pareto支配的選擇方法作為算法的多樣性維護(hù)機(jī)制。在Two_Arch2[52]，該算法將基于指標(biāo)的優(yōu)點(diǎn)和基于Pareto支配的選擇標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行融合，使得算法能夠?qū)⑹諗啃暂^好和多樣性較好的解，分別存儲(chǔ)在不同的外部解集中。在D2MOPSO[53]中，基于帕累托的排序機(jī)制通過與粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization，PSO)合作，來構(gòu)建外部解集用于存儲(chǔ)迭代過程中的最優(yōu)解，旨在通過該方法加快種群收斂性。而基于分解方法被用來更新粒子的移動(dòng)方向，從而使種群向收斂性較好的近似PF方向進(jìn)化。

3.2 集成算法的應(yīng)用研究

多目標(biāo)優(yōu)化問題在實(shí)際工程中非常普遍，并且處于較為重要的地位[54-55]。自 20世紀(jì) 60年代早期以來，吸引了越來越多的不同背景研究人員。Zeynali[56]等人提出考慮插電式電動(dòng)汽車等不同不確定性的電力系統(tǒng)可再生分布式發(fā)電和電容器組的多目標(biāo)優(yōu)化短期規(guī)劃方法，并將該方法應(yīng)用于典型的徑向配電網(wǎng)絡(luò)問題。結(jié)果表明，在沒有分布式電源的情況下，插電式電動(dòng)汽車的負(fù)荷需求存在顯著增加，這可能導(dǎo)致配電系統(tǒng)電壓崩潰。并且，所提出的概率集成方法將可再生分布式發(fā)電和電容器組的多目標(biāo)優(yōu)化短期規(guī)劃方法能以最優(yōu)的方式保證配電系統(tǒng)的安全運(yùn)行。Azab[57]等人設(shè)計(jì)了基于粒子群優(yōu)化的單相分布式能源網(wǎng)格集成系統(tǒng)無源濾波器的多目標(biāo)方法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性，在滿足IEEE標(biāo)準(zhǔn)519等網(wǎng)格集成相關(guān)規(guī)范的要求下，得到了理論最優(yōu)濾波分量和良好的衰減諧波。Babaei[58]等人提出的基于實(shí)例的p2p貸款投資建議多目標(biāo)決策支持系統(tǒng)，在與單目標(biāo)模型相比下，其設(shè)計(jì)的多目標(biāo)模型可以改善貸款人對(duì)兩個(gè)投資目標(biāo)的投資決策。Slabi[59]等人對(duì)從冷榨粉中提取向日葵總蛋白進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化統(tǒng)計(jì)分析，然后通過仿真設(shè)計(jì)證明得到的各提取準(zhǔn)則的多項(xiàng)式模型對(duì)響應(yīng)的預(yù)測(cè)是可靠的。Gao[60]等人對(duì)基于響應(yīng)面法的填料床潛熱儲(chǔ)熱系統(tǒng)熱性能進(jìn)行優(yōu)化，并且其多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果表明，與優(yōu)化前的基本工況相比，有效蓄熱時(shí)間、有效蓄熱、火用效率分別降低了30.24%、39.81%、7.50%。Shang[61]等人將高硫天然氣凈化裝置看作一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)果表明其有效地降低了綜合能耗，進(jìn)一步提高了凈化氣的生產(chǎn)效率。Feng[62]等人對(duì)應(yīng)急物流管理中救援站的選擇進(jìn)行優(yōu)化，分析了提高模型求解效率的關(guān)鍵參數(shù)。通過算式計(jì)算和靈敏度分析，驗(yàn)證了模型的正確性和優(yōu)越性。

然而在實(shí)際應(yīng)用問題中，遇到的目標(biāo)數(shù)量常常是3個(gè)以上，是MaOPs。例如，工業(yè)調(diào)度問題[63]，供水組合計(jì)劃[64]，汽車控制器優(yōu)化[65]和軟件模塊集群[66-67]等。Adeem Ali[68]等人提出了一種改進(jìn)的基于分解的進(jìn)化算法，用于解決3個(gè)以上目標(biāo)的車輛延遲時(shí)間的取送問題。通過對(duì)各種小型，中型和大型問題進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明該算法在解決該類問題上具有很明顯的優(yōu)勢(shì)。Khodabandeh[69]等人結(jié)合多目標(biāo)蟻群算法和有限元方法提出了一種新穎的夾具布局優(yōu)化方法，用于優(yōu)化汽車側(cè)面加固的固定裝置布局。結(jié)果表明，所提出的方法可以有效地優(yōu)化車身夾具的布局。Pei[70]等人針對(duì)靈敏度矩陣進(jìn)行直接反演通常會(huì)產(chǎn)生不確定的問題，將識(shí)別問題放入優(yōu)化框架中，提出了一種有效的數(shù)據(jù)輔助優(yōu)化方法，用于故障識(shí)別。為了在解決方案多樣性和收斂性之間取得平衡，建立了支持ε-優(yōu)勢(shì)的多目標(biāo)模擬退火算法。系統(tǒng)的數(shù)值和實(shí)驗(yàn)案例研究證明了該方法的有效性。Zhou[71]等人為解決任務(wù)分配的問題，將名為D-NSGA3的分布式多目標(biāo)進(jìn)化算法與貪婪算法相結(jié)合，在D-NSGA3和貪婪算法之間進(jìn)行交替搜索以增強(qiáng)局部優(yōu)化能力。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法可以有效地解決大規(guī)模任務(wù)分配問題。Xiang[72]等人通過對(duì)21個(gè)特征模型進(jìn)行一系列實(shí)證研究來解決同時(shí)使用多個(gè)(通常是3個(gè)以上)優(yōu)化目標(biāo)的功能模型中的最佳軟件產(chǎn)品選擇問題，為解決多目標(biāo)最優(yōu)軟件產(chǎn)品選擇問題提供了實(shí)用指南。

4 高維多目標(biāo)集成算法發(fā)展趨勢(shì)

高維多目標(biāo)優(yōu)化算法所呈現(xiàn)出的各種功能，不僅僅是單一因素的作用，而是互相依存、互相影響的多個(gè)因素通過適當(dāng)?shù)臋C(jī)制集成和協(xié)同作用的結(jié)果。然而，已有的高維多目標(biāo)優(yōu)化算法大多數(shù)都是采用單一算法的策略來解決高維多目標(biāo)優(yōu)化問題的。因此，設(shè)計(jì)高效的高維多目標(biāo)集成算法相比單一算法能獲得更好的結(jié)果。高維多目標(biāo)集成算法既能保持高維多目標(biāo)優(yōu)化算法的優(yōu)點(diǎn)來解決復(fù)雜度較高的問題，又能針對(duì)不同問題的特性，有目的的選用不同的算子來提高求解問題的效率，進(jìn)而提高算法的整體進(jìn)化效率。另外，在解決高維多目標(biāo)優(yōu)化問題時(shí)，種群的進(jìn)化前期需要偏重收斂性，進(jìn)化后期需要偏重分布性。因此，為了綜合考慮收斂性和分布性在進(jìn)化不同階段的重要性，需要考慮在設(shè)計(jì)高維多目標(biāo)集成算法過程中使兩者隨進(jìn)化進(jìn)程動(dòng)態(tài)平衡。

另外，通過分析發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有的集成算法大多致力于解決單目標(biāo)或MOPs問題，而對(duì)于解決MaOPs問題的高維多目標(biāo)集成算法的研究卻少之又少。因此，為了解決該問題，未來需要重點(diǎn)研究設(shè)計(jì)出性能高效的高維多目標(biāo)集成優(yōu)化算法。通俗的來講，高維多目標(biāo)集成優(yōu)化算法是針對(duì)算子個(gè)數(shù)大于等于3的不同算子，在集成策略的作用下，使各算子能夠發(fā)揮其不同的優(yōu)勢(shì)特性，通過相互協(xié)調(diào)，共同作用，從而達(dá)到“強(qiáng)強(qiáng)聯(lián)合”，獲得較好的性能效果。

在高維多目標(biāo)集成優(yōu)化算法的研究中，為了增強(qiáng)算法性能，需要討論引入的算子個(gè)數(shù)不斷增多，一方面，需要將算子屬性之間的潛在沖突性納入考慮范圍，防止出現(xiàn)“1+1+1<3”的情況；另一方面，設(shè)計(jì)高維多目標(biāo)集成算法的復(fù)雜度也應(yīng)成為衡量的重要方面，通常希望在算法復(fù)雜度許可的范圍內(nèi)，盡可能獲得較好的性能；若不從該角度考慮，片面追求較好性能效果，而算法復(fù)雜度過高，往往在實(shí)際操作中取得事半功倍，不切實(shí)際的效應(yīng)。當(dāng)然，除了以上兩方面，也需要考慮其它影響因素，由于篇幅限制這里將不做詳細(xì)闡述。為了更好的闡述高維多目標(biāo)集成算法設(shè)計(jì)思想，這里僅對(duì)算子個(gè)數(shù)為3的高維多目標(biāo)集成優(yōu)化算法進(jìn)行了說明，而對(duì)于將更多數(shù)量算子進(jìn)行集成，有興趣的讀者可以自行研究。

5 結(jié)束語

首先介紹了多目標(biāo)優(yōu)化問題的定義和多目標(biāo)優(yōu)化算法的相關(guān)概述，對(duì)集成算法從理論上，以NFL定理為依據(jù)說明不存在任何算法在解決所有可能的優(yōu)化問題時(shí)優(yōu)于其它算法；從仿生學(xué)角度，說明算法表現(xiàn)的功能，依靠算法內(nèi)集成了眾多操作算子，通過各個(gè)操作算子之間的有機(jī)結(jié)合，相互協(xié)調(diào)，共同作用來獲得高效性能，最終表明了研究高維多目標(biāo)集成算法的必要性。詳細(xì)介紹了合作—競(jìng)爭(zhēng)策略，協(xié)同進(jìn)化策略和集成池策略的原理；其中集成池旨在通過結(jié)合現(xiàn)有不同操作算子的優(yōu)勢(shì)特性，使其相互協(xié)調(diào)、共同作用，從而達(dá)到“強(qiáng)強(qiáng)聯(lián)合”，獲得較好的性能效果。然后對(duì)現(xiàn)有一些集成算法的理論研究和應(yīng)用研究分別進(jìn)行了綜述，最后對(duì)高維多目標(biāo)集成算法未來的研究方向進(jìn)行了展望。