周同馳，李 征，瞿博陽，李 召，宋曉煒

(中原工學(xué)院 電子信息學(xué)院，河南 鄭州 450007)

0 引 言

在計算機輔助診斷中，磁共振圖像(MRI)發(fā)揮了重要作用，同時，大量學(xué)者對MRI分割展開了研究。分割時，常用的方法有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[1]、分水嶺[2]、水平集[3]、高斯混合模型[4]、模糊C均值(FCM)[5,6]等。其中，F(xiàn)CM模型是一種無監(jiān)督學(xué)習(xí)，允許將一個像素分為一類或多類，之后根據(jù)隸屬度值進行分類，屬于軟分類。由于FCM模型具有理論易懂、執(zhí)行簡單等優(yōu)點，受到了大量學(xué)者的研究，但分割結(jié)果容易受到噪聲和初始聚類中心的影響。

為解決噪聲敏感問題，許多學(xué)者添加濾波操作或改進FCM模型的目標函數(shù)[7]。王小鵬等[8]提出一種自適應(yīng)濾波的快速廣義模糊C均值算法，通過非局部像素的噪聲概率自適應(yīng)確定參數(shù)平衡因子，將該因子用于抑制噪聲，取得了更準確的結(jié)果。其中，原始的快速廣義模糊C均值算法(FGFCM)是先對像素點灰度進行線性加權(quán)和生成新的灰度圖像，然后利用直方圖進行分割。周友行等[9]提出了一種考慮像元間相互關(guān)系的FCM聚類分割算法，使算法具備了更好的抗噪能力。Lei等[10]提出一種基于形態(tài)重構(gòu)和隸屬度濾波的快速魯棒性模糊C均值(FRFCM)聚類算法，對原圖像進行形態(tài)學(xué)重構(gòu)，并使用隸屬度濾波，提高了隸屬度矩陣的有效性。為解決初始值影響算法性能的問題，Zhang等[11]將粒子群算法與FCM模型相結(jié)合，提出了PSOFCM算法，并在實驗中取得了較好的結(jié)果。胡學(xué)剛等[12]利用非局部空間信息構(gòu)建和圖像，根據(jù)和圖像的直方圖，自動選擇初始化聚類中心，在分割時取得了理想的效果。馮飛等[13]使用引力搜索算法確定最優(yōu)聚類中心，避免了隨機初始聚類中心對分割結(jié)果的影響。為同時解決FCM模型對噪聲敏感和初始聚類中心影響分割結(jié)果的問題，提出一種融合灰度重構(gòu)和改進的粒子群算法的FCM模型。應(yīng)用所提算法對MR圖像進行分割實驗，并與同類型的算法的實驗結(jié)果進行對比，結(jié)果顯示，所提算法具有較強魯棒性和較高的分割精度。

1 相關(guān)算法

1.1 模糊C均值(FCM)

在FCM聚類算法中，對于給定的圖像數(shù)據(jù)集X={x1,x2,…,xN}，xi為每個像素點的灰度值，其目標函數(shù)為

(1)

式中：N為圖像的像素個數(shù)，c為聚類中心個數(shù)，m為模糊隸屬度系數(shù)，uik為第i個像素屬于第k個聚類中心的隸屬度，對隸屬度的約束如式(2)所示，xi和vk分別為第i個像素灰度值和第k個聚類中心灰度值，兩者差的平方為其歐氏距離。在隸屬度的約束下，利用拉格朗日最小二乘法分別對聚類中心和隸屬度求導(dǎo)，可得FCM算法的聚類中心和隸屬度更新公式，如式(3)和式(4)所示

(2)

(3)

(4)

1.2 快速廣義模糊C均值(FGFCM)

在FGFCM聚類算法中，計算窗口內(nèi)像素的灰度值和空間坐標信息進行相似度測量，并作為一個權(quán)重對灰度值進行重構(gòu)，之后利用灰度級數(shù)代替像素個數(shù)進行迭代計算。因灰度級數(shù)遠遠小于像素個數(shù)，大大降低了計算復(fù)雜度。其目標函數(shù)為

(5)

式中：q為圖像的灰度級數(shù)，γl為灰度為l的像素個數(shù)，ξl是在原圖像的基礎(chǔ)上經(jīng)過線性加權(quán)和生成的新圖像。線性加權(quán)和的過程可表示為

(6)

(7)

Ss_lj=exp(-max(|aj-al|,|bj-bl|)/λs)

(8)

(9)

其中，Slj為像素l與像素j的相似度系數(shù)，j是窗口內(nèi)除中心點外的其余像素，Nl是以像素l為中心的窗口，Ss_lj和Sg_lj分別為空間坐標信息和灰度信息，a和b分別為像素點的橫坐標和縱坐標。FGFCM算法的聚類中心更新公式為

(10)

隸屬度更新公式為

(11)

2 提出的算法

2.1 灰度重構(gòu)

規(guī)則的鄰域窗口通常會破壞圖像的真實局部結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致分割結(jié)果不佳[14]；另一方面，使用圖像中的每兩個像素的信息可以有效地抑制噪聲[15]。為更好平衡降噪與圖像細節(jié)保留的關(guān)系，本文提出一種灰度重構(gòu)方法。將整幅圖像作為一個窗口，計算第i個像素與其余像素的灰度信息和空間坐標信息，將兩者乘積作為相似度系數(shù)。再根據(jù)相似度系數(shù)對第i像素進行線性加權(quán)和，之后進行Top-hat和Bottom-hat變換完成灰度重構(gòu)。其中，在計算空間信息時，使用快速帶寬法自適應(yīng)生成相關(guān)參數(shù)，減少參數(shù)設(shè)置問題對分割結(jié)果的影響。線性加權(quán)和圖像Xi生成過程如下所示

(12)

(13)

(14)

(15)

xj為第j個像素點的灰度值，H可表示為

(16)

式中：di為灰度偏差，如式(17)所示

(17)

在進行灰度線性加權(quán)和后，進行Top-hat和Bottom-hat變換處理。Top-hat和Bottom-hat變換是圖像差分與形態(tài)學(xué)操作相結(jié)合的結(jié)果，也是灰度圖像特有的操作，有助于處理圖像邊緣信息和保留細節(jié)信息?；叶燃増D像X的Top-hat變換可定義為

That(X)=X-(X°De)

(18)

X的Bottom-hat變換定義為

Bhat(X)=(X·De)-X

(19)

式中：·為閉操作，°為開操作，De為結(jié)構(gòu)元素，本文采用半徑為5的結(jié)構(gòu)元素。

為驗證計算整幅圖像中每兩個像素的有效性，使用僅結(jié)合灰度重構(gòu)處理的FCM模型(GFCM)對圖1進行聚類實驗。其中，圖1(a)為原始圖像，圖1(b)為真實圖像。實驗時，設(shè)置不同的窗口大小進行對比。以均方根誤差(mean square error，MSE)作為衡量標準，其計算公式為

圖1 性能驗證實驗源圖像和真實圖像

(20)

式中：Yk為算法取得的聚類中心，Bk為真實的聚類中心。MSE數(shù)值越小，則分割效果越好。

各個窗口對應(yīng)的MSE見表1，根據(jù)數(shù)據(jù)可知，不恰當(dāng)?shù)拇翱诖笮∪菀灼茐膱D像的局部結(jié)構(gòu)，從而產(chǎn)生不理想的分割結(jié)果。計算圖像中每兩個像素的相關(guān)信息獲得的均方根誤差最小，驗證了所提方法的有效性。

表1 不同窗口下的均方根誤差

2.2 改進的粒子群優(yōu)化算法

PSO是一種基于種群的隨機優(yōu)化技術(shù)，被認為是一種全局搜索策略，得到了廣泛應(yīng)用[16]。在PSO中，種群中的每個成員稱為粒子，代表優(yōu)化問題的潛在解，被稱為粒子群的每個成員代表優(yōu)化問題的潛在解。種群P通過連續(xù)迭代進行演化，候選解的質(zhì)量由相關(guān)聯(lián)的粒子適應(yīng)度值評估。對于每個粒子p有位置向量Zp=(zpr)p、速度向量Vp=(vpr)p、稱之為該粒子最好位置的Pbest，并與鄰域中發(fā)現(xiàn)的最佳位置的粒子相互作用，直至找到全局最優(yōu)Gbest或者滿足最大迭代條件。第t次迭代時，每個粒子都將根據(jù)式(21)和式(22)進行移動

Vp(t+1)=wVp(t)+Q1r1[Pbest(t)-Zp(t)]+

Q2r2[Gbest(t)-Zp(t)]

(21)

Zp(t+1)=Zp(t)+Vp(t+1)

(22)

其中，式(21)為速度更新公式，式(22)為位置更新公式，Q1和Q2是學(xué)習(xí)因子，r1和r2是介于(0，1)之間的隨機數(shù)，w為慣性權(quán)重，當(dāng)w值過大時，粒子速度過快，有更大的概率在全局空間尋優(yōu)，當(dāng)w值過小時，粒子速度過慢，有更大的概率在局部空間尋優(yōu)。

進行圖像分割時，前期主要對全局分割，有初始輪廓后再對細節(jié)部分進行分割，分割速度先快后慢，分割布局為先整體后局部，即快速進行全局尋優(yōu)，慢速進行局部尋優(yōu)?；诖怂枷胩岢鲆环N自適應(yīng)慣性權(quán)重，并用自適應(yīng)權(quán)重替換介于(0，1)之間的隨機數(shù)r1和r2，避免粒子尋優(yōu)時陷入局部最優(yōu)，確保粒子群算法與相應(yīng)模型結(jié)合后，能夠更加有效分割圖像。改進后的慣性權(quán)重更新公式和速度更新公式如式(23)和式(24)所示

(23)

Vp(t+1)=wtVp(t)+(1-wt)(Q1(Pbest(t)-Zp(t))+

Q2(Gbest(t)-Zp(t)))

(24)

其中，t為從1開始迭代的次數(shù)，tmax為設(shè)置的最大迭代次數(shù)。慣性權(quán)重將根據(jù)迭代情況自適應(yīng)調(diào)整，粒子速度也將自適應(yīng)進行調(diào)整，可以更好平衡全局搜索和局部搜索，避免陷入局部最優(yōu)。

2.3 提出的分割算法

應(yīng)用SAPSO算法對GFCM的目標函數(shù)進行優(yōu)化，提出一種FCM算法(SAPSOGFCM)。將聚類中心編碼為粒子位置，對于P個粒子，有(c*P)個優(yōu)化變量需要編碼。第p的粒子的位置可以描述為Zp=(zp1，zp2，…，zpc)，其中，zpk(k=1，…，c)表示第p個解中的第k個聚類中心。適應(yīng)度函數(shù)為

fp=JGFCM

(25)

(26)

其中，Z為粒子位置，即聚類中心，在算法中，最小化fp等同于最小化GFCM模型的目標函數(shù)。為了確保所有粒子在搜索空間內(nèi)移動，最大位置和最小位置分別設(shè)置為圖像的最大灰度值和最小灰度值。在式(2)的約束下，利用拉格朗日最小二乘法對隸屬度求導(dǎo)，可得隸屬度更新公式為

(27)

由式(27)可知，聚類中心確定后，計算隸屬度，結(jié)合自適應(yīng)的粒子群算法后，聚類中心通過自適應(yīng)粒子群算法產(chǎn)生并進行尋優(yōu)，隸屬度和適應(yīng)度值也隨之進行更新。最后，根據(jù)輸出的聚類中心和隸屬度對圖像進行分割。

所提算法流程見表2，通過給定的數(shù)值，先計算帶寬H，進行灰度重構(gòu)，再利用改進的粒子群算法優(yōu)化的FCM模型進行圖像分割。

表2 SAPSOGFCM算法流程

3 實 驗

為了驗證所提算法有較高分割精度和魯棒性，使用Internet brain segmentation repository(IBSR)[17]中的數(shù)據(jù)集進行MR圖像分割實驗。IBSR是MR圖像分割常用數(shù)據(jù)集之一，具有大量真實的腦MR圖像，根據(jù)組成可分為兩大類，第一類為不存在腦脊液圖像，第二類為存在腦脊液圖像，所有圖像均含有噪聲和不均勻度。在對不存在腦脊液的圖像進行分割時，分割為白質(zhì)和灰質(zhì)，對存在腦脊液的圖像進行分割時，分割為白質(zhì)、灰質(zhì)和腦脊液。同時，將所提算法與FCM、PRFLICM、FGFCM、FRFCM、PSOFCM及SAPSOFCM算法進行定量、定性分析對比。所選對比算法不僅可驗證所提算法對噪聲的抑制能力，還可驗證所提算法對初始聚類中心的優(yōu)化能力。

3.1 定量分析標準

定量分析時，采用Jaccard相似系數(shù)(JS)和Dice系數(shù)(DC)，對于一幅圖像，如果M和G分別表示分割圖像和真實圖像，那么JS系數(shù)和DC系數(shù)可表示為

(28)

(29)

JS系數(shù)和DC系數(shù)值均在0與1之間，其值越大，分割效果越好。

3.2 分割實驗

算法參數(shù)設(shè)置見表3。

表3 算法參數(shù)設(shè)置

3.2.1 不含腦脊液圖像分割

本部分，分割類數(shù)設(shè)置為3，分別分割為背景、白質(zhì)和灰質(zhì)。

將分割結(jié)果可視化，如圖2所示。其中，圖2(b1)～圖2(b3)分別為真實分割的整體、灰質(zhì)和白質(zhì)，圖2(c)到圖2(i)分別為FCM、PRFLICM、PSOFCM、SAPSOFCM、FGFCM、FRFCM、SAPSOGFCM，1到3分別為分割的整體、灰質(zhì)和白質(zhì)。從圖中可看出所有算法均獲得了良好的分割結(jié)果，對噪聲都有一定的抗干擾性。但FCM、PSOFCM、FGFCM過多的將白質(zhì)劃分為灰質(zhì)，SAPSOFCM、FRFCM、SAPSOGFCM效果相對較好。其中，SAPSOGFCM的取得的效果最好，如圖中方框區(qū)域所示。同時，對分割結(jié)果進行定量分析，其JS系數(shù)和DC系數(shù)見表4。

表4 不同算法的JS系數(shù)和DC系數(shù)

圖2 實驗1原始圖像和分割結(jié)果

由JS系數(shù)和DC系數(shù)可知，F(xiàn)CM分割結(jié)果和PSOFCM分割結(jié)果相同。加入自適應(yīng)策略的粒子群算法即SAPSO-FCM 的JS系數(shù)和DC系數(shù)均高于FCM和PSOFCM。所提出的SAPSOGFCM算法各項系數(shù)值均是最大，與定性分析中其錯分率低相對應(yīng)。

對同類型圖像再次進行分割實驗，實驗結(jié)果可視化后如圖3所示。其中，圖3(b1)～圖3(b3)分別為真實分割的整體、灰質(zhì)和白質(zhì)，圖3(c)到圖3(i)分別為FCM、PRFLICM、PSOFCM、SAPSOFCM、FGFCM、FRFCM、SAPSOGFCM，1到3分別為分割的整體、灰質(zhì)和白質(zhì)。FGFCM將白質(zhì)過多的劃分為灰質(zhì)，F(xiàn)CM和PSOFCM的分割結(jié)果類似，F(xiàn)RFCM與SAPSOGFCM對白質(zhì)的分割結(jié)果類似，SAPSOGFCM對灰質(zhì)的分割效果明顯接近于真實分割。對分割結(jié)果進行定量分析，其JS系數(shù)和DC系數(shù)見表5。

圖3 實驗2原始圖像和分割結(jié)果

表5 不同算法的JS系數(shù)和DC系數(shù)

從表5中可知，SAPSOFCM的JS系數(shù)和DC系數(shù)值均大于FCM和PSOFCM的系數(shù)值，F(xiàn)RFCM的各項系數(shù)均大于SAPSOFCM。所改進的粒子群算法有效的同時仍不能達到最好效果，當(dāng)與另一種策略相結(jié)合后即SAPSOGFCM，JS系數(shù)和DC系數(shù)皆得到提高。

3.2.2 含腦脊液圖像分割

本部分，分割類數(shù)設(shè)置為4，分別分割為背景、白質(zhì)、灰質(zhì)和腦脊液。

實驗結(jié)果可視化后如圖4所示，其中，圖4(a1)為源圖像，圖4(a2)為真實圖像，圖4(b1)～圖4(b3)分別為真實分割的灰質(zhì)、白質(zhì)和腦脊液，圖4(c)到圖4(i)分別為FCM、PRFLICM、PSOFCM、SAPSOFCM、FGFCM、FRFCM、SAPSOGFCM，1到3分別為分割的灰質(zhì)、白質(zhì)和腦脊液。從圖中可以看出PSOFCM對灰質(zhì)的分割結(jié)果比FCM的分割結(jié)果更接近真實結(jié)果，SAPSOFCM與PSOFCM相比則更接近真實結(jié)果。PRFLICM、FGFCM和FRFCM的白質(zhì)分割結(jié)果比SAPSOGFCM更接近真實分割。在灰質(zhì)和腦脊液的分割中，SAPSOFCM的分割結(jié)果明顯比其余算法的分割結(jié)果更為接近，尤其是腦脊液的實驗結(jié)果。對腦脊液的分割效果均不理想，是由于圖像噪聲的影響，大量的腦脊液被劃分為白質(zhì)或灰質(zhì)。實驗結(jié)果的JS系數(shù)和DC系數(shù)見表6。

表6 不同算法的JS系數(shù)和DC系數(shù)

圖4 實驗3原始圖像和分割結(jié)果

分析各算法的JS系數(shù)和DC系數(shù)可知，各算法在分割圖像的不同區(qū)域都有明顯優(yōu)勢，如PRFLICM在白質(zhì)區(qū)域的JS系數(shù)和DC系數(shù)值最大。自適應(yīng)粒子群算法優(yōu)化的FCM與傳統(tǒng)粒子群算法優(yōu)化的FCM相比，整體上JS系數(shù)和DC系數(shù)值更大。所提出的SAPSOGFCM與上述算法相比，在灰質(zhì)和腦脊液區(qū)域的JS系數(shù)和DC系數(shù)最大。雖然所提算法在白質(zhì)區(qū)域JS系數(shù)和DC系數(shù)小于PRFLICM算法，但整體上所提算法系數(shù)值最大。

對同類型圖像進行實驗，分割結(jié)果可視化后如圖5所示，其中，圖5(a1)為源圖像，圖5(a2)為真實圖像，圖5(b1)～圖5(b3)分別為真實分割的灰質(zhì)、白質(zhì)和腦脊液，圖5(c)到圖5(i)分別為FCM、PRFLICM、PSOFCM、SAPSOFCM、FGFCM、FRFCM、SAPSOGFCM，1到3分別為分割的灰質(zhì)、白質(zhì)和腦脊液。從圖5中可看出，SAPSOFCM算法對灰質(zhì)和腦脊液的分割結(jié)果與FCM和PSOFCM相比更接近真實結(jié)果，對白質(zhì)的分割結(jié)果與PSOFCM的結(jié)果相比更接近真實分割。PRFLICM算法對白質(zhì)的分割結(jié)果與另幾種相比更接近真實結(jié)果。所提算法SAPSOGFCM對灰質(zhì)和腦脊液的分割結(jié)果與其余幾種相比更接近真實分割結(jié)果。實驗結(jié)果的JS系數(shù)和DC系數(shù)見表7。

圖5 實驗4原始圖像和分割結(jié)果

對比各算法的JS系數(shù)和DC系數(shù)，可知SAPSOFCM的各項系數(shù)均大于PSOFCM的系數(shù)。PRFLICM的白質(zhì)分割JS系數(shù)和DC系數(shù)最大，在另兩個區(qū)域的錯分區(qū)域較大，系數(shù)值較小。SAPSOGFCM在灰質(zhì)和腦脊液區(qū)域的JS系數(shù)和DC系數(shù)均大于其余算法的系數(shù)。

表4～表7中，不同算法的JS系數(shù)和DC系數(shù)存在明顯差距，所提算法的JS系數(shù)和DC系數(shù)均取得較理想效果。與FCM、FGFCM、FRFCM、PRFLICM相比，所提算法不僅考慮噪聲，而且還考慮了隨機選取初始聚類中心的影響，與PSOFCM相比，自適應(yīng)粒子群優(yōu)化算法可以更好平衡全局尋優(yōu)與局部尋優(yōu)，從而取得更為理想的結(jié)果。

表7 不同算法的JS系數(shù)和DC系數(shù)

3.3 算法參數(shù)分析

與傳統(tǒng)模糊C均值算法不同，本算法需要根據(jù)經(jīng)驗值設(shè)置粒子群優(yōu)化算法中的參數(shù)和參數(shù)σ，為避免影響實驗結(jié)果，根據(jù)文獻[18]確定了粒子群算法的相關(guān)參數(shù)值。為評價參數(shù)σ對所提算法的影響，設(shè)定σ=[25,30,35,40,45,50,55,60]，分別對實驗圖像進行分割實驗，對實驗圖像的白質(zhì)DC系數(shù)進行統(tǒng)計，如圖6所示。從圖6可以看出，σ值對不同圖像的影響程度不同，σ值的選取對實驗結(jié)果有一定影響，但浮動較小，隨之σ值增大，DC系數(shù)趨于穩(wěn)定狀態(tài)。σ值等于40時，4幅圖像的DC系數(shù)有同一趨勢，其余值的DC系數(shù)均在最大值附近波動。對于本文實驗，選取σ=40，達到實驗要求。對于不同算法，可根據(jù)需要取得的效果，適當(dāng)增加σ值或減小σ值。

圖6 不同σ值對應(yīng)的白質(zhì)DC系數(shù)

4 結(jié)束語

本文通過對原圖像進行灰度重構(gòu)，并對FCM算法的聚類中心進行優(yōu)化，提出了一種FCM算法。利用IBSR數(shù)據(jù)集中的腦MR圖像對所提算法進行驗證，實驗結(jié)果驗證了所提出的灰度重構(gòu)和改進的PSO算法的有效性，進一步驗證了所提算法能更好抑制噪聲和解決初始聚類中心影響分割結(jié)果的問題，取得理想的效果。但引入啟發(fā)式算法后，F(xiàn)CM的計算復(fù)雜度變高，耗費時間增加。為此，下一步將針對復(fù)雜度進行改進，以減小運算時間。