王志飛 曾 靜

(沈陽(yáng)化工大學(xué)信息工程學(xué)院 遼寧 沈陽(yáng) 110142)

0 引 言

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，大型復(fù)雜的化工過程在現(xiàn)代工業(yè)發(fā)展中日益增加，狀態(tài)估計(jì)在化工領(lǐng)域也得到廣泛的應(yīng)用。近年來，隨著對(duì)模型預(yù)測(cè)控制(MPC)的研究日益深入，基于滾動(dòng)優(yōu)化原理的滾動(dòng)時(shí)域估計(jì)(MHE)也得到了廣泛研究[1-4]，MHE優(yōu)勢(shì)在于能夠處理顯式非線性系統(tǒng)和決策變量的約束。

MHE的基本思想是將估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為固定時(shí)域長(zhǎng)度的優(yōu)化問題，避免優(yōu)化計(jì)算量隨時(shí)間的增加而增加[5]。在MHE中，狀態(tài)估計(jì)是通過在線求解一個(gè)最小誤差平方和的優(yōu)化問題來確定的。為了得到一個(gè)有限維度的問題，MHE的估計(jì)窗口一般選擇為有限的。在采樣時(shí)刻，當(dāng)有新的測(cè)量值可用時(shí)，丟棄估計(jì)窗口中最舊的測(cè)量值，再次求解有限維的優(yōu)化問題，得到狀態(tài)新的估計(jì)[6]。MHE需要可靠的到達(dá)代價(jià)函數(shù)近似，雖然開發(fā)了不同的方法近似到達(dá)代價(jià)函數(shù)，包括文獻(xiàn)[7]中的擴(kuò)展卡爾曼濾波、文獻(xiàn)[8]的無(wú)跡卡爾曼濾波和文獻(xiàn)[9-10]中的粒子濾波，但通常確定帶約束非線性系統(tǒng)的到達(dá)代價(jià)函數(shù)是一項(xiàng)困難的任務(wù)。

本文采用了擴(kuò)展卡爾曼濾波近似到達(dá)代價(jià)函數(shù)的方法，針對(duì)連續(xù)攪拌釜式反應(yīng)器及分離過程，在建立模型的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)該化工過程的滾動(dòng)時(shí)域估計(jì)仿真實(shí)驗(yàn)，仿真結(jié)果表明該方法能夠有效地處理化工過程中非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問題。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 系統(tǒng)描述

假設(shè)非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式如下：

(1)

式中：x∈Rn表示狀態(tài)向量，且t=0時(shí)刻的狀態(tài)為x0；w∈Rn是狀態(tài)擾動(dòng)向量；y∈Rn為輸出測(cè)量值；v∈Rq表示測(cè)量噪聲向量。為了簡(jiǎn)化討論但又不失一般性，不考慮系統(tǒng)的輸入。

假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)x滿足約束x∈X，其中集合X是凸集合。狀態(tài)擾動(dòng)w∈W，測(cè)量噪聲v∈V是有界的，且：

已知θ和θv為正整數(shù)，假設(shè)非線性函數(shù)f在X×W中滿足局部Lipschitz條件，h在X中滿足局部Lipschitz條件。本文進(jìn)一步假設(shè)系統(tǒng)式(1)的輸出y在同步時(shí)間瞬時(shí)采樣{tk≥0}，如tk=t0+kΔ,初始時(shí)間t0=0,Δ為固定時(shí)間間隔，k為正整數(shù)。

1.2 擴(kuò)展卡爾曼濾波

擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)的基本思想是利用泰勒展開，將非線性方程直接線性化。線性化后的系統(tǒng)模型和系統(tǒng)實(shí)際模型存在一定的差別，非線性越強(qiáng)差別越大，但是EKF的優(yōu)勢(shì)不容小覷[11]。

上述系統(tǒng)的對(duì)應(yīng)模型為：

x(k)=f(x(k-1),w(k-1))

z(k)=h(x(k),v(k))

(2)

線性化：

(3)

預(yù)測(cè)步驟：

(4)

P(k|k-1)=F(k-1)P(k-1|k-1)FT(k-1)+

L(k-1)Q(k-1)LT(k-1)

(5)

增益：

K(k)=P(k|k-1)HT(k)×[HT(k)P(k|k-1)

H(k)+M(k)R(k)MT(k)]-1

(6)

更新步驟：

(7)

P(k|k)=[I-K(k)H(k)]×P(k|k-1)

(8)

1.3 滾動(dòng)時(shí)域估計(jì)

對(duì)于上述系統(tǒng)式(2)的經(jīng)典MHE(Moving horizon estimation)的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式設(shè)計(jì)如下：

(9)

通常假設(shè)過程噪聲w和測(cè)量擾動(dòng)v取分段的常數(shù)值，采樣時(shí)間為Δ，這樣可以使上述問題成為有限維度問題，便于計(jì)算處理。對(duì)于一個(gè)過程而言，只要采樣時(shí)間足夠小，分段常數(shù)擾動(dòng)和噪聲能夠適當(dāng)?shù)夭蹲綍r(shí)變擾動(dòng)和噪聲對(duì)該過程的影響。

為了保證上述式(9)的最優(yōu)解，只需要其中的代價(jià)函數(shù)最小。代價(jià)函數(shù)V(tk-N)在總結(jié)未包括在估計(jì)范圍內(nèi)的過去信息中起著重要的作用。到達(dá)代價(jià)函數(shù)的準(zhǔn)確性不僅影響性能，而且還會(huì)影響MHE的穩(wěn)定性，所以確定一個(gè)約束非線性系統(tǒng)的到達(dá)代價(jià)函數(shù)是一項(xiàng)艱難的任務(wù)。本文中的到達(dá)代價(jià)函數(shù)采用擴(kuò)展卡爾曼濾波近似代替，形式為：

(10)

2 化工過程模型描述

滾動(dòng)時(shí)域估計(jì)應(yīng)用于連續(xù)攪拌反應(yīng)器及分離過程，該過程模型包括兩個(gè)相連的連續(xù)攪拌反應(yīng)器(CSTR)和一個(gè)閃蒸槽分離器，如圖1所示。

圖1 循環(huán)流反應(yīng)器分離工藝

詳細(xì)的反應(yīng)過程類似于文獻(xiàn)[12]。第一個(gè)反應(yīng)器的進(jìn)料流中包含純凈反應(yīng)物A，流速為F10，溫度為T10。期望發(fā)生的反應(yīng)是A轉(zhuǎn)化為B，同時(shí)該過程也包含副反應(yīng)B轉(zhuǎn)化為C。從CSTR1端口流入CSTR2中的物料流的流速為F1，溫度為T1，此外純凈的反應(yīng)物A以流速F20和溫度T20送入CSTR2，CSTR2中發(fā)生的反應(yīng)與CSTR1相同。CSTR2的一部分出料物經(jīng)過閃蒸槽分離器循環(huán)流入CSTR1，其流速為Fr溫度為T3。每一個(gè)反應(yīng)器裝備有夾套，用于向反應(yīng)器提供/輸出熱量?；谫|(zhì)量和能量守恒建立的標(biāo)準(zhǔn)模型，可以通過9個(gè)常微分方程來描述該反應(yīng)過程的動(dòng)力學(xué)：

xBrΔHvap2+xCrΔHvap3)

假設(shè)分離器中發(fā)生的反應(yīng)量可以忽略不計(jì)，并且每個(gè)組分的相對(duì)揮發(fā)性在工作溫度范圍內(nèi)保持不變。與閃蒸罐中液體成分相關(guān)的頂流成分建模代數(shù)方程描述如下：

(11)

過程涉及到的變量含義、參數(shù)的值詳細(xì)介紹如表1和表2。注意，反應(yīng)(1)和反應(yīng)(2)分別指A→B和B→C的化學(xué)反應(yīng)。

表1 反應(yīng)器的過程變量

表2 反應(yīng)器過程參數(shù)

續(xù)表2

3 仿真設(shè)計(jì)與結(jié)果

3.1 仿真設(shè)計(jì)

本節(jié)設(shè)計(jì)了擴(kuò)展卡爾曼濾波和MHE的仿真實(shí)驗(yàn)，通過對(duì)比來說明狀態(tài)估計(jì)性能的優(yōu)劣。在仿真設(shè)計(jì)上，采樣時(shí)間Δ=0.002 h，系統(tǒng)狀態(tài)的界限約束在0

x0=[0.193 9, 0.740 4, 528.348 2 K, 0.216 2,

0.719 0, 520.064 9 K, 0.071 6, 0.737 3,

522.376 5 K]T

初始估計(jì)值為：

522 K, 0.072, 0.705, 519 K]T

當(dāng)N=20和N=30時(shí)，MHE和擴(kuò)展卡爾曼濾波的軌跡分別如圖2、圖3所示。然后本文分別計(jì)算了EKF和MHE在各采樣時(shí)刻與實(shí)際狀態(tài)的誤差，結(jié)果如圖4所示。

圖2 N=20時(shí)各狀態(tài)變量軌跡圖

圖3 N=30時(shí)各狀態(tài)變量軌跡圖

圖4 N=30時(shí)各狀態(tài)誤差軌跡圖

3.2 結(jié)果分析

由圖可見，在區(qū)間0～0.05 h，MHE的軌跡波動(dòng)幅度較大，考慮到在狀態(tài)估計(jì)的初期MHE的估計(jì)窗口數(shù)據(jù)的不完整，造成估計(jì)的誤差較大，故可以忽略該段時(shí)間內(nèi)對(duì)估計(jì)性能的影響，理想的MHE估計(jì)性能主要參考區(qū)間為0.05～0.2 h。

從圖2和圖3中可以看出擴(kuò)展卡爾曼濾波和MHE都能夠很好地追蹤系統(tǒng)的實(shí)際狀態(tài)。對(duì)比圖2、圖3中MHE的各狀態(tài)軌跡表現(xiàn)的更加平滑，波動(dòng)較小。說明了隨著滾動(dòng)窗口N的增大，MHE的估計(jì)效果也會(huì)更好，但是滾動(dòng)窗口的增加，計(jì)算量同樣也會(huì)增加，仿真時(shí)長(zhǎng)也會(huì)相應(yīng)延長(zhǎng)。

然后，為了比較擴(kuò)展卡爾曼濾波和滾動(dòng)時(shí)域估計(jì)的效果，算出了EKF和MHE與實(shí)際系統(tǒng)狀態(tài)的誤差平均值，如表3所示。

表3 狀態(tài)估計(jì)誤差平均值

計(jì)算方法如下：

4 結(jié) 語(yǔ)

滾動(dòng)時(shí)域估計(jì)作為一種有效的狀態(tài)估計(jì)方法對(duì)復(fù)雜工業(yè)過程的控制與優(yōu)化產(chǎn)生了巨大的影響。本文將擴(kuò)展卡爾曼濾波和滾動(dòng)時(shí)域估計(jì)方法引入到連續(xù)攪拌釜式反應(yīng)器的狀態(tài)估計(jì)問題中，將非線性系統(tǒng)的估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為滾動(dòng)時(shí)域的最優(yōu)值問題，合理地處理非線性系統(tǒng)的估計(jì)問題。仿真結(jié)果表明了針對(duì)有約束非線性連續(xù)攪拌釜式反應(yīng)器及分離過程，擴(kuò)展卡爾曼濾波及滾動(dòng)時(shí)域估計(jì)方法都能有效估計(jì)出系統(tǒng)真實(shí)狀態(tài)。通過對(duì)狀態(tài)估計(jì)誤差平均值的進(jìn)一步比較，說明滾動(dòng)時(shí)域估計(jì)效果要優(yōu)于擴(kuò)展卡爾曼濾波，且隨著滾動(dòng)窗口的增大，MHE的估計(jì)效果也會(huì)更好。