高全勝

（常州紡織服裝職業(yè)技術學院，江蘇 常州 213164）

橋式起重機在工業(yè)中扮演著至關重要的角色。它們在船塢、建筑工地、鋼廠、倉庫、核電和廢物儲存設施中廣泛使用。橋式起重機在移動貨物時候，貨物會來回的擺動[2]，影響裝載效率，有時候還會帶來一定的危險[1-3]。因此，如何控制有效載荷擺動，是橋式起重機的穩(wěn)定運行的重要問題。橋式起重機系統(tǒng)有效載荷可以建模為一個點質(zhì)量，懸索建模為一個剛性鏈接，并且連接到小車上。對小車施加激勵命令信號，有效載荷的運動使用二維模型來描述。事實證明，對小車加速度命令控制是減少有效載荷擺動的有效方法[4-5]。本文使用優(yōu)化方法找到最佳的bang-coast-bang 加速度基函數(shù)[6]。優(yōu)化加速函數(shù)以最小化有效載荷的擺動。將動態(tài)方程應用于簡化的橋式起重機模型，并使用Matlab 中的符號計算工具包導出各個關系式，再利用優(yōu)化工具包，對其求解。

1 橋式起重機數(shù)學模型

簡化后的橋式起重機由可移動小車、載荷和懸索構成如圖1 所示。

這里，r 是懸索的長度，m 是載荷的質(zhì)量，M是小車的質(zhì)量，θ 是懸索相對于垂線的角度，逆時針為正。x 是小車位置的橫坐標。

下面根據(jù)系統(tǒng)模型求出系統(tǒng)的運動方程。歐拉- 拉格朗日運動方程為

其中n 是系統(tǒng)的自由度，q={q1，…，qn}是一組廣義坐標。其中，L 為拉格朗日函數(shù)：L=T-V，是n 自由度的系統(tǒng)動能和勢能之間的差。當前橋式起重機系統(tǒng)模型只有兩個自由度，我們選擇q={x，θ}作為廣義坐標。使用Matlab 中的符號計算工具包可以導出以下各個變量的表達式。其中，小車的速度為:

小車的運動為水平運動，因此，勢能的計算只需考慮載荷即可，系統(tǒng)的勢能為:

2 數(shù)值仿真

Bang-Coast-Bang 加速度控制能夠減小載荷的擺動，又能高效地將貨物送至目的地。有兩個主要因素影響有效載荷擺動角的值：小車行進的距離，以及加速度命令中兩個脈沖的寬度（見圖2）。系統(tǒng)優(yōu)化可以歸結為：加速段、滑行段以及減速段的時間分配優(yōu)化問題。設小車移動路徑長度為x=40m，加速段時長為t1=4.5s，滑行段時長為t2=10s，減速段時長為t3=4.5s，小車在經(jīng)過加速、滑行、減速后，經(jīng)過x 長的位移后靜止下來，距離、加速度與時間存在如下關系:

圖2 Bang-Coast-Bang 加速指令

3 系統(tǒng)優(yōu)化

小車的加速指令如圖2 所示，可以看出小車經(jīng)過加速、滑行、減速三個階段。圖3 顯示載荷在整個過程中不斷擺動。當小車停止運動時，載荷還在繼續(xù)擺動（陰影區(qū)域）。優(yōu)化的目標就是：當小車停下來的時候，載荷也應該停止擺動，保存靜止。因此應該設置優(yōu)化目標為載荷擺角函數(shù)積分的絕對值為最小:

圖3 載荷的擺動

由于小車運動距離是固定的，從系統(tǒng)的動力學方程(6)以及距離、加速度與時間關系式(7)，可以看出擺角θ 是加速段時長t1、滑行段時長t2、減速段時長t3 的函數(shù)。為方便優(yōu)化，引入新的變量tf=t1+t2+t3，表示整個加速段、滑行段、減速段總的時間長度。將優(yōu)化約束條件設置為:

優(yōu)化初始值設置為t1=4.5s，t3=4.5s，tf=19s，優(yōu)化目標函數(shù)為(10)式，使用Matlab 的優(yōu)化工具箱，經(jīng)過幾輪迭代可以找到目標函數(shù)的局部最小值。

根據(jù)公式(7)和(8)可以計算出優(yōu)化后的加速度如圖4，這就是優(yōu)化后的Bang-coast-bang 加速指令。從圖5 可以看出優(yōu)化后，小車停下后，載荷也同時靜止下來，實現(xiàn)了我們的優(yōu)化目標。

圖4 優(yōu)化后的Bang-Coast-Bang 加速指令

與時間最優(yōu)控制相關的一個缺點是它無法實時實施，因為需要預先計算系統(tǒng)軌跡，因此沒有用于起重機的時間最優(yōu)控制方法[2]。也就是說，此類橋式起重機優(yōu)化問題沒有一個全局最優(yōu)解，只包含多個可行的解。所以我們要確保沒有錯過其他更好的解。一種方法是求解具有不同初始條件的優(yōu)化問題。借助matlab的全局優(yōu)化工具箱，可以設定多個初始值求解。由于求解器的每次運行都是獨立的，可以并行運行以加快進程。

表1 不同的初始值

圖6 顯示的是前3 個最好的優(yōu)化結果，這是由不同的初始值生成的。

從圖6 可以看到，雖然有效載荷在完成后保持穩(wěn)定，但不同的優(yōu)化結果會導致運動過程中出現(xiàn)較大的擺角振蕩。下面將最大振幅限制為小于±5 度。我們通過向添加額外的非線性約束來做到這一點。圖7 顯示了前3 個可行的新的優(yōu)化結果。從這些新的優(yōu)化結果可以看出載荷擺動被限制在5 度以下。

圖6 多個初始值的優(yōu)化結果

圖7 增加擺幅限制的優(yōu)化結果

4 結論

本研究將Bang-Coast-Bang 控制應用于橋式起重機優(yōu)化控制中，建立了系統(tǒng)的數(shù)學模型，在matlab 中進行仿真。仿真結果表明：該控制器實現(xiàn)了良好的定位精度和顯著減少擺動效果。