蔡江佳,李 全

（寧波大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,浙江 寧波 315211）

在實(shí)際的金融市場(chǎng)中,由于經(jīng)典的幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型不能很好地反映市場(chǎng)波動(dòng)的不對(duì)稱性,因此幾十年來許多研究學(xué)者提出了各種不同的金融模型來刻畫風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格動(dòng)態(tài).Cox 等[1]首次提出了常彈性方差模型,并給出了該模型下的期權(quán)價(jià)值.在最優(yōu)投資領(lǐng)域,Gao[2]假定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格滿足常彈性方差模型,并利用Legendre 轉(zhuǎn)換、對(duì)偶定理和變量變換技術(shù)得到了退休前和退休后的最優(yōu)投資策略.與Gao[2]研究的問題不同,張初兵等[3]考慮了常彈性方差模型下確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問題.夏迪等[4]假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格服從常彈性方差模型,但考慮了市場(chǎng)中存在交易成本,得到了風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的最優(yōu)投資組合.異質(zhì)貼現(xiàn)是一種重要的非恒定貼現(xiàn),它描述一個(gè)事實(shí),即決策者對(duì)從消費(fèi)和遺產(chǎn)中得到的效用進(jìn)行貼現(xiàn)是不一樣的,因此Li 等[5]在常彈性方差模型的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮了異質(zhì)貼現(xiàn)這一因素,并得到了最優(yōu)投資策略.同樣假定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格滿足常彈性方差模型,但Li 等[6]考慮了家庭消費(fèi)支出為隨機(jī)情形時(shí)的最優(yōu)資產(chǎn)配置問題.

上述文獻(xiàn)都是在常彈性方差模型下進(jìn)行研究,且假定存款利率與貸款利率相同.然而,存貸利率可以調(diào)節(jié)社會(huì)資金的供給與需求,存貸利率的不同很大程度上影響著投資者的收益.常浩等[7]針對(duì)不同的借貸利率,根據(jù)投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好,分別采用了三種不同的效用函數(shù),運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法得到了最優(yōu)投資策略.常浩等[8]在借貸利率不同的基礎(chǔ)上,將負(fù)債過程引入到投資組合問題中,考慮了均值-方差模型下的最優(yōu)投資問題,并給出了有效前沿的解析表達(dá)式.王偉等[9]考慮了指數(shù)效用和不同借貸利率情形下確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問題.甘少波[10]研究了在不同借貸利率和均值方差準(zhǔn)則下確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問題.與已有文獻(xiàn)相比,郭文旌等[11]進(jìn)一步考慮了交易費(fèi)用,研究了交易費(fèi)用對(duì)最優(yōu)投資策略的影響.高若嘉[12]也考慮了存貸利差情形,但其研究的是家庭最優(yōu)投資消費(fèi)和人壽保險(xiǎn)問題.本文假定借貸利率不同,且風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格服從常彈性方差模型.與甘少波[10]的研究不同,本文研究指數(shù)效用和對(duì)數(shù)效用下的最優(yōu)投資問題.

1 金融市場(chǎng)模型

1.1 資產(chǎn)價(jià)格動(dòng)態(tài)過程

式中,r、R分別為無風(fēng)險(xiǎn)利率、貸款利率,且R﹥r(jià).引入符號(hào)(x)-=- min(x,0),則上述動(dòng)態(tài)過程可以寫為

另一種資產(chǎn)是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn),將其看成為股票S.S(t)表示該股票在t時(shí)刻的價(jià)格,假設(shè)股票的價(jià)格過程滿足常彈性方差模型,該股票的價(jià)格動(dòng)態(tài)過程滿足

式中:μ為股票的預(yù)期收益率;b為彈性參數(shù)且b﹤ 0;σS b(t)為股票的波動(dòng)率,即在t時(shí)刻,股票的波動(dòng)率受到股票價(jià)格的影響.

1.2 財(cái)富動(dòng)態(tài)過程

假設(shè)投資者在t時(shí)刻投資于股票的資金數(shù)量為π(t),用X(t)表示投資人t時(shí)刻的財(cái)富,則投資在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的資金為X(t) -π(t).如果π(t) ﹤ 0,表示賣空股票.如果X(t) -π(t) ≥ 0,表示投資者不需要從銀行借款;如果X(t) -π(t) ﹤ 0,則表示需要從銀行借入資金,借入的資金為因此,財(cái)富過程滿足如下微分方程:

其中U(x) 是效用函數(shù).

定義問題(5)的值函數(shù)為

其中邊界條件H(T,x,s) =U(x).

根據(jù)隨機(jī)控制理論,得到如下 Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)方程:

式中:H t,H x,Hs為H(t,x,s)關(guān)于變量t,x,s的一階導(dǎo)數(shù);H xx,Hss為H(t,x,s)關(guān)于變量x,s的二階導(dǎo)數(shù);Hxs為H(t,x,s)關(guān)于變量x,s的混合偏導(dǎo)數(shù).

定義集合θ= {(t,x) ? [0,T] ×R|x-π(t) ≥ 0},于是上述HJB 方程可以表示為

對(duì)式(8)關(guān)于π(t)求導(dǎo),利用一階最優(yōu)條件可得

解方程(9)得到最優(yōu)投資策略π*(t):

為了計(jì)算方便,定義變量δ,當(dāng)(t,x)?θ時(shí),有δ=r;當(dāng)(t,x)?θ時(shí),有δ=R.則HJB 方程(8)可以改寫為

結(jié)合式(10)和變量δ可得

再將式(12)代入HJB 方程(11),可得如下微分方程:

由式(12)可知,為了得到最優(yōu)投資策略π*(t)的顯式表達(dá)式,需要解方程(13).

2 模型求解

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,指數(shù)效用和對(duì)數(shù)效用是最常用的兩種效用函數(shù).分別求解指數(shù)效用和對(duì)數(shù)效用函數(shù)下的最優(yōu)投資策略.

2.1 指數(shù)效用函數(shù)

假設(shè)U(x) 為指數(shù)效用函數(shù),即效用函數(shù)滿足下式:

其中α﹥ 0是風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù).

投資者的目標(biāo)是使得終端財(cái)富的期望效用達(dá)到最大,即

定理1指數(shù)效用函數(shù)下最優(yōu)投資策略為

最優(yōu)值函數(shù)為

其中C(t)和D(t)分別為

證明首先猜測(cè)最優(yōu)值函數(shù)H(t,x,s)滿足如下方程:

對(duì)式(15)的兩邊關(guān)于變量t,x,s分別求一階和二階導(dǎo)數(shù),得

其中Ct是C(t)關(guān)于時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù),Dt是D(t)關(guān)于時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù).

將方程(16)代入HJB 方程(13),整理可得

由方程(17)可以看出,只有當(dāng)變量s-2b的系數(shù)為0 時(shí)方程才可以成立,所以得到如下兩個(gè)微分方程:

求解方程(18)和(19)可以得到

再將Hx、Hxs、Hxx、C(t)的表達(dá)式代入最優(yōu)投資策略式(10),可得

由于借貸的界限為x-π*(t)=0,定義借貸曲線ν(t)的表達(dá)式為:

其中θ= {(t,x) ? [ 0,T] ×R|x≥ν(t)},即x≥ν(t)時(shí),投資者不需要貸款;相反,當(dāng)x﹤ν(t)時(shí),投資者需要貸款,且貸款的金額為

2.2 對(duì)數(shù)效用函數(shù)

假定投資者的效用函數(shù)U(x) 是對(duì)數(shù)效用函數(shù),即

同樣,投資者的目標(biāo)是使得終端財(cái)富的期望效用達(dá)到最大,即

且滿足邊界條件H(T,x,s)= lnx.

定理2對(duì)數(shù)效用函數(shù)下的最優(yōu)投資策略為

根據(jù)該變換,可以得到如下關(guān)系式:

將式(30)代入式(13)和(12)中,分別得到微分方程和最優(yōu)投資策略π*(t):

現(xiàn)令效用函數(shù)為U(x)= lnx,x﹥ 0,利用Legendre 轉(zhuǎn)換,可得

引入關(guān)于t,s的函數(shù)f(t,s)和關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)q(T-t).再令

將式(36)代入式(33)得到

其中qt(T-t)是q(T-t)關(guān)于時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù),f t,ftt是f(t,s)關(guān)于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù).對(duì)方程(37)分離變量可得如下兩個(gè)微分方程:

再求解微分方程式(38)和(39),得

由于借貸的界限為x-π*(t)=0,定義借貸曲線ν1(t)的表達(dá)式為:

得到θ= {(t,x) ? [0,T] ×R|x≥ν1(t)},即x≥ν1(t)時(shí),投資者不需要貸款;相反,x﹤ν1(t)時(shí),投資者需要貸款,且貸款的金額為

3 結(jié)論分析與數(shù)值算例

3.1 結(jié)論分析

定理1 表明:當(dāng)投資者的效用函數(shù)滿足指數(shù)效用,且其財(cái)富和借貸曲線之間的關(guān)系滿足x≥ν(t)時(shí),投資者的最優(yōu)投資策略為式(14)中的第一式;若x﹤ν(t),則為式(14)的第二式.此時(shí)投資者需要從銀行借款,借款的金額應(yīng)為.另外還可以從定理1 發(fā)現(xiàn):(1)借貸曲線與風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)α有負(fù)相關(guān)關(guān)系,即隨著α增大,借貸曲線在減小,這表明風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)α越大,相應(yīng)的借貸界限會(huì)越低,在同樣的財(cái)富下,投資者會(huì)更愿意向銀行借款;(2)借貸曲線是時(shí)間T的減函數(shù),投資期限越長(zhǎng),借貸曲線的值就會(huì)越低,從而在其他參數(shù)值一樣的情況下,投資者就會(huì)向銀行借款;(3)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率參數(shù)b是借貸曲線的減函數(shù),因?yàn)閰?shù)b越大,說明風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率就會(huì)越大,所以借款曲線在增大.

從定理2 可以得到,當(dāng)投資者的效用函數(shù)滿足對(duì)數(shù)效用函數(shù)時(shí),借貸曲線與各參數(shù)的關(guān)系和定理1 中一樣.

3.2 數(shù)值算例

通過數(shù)值計(jì)算來分析模型主要參數(shù)對(duì)效用函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)的最優(yōu)投資策略π*(t)的影響,其中取R=0.05,μ=0.06,b=-0 .5,σ= 0.08,x=10,s=2.最優(yōu)投資策略的參數(shù)影響如圖1～3 所示.

圖1 參數(shù)x、μ 對(duì)最優(yōu)投資策略的影響

從圖1 可以發(fā)現(xiàn)μ、x與最優(yōu)投資策略之間呈正相關(guān)關(guān)系.因?yàn)棣瘫硎撅L(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的預(yù)期回報(bào)率,當(dāng)μ逐漸增大時(shí),表示投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的收益會(huì)增大,從而投資者愿意加大對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資.另外,當(dāng)投資者的初始財(cái)富越多時(shí),投資者自然會(huì)增加風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資數(shù)量,即x越大,最優(yōu)投資策略的值越大.從圖2 中可以得到最優(yōu)投資策略隨著σ、R的增大而減小.σ是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率,波動(dòng)率越大,說明風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格波動(dòng)就會(huì)越大,投資者的目標(biāo)是為了獲得最大的收益,所以隨著σ的增大自然會(huì)減少對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資.此外,R是貸款的利率,貸款利率越高,投資者越不愿意貸款,因此會(huì)減少對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資.最后從圖3 可以看到π*(t)和參數(shù)b是負(fù)相關(guān)的系.從風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格動(dòng)態(tài)可知風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率是關(guān)于其價(jià)格的一個(gè)函數(shù),也就是說價(jià)格也會(huì)影響波動(dòng)率.當(dāng)b小于0 時(shí),參數(shù)b越大則風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率就會(huì)越小,因此股票價(jià)格的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)越小,投資者自然選擇加大對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資.

圖2 參數(shù)σ、R 對(duì)最優(yōu)投資策略的影響

圖3 參數(shù)s、b 對(duì)最優(yōu)投資策略的影響

4 結(jié)論

本文研究了基于存貸利差和常彈性方差模型的最優(yōu)投資組合問題,通過HJB 方程和最優(yōu)一階條件,得到了指數(shù)效用和對(duì)數(shù)效用函數(shù)下最優(yōu)投資策略的解析解.結(jié)果表明:(1)投資者是否借貸是由借貸曲線和投資者的財(cái)富x共同決定的;(2)在指數(shù)效用函數(shù)下,隨著風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)α和時(shí)間t的增大,投資者的借貸曲線在減小;(3)在對(duì)數(shù)效用函數(shù)下,借貸曲線與風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)α和時(shí)間t均無關(guān),僅與投資者的財(cái)富和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格有關(guān);(4)在指數(shù)效用函數(shù)和對(duì)數(shù)效用函數(shù)下,參數(shù)b均與借貸曲線呈負(fù)相關(guān)關(guān)系.