孫一博， 孟秀云， 邱文杰

(1.北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081； 2.北京航天自動(dòng)控制研究所，北京 100854)

本文研究的滑翔飛行器是一種由飛機(jī)裝載、可在多種高度和速度條件下投放的、通過(guò)大展弦比彈翼實(shí)現(xiàn)滑翔增程的空對(duì)地精確制導(dǎo)飛行器，具有價(jià)格低廉、與載機(jī)相容性好等優(yōu)點(diǎn). 在方案設(shè)計(jì)階段進(jìn)行滑翔飛行器的最大射程分析、軌跡特性評(píng)估和總體技術(shù)指標(biāo)論證時(shí)，常通過(guò)設(shè)計(jì)最優(yōu)彈道的方式進(jìn)行. 最優(yōu)彈道的設(shè)計(jì)問(wèn)題可視為軌跡優(yōu)化問(wèn)題，屬于最優(yōu)控制問(wèn)題的范疇. 近年來(lái)，配點(diǎn)法在解決軌跡優(yōu)化問(wèn)題方面顯出較大優(yōu)勢(shì)，在航天飛機(jī)的再入軌跡優(yōu)化[1]、民用飛機(jī)的最小時(shí)間爬升[2]和滑翔飛行器的增程問(wèn)題[3-4]等領(lǐng)域獲得廣泛使用.

出于對(duì)軌跡優(yōu)化問(wèn)題復(fù)雜度和求解效率等因素的考慮，現(xiàn)有文獻(xiàn)大多采用簡(jiǎn)化的氣動(dòng)力數(shù)據(jù)進(jìn)行軌跡優(yōu)化，較少涉及表格形式氣動(dòng)數(shù)據(jù)的使用. 采用這種方式得到的優(yōu)化結(jié)果，僅適用于初步和粗略的飛行性能分析. 高精度的氣動(dòng)測(cè)力數(shù)據(jù)通常以表格形式給出. 采用表格數(shù)據(jù)進(jìn)行軌跡優(yōu)化，在保證插值/擬合精度的同時(shí)，還需避免數(shù)據(jù)插值/擬合中不連續(xù)性問(wèn)題. 由于求解最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)值方法大多假設(shè)目標(biāo)和約束函數(shù)連續(xù)可微，當(dāng)最優(yōu)控制問(wèn)題中出現(xiàn)非連續(xù)性時(shí)，這些數(shù)值方法不再適用[2]. 彈道仿真中常用的線性插值方法[5]會(huì)在優(yōu)化問(wèn)題引入一階不連續(xù)，嚴(yán)重影響求解效率. 對(duì)此，BETTS[2]建議采用具有二階連續(xù)性的插值或擬合方法. 常用的三次樣條插值方法能夠保證二階連續(xù)性，但無(wú)法較好地反映數(shù)據(jù)變化的趨勢(shì)性信息. 經(jīng)過(guò)三次樣條插值，氣動(dòng)數(shù)據(jù)會(huì)出現(xiàn)原表格數(shù)據(jù)沒(méi)有的局部“波動(dòng)”(“wiggles”)現(xiàn)象[2]. “波動(dòng)”的引入，一方面會(huì)在一階偏導(dǎo)(雅可比矩陣)和二階偏導(dǎo)(海森矩陣)中引入噪聲，造成收斂困難；一方面會(huì)引起所描述優(yōu)化問(wèn)題與原問(wèn)題的偏離[2]. REINSCH[6]給出的平滑樣條擬合方法雖然能夠避免“波動(dòng)”的引入，但無(wú)法保證表格中氣動(dòng)數(shù)據(jù)呈現(xiàn)的單調(diào)性，造成所描述優(yōu)化問(wèn)題與原問(wèn)題的偏離.

為了克服上述方法存在的問(wèn)題，BETTS[2]提出一種基于最小曲率樣條的平滑保形氣動(dòng)擬合方法，將數(shù)據(jù)的擬合精度和形狀信息作為約束，能夠在保證二階連續(xù)性的同時(shí)，避免擬合數(shù)據(jù)中的“波動(dòng)”現(xiàn)象，并保持表格數(shù)據(jù)所反映的單調(diào)性信息. 然而，對(duì)于擬合精度和形狀信息兩約束的處理，BETTS[2]并未給出具體方式. 此外，在該擬合方法中，樣條的節(jié)點(diǎn)位置固定，曲率信息僅在節(jié)點(diǎn)處進(jìn)行評(píng)價(jià). 這限制了該方法對(duì)擬合樣條曲率的控制能力.

在借鑒BETTS[2]思路的基礎(chǔ)上，借助張量積技術(shù)[7]和SCHüTZE等[8]提出的具有自由節(jié)點(diǎn)的一維平滑保形樣條擬合方法，本文提出一種二維平滑保形擬合方法，用于滑翔飛行器軌跡優(yōu)化中表格形式氣動(dòng)數(shù)據(jù)的擬合，具有約束施加方式明確、能夠約束非節(jié)點(diǎn)處樣條曲率的特點(diǎn).

1 滑翔飛行器軌跡優(yōu)化建模

考慮滑翔飛行器的增程問(wèn)題，在給定投放條件下使滑翔飛行器獲得最大的飛行距離，以X(tf)表示彈道終端的射程，則目標(biāo)函數(shù)為

J=min(-X(tf))

(1)

1.1 運(yùn)動(dòng)模型

無(wú)動(dòng)力時(shí)，滑翔飛行器在水平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)一般側(cè)重于消除初始扇面角、陣風(fēng)等因素引起的側(cè)向偏差. 因此，對(duì)于滑翔飛行器的增程問(wèn)題，可忽略水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，僅考慮鉛錘平面內(nèi)的最優(yōu)控制問(wèn)題. 此時(shí)，運(yùn)動(dòng)模型可描述為

(2)

式中：升力系數(shù)CL和阻力系數(shù)CD為攻角和馬赫數(shù)的函數(shù)，通過(guò)表格形式給出. 其他變量定義見(jiàn)表1.

表1 術(shù)語(yǔ)表Tab.1 Nomenclature

1.2 邊界條件

對(duì)于滑翔飛行器而言，初始條件是投放時(shí)刻狀態(tài)變量的取值，即

(3)

終端條件是滑翔飛行器在彈道終端需滿足的條件. 對(duì)于射程優(yōu)化問(wèn)題，考慮落角和末速約束，其終端邊界條件為

(4)

1.3 約束條件

滑翔飛行器飛行過(guò)程中，狀態(tài)量的變化需滿足一定的約束條件. 由于滑翔飛行器本身的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度等限制，其法向過(guò)載必須限制在一定范圍內(nèi). 同時(shí)，作為控制變量的攻角需保持在彈體動(dòng)力學(xué)隨攻角變化的線性區(qū)內(nèi)(±10°～15°). 此外，考慮飛行器的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)約束，攻角的變化率也應(yīng)限制在一定范圍. 因此，滑翔飛行器最優(yōu)控制問(wèn)題的約束條件為

(5)

2 自適應(yīng)Legendre-Gauss-Radau 配點(diǎn)法

作為一類(lèi)典型的最優(yōu)控制問(wèn)題，軌跡優(yōu)化常采用配點(diǎn)法進(jìn)行求解. 針對(duì)滑翔飛行器給定投放條件下的軌跡優(yōu)化需求，本文采用自適應(yīng)Legendre-Gauss-Radau 配點(diǎn)法將最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃問(wèn)題，選用成熟的非線性規(guī)劃求解器SNOPT進(jìn)行求解.

2.1 最優(yōu)控制問(wèn)題的離散化

本文考慮波爾扎形式的最優(yōu)控制問(wèn)題. Legendre-Gauss-Radau(LGR)配點(diǎn)法將最優(yōu)控制問(wèn)題的時(shí)間區(qū)間t∈[t0,tf]轉(zhuǎn)換到τ∈[-1,+1]上. 接著，將時(shí)間區(qū)間τ∈[-1,+1]劃分成一個(gè)包含K個(gè)區(qū)間Sk=[Tk-1,Tk],k=1,2,…,K的網(wǎng)格，式中，-1=T0

最小化目標(biāo)函數(shù)并滿足近似動(dòng)力學(xué)約束、近似路徑不等式約束、近似邊界條件以及確保網(wǎng)格點(diǎn)T1,T2…,TK-1上狀態(tài)變量連續(xù)性的條件

i=1,2,…,Nk

(7)

i=1,2,…,Nk

(8)

(9)

(10)

當(dāng)式(6)～(10)描述的非線性規(guī)劃問(wèn)題取得最優(yōu)值時(shí)，將滿足Karush-Kuhn-Tucker(KKT)條件. 根據(jù)協(xié)態(tài)映射原理，即KKT 條件與最優(yōu)控制問(wèn)題的離散化一階必要條件之間有明確、定量的一一映射關(guān)系，LGR配點(diǎn)法結(jié)果的最優(yōu)性具有一定的理論依據(jù). 自適應(yīng)配點(diǎn)法對(duì)分段數(shù)量和每段離散點(diǎn)數(shù)量同時(shí)更新，可進(jìn)一步利用非線性規(guī)劃問(wèn)題的稀疏性，在保證計(jì)算精度的情況下，加快收斂速度[10].

2.2 ph自適應(yīng)網(wǎng)格細(xì)化方法

采用LGR配點(diǎn)法離散最優(yōu)控制問(wèn)題，區(qū)間劃分和節(jié)點(diǎn)(配點(diǎn))數(shù)量選取直接關(guān)系到最優(yōu)控制問(wèn)題的求解精度和效率，是國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究熱點(diǎn). 在熱啟動(dòng)和序列求精思想的指導(dǎo)下[2]，多種自適應(yīng)的網(wǎng)格細(xì)分策略被先后提出. 與具體最優(yōu)控制問(wèn)題表現(xiàn)出的光滑和非線性階次有關(guān)，網(wǎng)格細(xì)分策略并無(wú)統(tǒng)一的選取標(biāo)準(zhǔn). 結(jié)合滑翔飛行器的軌跡優(yōu)化問(wèn)題的特點(diǎn)，經(jīng)過(guò)反復(fù)的比較和嘗試，本文采用PATTERSON等[9]提出的ph自適應(yīng)方法進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)分.

對(duì)LGR配點(diǎn)法收斂性的研究表明[11]，任一區(qū)間內(nèi)節(jié)點(diǎn)上的近似誤差與該區(qū)間內(nèi)的節(jié)點(diǎn)數(shù)量Nk有關(guān)，具有指數(shù)收斂速率

(11)

(12)

式中Nmin為區(qū)間的最小節(jié)點(diǎn)數(shù).Nmax和Nmin需根據(jù)具體的最優(yōu)控制問(wèn)題和計(jì)算機(jī)的性能確定.

3 表格形氣動(dòng)數(shù)據(jù)的平滑保形擬合

針對(duì)滑翔飛行器的軌跡優(yōu)化模型中表格形式氣動(dòng)數(shù)據(jù)的平滑(二階連續(xù)且二階導(dǎo)盡可能小)和保形(保持?jǐn)?shù)據(jù)原有的單調(diào)性)需求，本文提出一種表格數(shù)據(jù)的平滑保形擬合方法，能夠在一定的擬合精度要求下，對(duì)二維表格形式數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑、保形的擬合，以保證軌跡優(yōu)化的精度和效率. 其基本原理為：在一維平滑保形樣條擬合方法基礎(chǔ)上，采用張量積方法進(jìn)行維度擴(kuò)展，得到二維平滑保形擬合方法.

3.1 一維平滑保形樣條擬合方法

令{xi,yi}(i=1,2,…,m)表示一組由m個(gè)樣本組成的數(shù)據(jù)序列，式中xi為樣本點(diǎn)的坐標(biāo)，在區(qū)間[a,b]?R取值，yi為樣本在未知光滑函數(shù)g∈Cq[a,b]上的響應(yīng)值，m個(gè)樣本點(diǎn)按其坐標(biāo)從小到大的順序排列.

一維平滑保形樣條擬合考慮用定義在k≥1階一維多項(xiàng)式樣條空間Sk,t中的函數(shù)s擬合這組樣本點(diǎn)序列，其中，樣條空間Sk,t具有節(jié)點(diǎn)序列t={tj}

t1=t2=…=tk=a

tn

(13)

且m≥n.

通過(guò)選擇樣條函數(shù)s的參數(shù)，使得式(14)描述的平滑泛函取得最小值

(14)

式中：平滑參數(shù)μ>0；r∈{0,1,…,q}.

與此同時(shí)，樣條函數(shù)s應(yīng)具備具有保形性，即在區(qū)間x∈[a,b]上有

(15)

式中p∈{0,1,…,q}.

① 目標(biāo)函數(shù)的B樣條基函數(shù)表示.

為通過(guò)選取權(quán)重系數(shù)求解式(14)～(15)描述的一維平滑保形樣條擬合問(wèn)題，首先將式(14)所示的平滑泛函用B-樣條基函數(shù)及其權(quán)重系數(shù)表示.

首先，定義在k≥1階一維多項(xiàng)式樣條空間Sk,t中的函數(shù)s可表示為

(16)

式中:α:=[α1α2…αn]T∈Rn;β(x,t):=[B1,k,t(x)…Bn,k,t(x)]T∈Rn;αj為權(quán)重系數(shù).B-樣條基函數(shù)Bj,k,t可通過(guò)式(17)和(18)進(jìn)行回歸定義

(17)

Bj,k,t(t):=ωj,k(t)Bj,k-1,t(t)+

[1-ωj+1,k(t)]Bj+1,k-1,t(t)k>1

(18)

式中ωj,k(t)通過(guò)式(19)進(jìn)行計(jì)算

(19)

注意在Bj,k,t中，t表示其定義在節(jié)點(diǎn)序列t={tj}上.

進(jìn)一步定義觀測(cè)矩陣(observation matrix)B(t)

B(t):=(Bj,k,t(xi))i=1,2，…,m;j=1,2，…,n∈Rm,n

(20)

和樣本序列的響應(yīng)向量

y:=[y1y2…ym]T∈Rm

則式(14)中通過(guò)最小二乘定義的近似誤差項(xiàng)(第1項(xiàng))可表示為

(1-μ)‖y-B(t)α‖2

(21)

式中‖·‖表示向量的歐幾里得范數(shù).

(22)

式中r∈{0,1,…,q}，取定值.

假設(shè)樣條函數(shù)s在節(jié)點(diǎn)tj處q次連續(xù)可微，即節(jié)點(diǎn)序列t={tj}滿足

tj

(23)

式中：q=k-1-#tj，#tj表示節(jié)點(diǎn)在tj處的重?cái)?shù). 則樣條函數(shù)的r階導(dǎo)數(shù)可表示為[7]

(24)

式中：

(25)

權(quán)重系數(shù)α(r)通過(guò)公式α(r)=Drα由向量α計(jì)算得到.Dr通過(guò)下式遞歸得到

(26)

(27)

Rn-ν,n-ν+1

(28)

式中ν=1,2,…,r.

由于式(14)中平滑項(xiàng)需要計(jì)算的B樣條基函數(shù)乘積的積分較為復(fù)雜，此處采用更為簡(jiǎn)單近似形式[12-13]

(29)

將式(24)帶入(29)得

(30)

(31)

綜合式(21)和(30)，式(14)可通過(guò)B-樣條基函數(shù)及其權(quán)重系數(shù)表示為

f(α,t):=φ+ρ=

(1-μ)‖y-B(t)α‖2+μ‖Sr(t)α‖2=

(32)

② 保形約束的B樣條基函數(shù)表示.

通過(guò)規(guī)定樣條函數(shù)s在子區(qū)間[ti,ti+1)(i=k,k+1,…,n)的導(dǎo)數(shù)的上下界方式施加式(15)的保形約束.

根據(jù)式(24)，在子區(qū)間x∈[ti,ti+1)上，導(dǎo)數(shù)s(p)(x)可表示為

(33)

式中Ki:={i-k+r+1,…,i}.

考慮如下形式的形狀約束

?x∈[ti,ti+1),i=k,k+1,…,n

(34)

由于B樣條的基函數(shù)都不小于0且其和為1，因此有

(35)

因此，若條件

(36)

滿足，則式(34)一定滿足. 將式(36)改寫(xiě)為

(37)

Wj:={max(j,k),…,min(j+k-p-1,n)}

根據(jù)向量α和α(p)的關(guān)系式α(p)=Dpα，式(37)可進(jìn)一步表述為

L≤Dp(t)α≤U

(38)

式中：

(39)

③ 自由節(jié)點(diǎn)的約束.

進(jìn)一步考慮對(duì)節(jié)點(diǎn)序列t={tj}

t1=t2=…=tk=a

tn+1=tn+2=…=tn+k

中部分自由節(jié)點(diǎn)tk+1,…,tn的約束，以避免優(yōu)化過(guò)程中自由節(jié)點(diǎn)的聚集. 這可以通過(guò)式(40)限制相鄰自由節(jié)點(diǎn)的相對(duì)距離的上下限完成

tj-1+ε(tj+1-tj-1)≤tj≤tj+1-ε(tj+1-tj-1)

(40)

式中：j=k+2,…,n-1；ε>0為相鄰節(jié)點(diǎn)的相對(duì)分離參數(shù).

式(40)可進(jìn)一步整理為式(41)的形式

Ct-h≥0

(41)

式中：矩陣C和向量h由節(jié)點(diǎn)序列t={tj}和相鄰節(jié)點(diǎn)的相對(duì)分離參數(shù)ε確定.

④ 一維平滑保形樣條的優(yōu)化問(wèn)題.

綜合式(32)、(38)和(41)，一維平滑保形樣條的優(yōu)化問(wèn)題可表述如下.

最小化目標(biāo)函數(shù)

(42)

同時(shí)滿足

(43)

式中：節(jié)點(diǎn)序列t={tj}滿足tj

3.2 基于張量積的維度擴(kuò)展方法

由3.1節(jié)描述的單變量平滑保形樣條向雙變量平滑保形樣條推廣，最簡(jiǎn)單的方式是張量積，單變量平滑保形樣條的性質(zhì)和算法都可以被張量積樣條直接繼承[14]. 通過(guò)張量積擴(kuò)展樣條函數(shù)的核心觀點(diǎn)是，如果函數(shù)f是關(guān)于自變量x的函數(shù)，g是關(guān)于自變量y的函數(shù)，那么他們的張量積p(x,y):=f(x)g(y)就是自變量x和y的函數(shù). 下面給出二維張量積樣條的定義：

對(duì)于具有節(jié)點(diǎn)序列s={si},i=1,2,…,m+h的樣條空間Sh,s和具有節(jié)點(diǎn)序列t={tj},j=1,2,…,n+k的樣條空間Sk,t，式(44)定義了一個(gè)二維張量積樣條函數(shù)

(44)

式中：Bi,h,s(x)和Bj,k,t(y)分別為樣條空間Sh,s和Sk,t的基函數(shù)；[aij](i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)為相應(yīng)的權(quán)重系數(shù)矩陣.

根據(jù)張量積樣條的定義和性質(zhì)[7]，給定一組二維樣本點(diǎn)的響應(yīng)值矩陣[zi,j](i=0,1,…,m;j=0,1,…,n)，可通過(guò)式(45)將張量積樣條的擬合問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一維樣條的擬合問(wèn)題

(45)

4 擬合結(jié)果和仿真驗(yàn)證

4.1 表格形氣動(dòng)數(shù)據(jù)擬合效果分析

下面研究本文提出的二維平滑保形擬合方法的擬合效果. 作為對(duì)比，同時(shí)采用Matlab中的interp2、spline和spaps函數(shù)，給出升力系數(shù)的線性插值、三次樣條插值和平滑樣條擬合. 表 2給出了滑翔飛行器一組典型的升力系數(shù)數(shù)據(jù)，表中，α表示攻角，Ma表示馬赫數(shù).

表 2 滑翔飛行器的典型升力系數(shù)數(shù)據(jù)Tab.2 Typical lift coefficient data of glide vehicle

圖1(a)為采用二維平滑保形擬合得到的滑翔飛行器升力系數(shù)曲面. 升力系數(shù)曲面平滑，無(wú)“波動(dòng)”現(xiàn)象. 圖1(b)為從升力系數(shù)曲面截取的α=0°時(shí)的升力系數(shù)曲線，擬合得到的升力系數(shù)曲線平滑，能夠保持?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)本身的單調(diào)特性. 圖1(c)為α=0°時(shí)擬合的升力系數(shù)曲線對(duì)馬赫數(shù)的一階偏導(dǎo). 樣本點(diǎn)間，一階偏導(dǎo)連續(xù)，且正負(fù)號(hào)不發(fā)生變化，進(jìn)一步說(shuō)明擬合得到的升力系數(shù)曲線是平滑的，具有保形性.

圖1 二維平滑保形擬合效果Fig.1 Results of the two-dimensional smoothing and shape-preserving fitting

圖2為采用interp2函數(shù)通過(guò)線性插值得到的

圖2 采用線性插值得到的升力系數(shù)曲面Fig.2 Lift coefficient surface obtained with linear interpolation

滑翔飛行器升力系數(shù)曲面. 圖2中明顯的折痕和邊緣處的折點(diǎn)顯示出線性插值的一階不連續(xù)特性.

圖3為采用spline函數(shù)進(jìn)行三次樣條插值得到的滑翔飛行器升力系數(shù)插值效果. 圖3(a)方框處可見(jiàn)明顯的“波紋”. 圖3(b)為從升力系數(shù)曲面截取的α=0°時(shí)的升力系數(shù)曲線. 在Ma∈[0.7,0.8]和[0.9,1.0]的區(qū)間范圍內(nèi)，升力系數(shù)曲線無(wú)法保持樣本點(diǎn)所呈現(xiàn)的單調(diào)性，出現(xiàn)較大波動(dòng).

圖4顯示了采用spaps函數(shù)進(jìn)行平滑樣條擬合得到的滑翔飛行器升力系數(shù)擬合效果. 圖4(b)可見(jiàn)，在Ma∈[0.6,0.8]和[0.9,1.0]的區(qū)間范圍內(nèi)，升力系數(shù)擬合曲線無(wú)法保持樣本點(diǎn)所呈現(xiàn)的單調(diào)性，出現(xiàn)較大波動(dòng).

圖3 三次樣條插值效果Fig.3 Results of cubic spline interpolation

圖4 平滑樣條擬合效果Fig.4 Result of smooth spline fitting

4.2 仿真驗(yàn)證結(jié)果

通過(guò)高(11.5 km附近)、中(8.0 km附近)、低(4.0 km附近)空不同投放馬赫數(shù)(0.6～0.9)的彈道仿真驗(yàn)證基于表格形氣動(dòng)數(shù)據(jù)的滑翔飛行器軌跡優(yōu)化結(jié)果的精度.

終端邊界條件和約束條件為

圖5中虛線給出了滑翔飛行器在高空(11.5 km附近)不同馬赫數(shù)(0.6～0.9)下投放的軌跡優(yōu)化結(jié)果. 高空條件下，由于大氣密度較小，滑翔飛行器在可用攻角范圍內(nèi)產(chǎn)生的升力較小，不足以克服重力進(jìn)行爬升或平飛，最優(yōu)彈道整體呈下滑形式. 圖5中實(shí)線給出開(kāi)環(huán)彈道仿真的結(jié)果. 實(shí)線和虛線整體的吻合度很高，這說(shuō)明本文提出的基于軌跡優(yōu)化的最優(yōu)彈道設(shè)計(jì)方法具有良好的精度. 在彈道變化劇烈的地方，實(shí)線和虛線出現(xiàn)一定偏差，主要由于軌跡優(yōu)化中未考慮彈體動(dòng)態(tài)特性造成的.

圖5 高空最優(yōu)彈道和開(kāi)環(huán)彈道仿真驗(yàn)證結(jié)果Fig.5 Result comparison of optimal trajectory and open-loop trajectory simulation of glide vehicle launched at high altitude

圖6中虛線給出了滑翔飛行器在中空(8.0 km附近)不同馬赫數(shù)(0.6～0.9)下投放的最優(yōu)彈道設(shè)計(jì)結(jié)果. 中空條件下投放馬赫數(shù)對(duì)最優(yōu)彈道的形式影響較大. 當(dāng)投放馬赫數(shù)較大時(shí)(0.75以上)，最優(yōu)彈道呈現(xiàn)先爬升再下滑的形式. 當(dāng)投放馬赫數(shù)較小時(shí)(0.75以下)，最優(yōu)彈道呈現(xiàn)先俯沖再下滑的形式. 圖6中實(shí)線給出開(kāi)環(huán)彈道仿真的結(jié)果. 實(shí)線和虛線整體的吻合度很高，這說(shuō)明本文提出的基于軌跡優(yōu)化的最優(yōu)彈道設(shè)計(jì)方法具有良好的精度. 在彈道變化劇烈的地方，實(shí)線和虛線出現(xiàn)一定偏差，主要由于軌跡優(yōu)化中未考慮彈體動(dòng)態(tài)特性造成的.

圖7中虛線給出了滑翔飛行器在低空(4.0 km附近)不同馬赫數(shù)(0.6～0.9)下投放的最優(yōu)彈道設(shè)計(jì)結(jié)果. 低空條件下，最優(yōu)彈道普遍具有先爬升再下滑的形式. 隨著投放馬赫數(shù)的提高，這種爬升趨勢(shì)越明顯. 投放馬赫數(shù)為0.9左右時(shí)，最優(yōu)彈道在爬升階段甚至出現(xiàn)接近20°的彈道傾角. 這是由于低空空氣密度較大，滑翔飛行器較容易通過(guò)不大的攻角獲得較大升力. 此時(shí)，如何減小因空氣阻力引起的能量損失是提升射程關(guān)鍵. 圖7中實(shí)線給出開(kāi)環(huán)彈道仿真的結(jié)果. 實(shí)線和虛線整體的吻合度很高，這說(shuō)明本文提出的基于軌跡優(yōu)化的最優(yōu)彈道設(shè)計(jì)方法具有不錯(cuò)的精度. 在彈道變化劇烈的地方，實(shí)線和虛線出現(xiàn)一定偏差. 這主要是軌跡優(yōu)化中未考慮彈體動(dòng)態(tài)特性造成的. 以投放時(shí)刻為例，如圖7(d)所示，由于未考慮彈體動(dòng)態(tài)特性，最優(yōu)彈道直接要求滑翔飛行器以3°～7°攻角飛行. 在彈道仿真中，最優(yōu)彈道攻角的實(shí)現(xiàn)需要經(jīng)歷一定的動(dòng)態(tài)過(guò)程，因此造成最優(yōu)彈道和仿真結(jié)果的偏差.

圖7 低空最優(yōu)彈道和開(kāi)環(huán)彈道仿真驗(yàn)證結(jié)果Fig.7 Result comparison of optimal trajectory and open-loop trajectory simulation of glide vehicle launched at low altitude

5 結(jié) 論

本文以滑翔飛行器為研究對(duì)象，針對(duì)不同投放條件下的最遠(yuǎn)射程彈道設(shè)計(jì)問(wèn)題，使用表格形式的氣動(dòng)數(shù)據(jù)，采用自適應(yīng)Legendre-Gauss-Radau 配點(diǎn)法進(jìn)行軌跡優(yōu)化. 主要工作和研究結(jié)論如下：

① 針對(duì)軌跡優(yōu)化模型中表格形式氣動(dòng)數(shù)據(jù)的擬合問(wèn)題，提出了二維平滑保形擬合方法，首先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行一維平滑保形擬合，接著，采用張量積方法進(jìn)行擬合維度擴(kuò)展. 對(duì)典型表格形式氣動(dòng)數(shù)據(jù)的擬合效果分析表明，能夠在給定的擬合精度約束下，實(shí)現(xiàn)氣動(dòng)數(shù)據(jù)的平滑保形擬合.

② 針對(duì)滑翔飛行器最遠(yuǎn)射程彈道設(shè)計(jì)問(wèn)題，采用提出的二維平滑保形擬合方法表格形式的氣動(dòng)數(shù)據(jù)，建立滑翔飛行器的軌跡優(yōu)化模型. 接著，采用自適應(yīng)Legendre-Gauss-Radau 配點(diǎn)法，通過(guò)軌跡優(yōu)化進(jìn)行最優(yōu)彈道設(shè)計(jì). 以?xún)?yōu)化得到的最優(yōu)彈道俯仰角作為開(kāi)環(huán)控制指令進(jìn)行彈道仿真，仿真結(jié)果與最優(yōu)彈道的整體吻合度很高.