王德貴

“群牛問題”在古希臘科學(xué)家阿基米德的研究課題中比較特別，是以詩句的形式出現(xiàn)在給埃拉托塞尼的一封信中。雖然其真實(shí)性有待考證，因?yàn)椤叭号栴}”大概很早以前就已存在，阿基米德只是重新研究而已，但歷史上對(duì)這個(gè)問題的研究，卻豐富了初等數(shù)論的內(nèi)容。

下面我們也來分析一下群牛問題，并用Python求解驗(yàn)證。

（一）群牛問題

太陽神有一牛群，由白、黑、花、棕四種顏色的公、母牛組成。

在公牛中，白牛數(shù)多于棕牛數(shù)，多出之?dāng)?shù)相當(dāng)于黑牛數(shù)的1/2+1/3;黑牛數(shù)多于棕牛數(shù)，多出之?dāng)?shù)相當(dāng)于花牛數(shù)的1/4+1/5;花牛數(shù)多于棕牛數(shù)，多出之?dāng)?shù)相當(dāng)于白牛數(shù)的1/6+1/7。

在母牛中，白牛數(shù)是全體黑牛數(shù)的1/3+1/4;黑牛數(shù)是全體花牛數(shù)1/4+1/5;花牛數(shù)是全體棕牛數(shù)的1/5+1/6;棕牛數(shù)是全體白牛數(shù)的1/6+1/7。

問這牛群是怎樣組成的？

（二）創(chuàng)意來源

通過了解知名數(shù)學(xué)難題的解題思路，并將其用于Python編程，提高我們的數(shù)學(xué)和編程水平。在我搜索的“100個(gè)數(shù)學(xué)難題”中第一個(gè)問題就是“群牛問題”，經(jīng)過分析和研究，自覺頗有收獲。

這是一道解不定方程組問題，有8個(gè)未知數(shù)，7個(gè)方程，有無數(shù)組解，我們可以求出最小正整數(shù)解。這個(gè)解數(shù)值較大，即使通過Python求最小正整數(shù)解也不容易。

（三）設(shè)計(jì)思路

按照編程解方程的慣性思路，方程的解可以使用枚舉法去求。結(jié)果當(dāng)Python程序運(yùn)行后卻沒有輸出結(jié)果（所有程序后面給出）。分析原因發(fā)現(xiàn)是因?yàn)榻獾臄?shù)值過大，必須尋求更好的求解方法。

（四）程序設(shè)計(jì)過程

1.枚舉法

最普通的思路，不需要過多考慮，用枚舉法一個(gè)個(gè)去測(cè)試（圖1）。

測(cè)試1萬個(gè)數(shù)的時(shí)間復(fù)雜度是10的12次方，需要運(yùn)行30多個(gè)小時(shí)。通過搜索已知最小正整數(shù)解的值很大，枚舉法獲得結(jié)果的時(shí)間過長，必須去尋找更簡(jiǎn)捷的方法。

2.對(duì)已知答案驗(yàn)證出錯(cuò)

（1）驗(yàn)證解出錯(cuò)

在網(wǎng)上搜索到了群牛問題的一組正整數(shù)解，代入方程直接驗(yàn)證，運(yùn)行結(jié)果后面4個(gè)全部為“False”（圖2）。

False表示解并不符合原題目的這項(xiàng)條件（圖3）。

（2）驗(yàn)證另一組帶n的解也出錯(cuò)

搜索到的另一組解是帶n的，代入方程驗(yàn)證結(jié)果更奇怪（圖4）。

當(dāng)n=1時(shí)，有兩個(gè)“False”（圖5）。

當(dāng)n=5時(shí)，有1個(gè)“False”（圖6）。

為什么我把搜到的答案拿來驗(yàn)證都沒法通過，問題出在哪里呢？為什么不同的解驗(yàn)算的“False”數(shù)目還不一樣？

在分析這些問題產(chǎn)生的原因過程中，我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)庫函數(shù)Sympy，它可以幫我解決問題！

3.SymPy庫函數(shù)

（1）SymPy庫簡(jiǎn)介

SymPy庫函數(shù)是一個(gè)符號(hào)計(jì)算的Python庫。它的目標(biāo)是成為一個(gè)全功能的計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)，同時(shí)保持代碼簡(jiǎn)潔、易于理解和擴(kuò)展。它完全由Python寫成，不依賴于外部庫。SymPy支持符號(hào)計(jì)算、高精度計(jì)算、模式匹配、繪圖、解方程、微積分、組合數(shù)學(xué)、離散數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、概率與統(tǒng)計(jì)、物理學(xué)等方面的功能。

SymPy的安裝和使用這里不做介紹，我只分析它求解方程的方法SymPy.solve（）。Solve（）是一個(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語，主要是用來求解代數(shù)方程（多項(xiàng)式方程）的符號(hào)解析解。

（2）方程求解：先看個(gè)簡(jiǎn)單例子（圖7）。運(yùn)行就可以直接求出方程的解{x： -1， y： 4}，感覺到Python的強(qiáng)大了嗎？

（3） 群牛問題求解方程