一種改進(jìn)的病態(tài)問(wèn)題截?cái)嗥娈愔捣椒?/h1>
2021-09-13 09:01:16李明樾
測(cè)繪工程 2021年5期
謝 建,李明樾
(1.湖南科技大學(xué) 煤炭資源清潔利用與礦山環(huán)境保護(hù)湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 湘潭 411201;2.廣西交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院 路橋工程系, 廣西 南寧 530023)
病態(tài)問(wèn)題在GNSS快速定位[1]，回歸分析[2]，衛(wèi)星重力向下延拓[3-6]，PolInSAR植被參數(shù)反演[7]等測(cè)繪領(lǐng)域廣泛存在，嚴(yán)重影響參數(shù)估計(jì)的精度和可靠性。病態(tài)性產(chǎn)生的原因可能是參數(shù)之間存在相關(guān)關(guān)系，或者觀測(cè)值采樣不足，或者觀測(cè)結(jié)構(gòu)不合理[8]。處理病態(tài)性的方法主要包括嶺估計(jì)、正則化方法、截?cái)嗥娈愔祷蛐拚娈愔捣椒?、附加等式或不等式約束、將參數(shù)視為隨機(jī)變量的Bayes方法或最小二乘配置方法[3]。Bayes方法和最小二乘配置需要假設(shè)參數(shù)的先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)信息，在實(shí)際應(yīng)用中一般不容易預(yù)先得到。當(dāng)正則化矩陣為單位陣時(shí)，嶺估計(jì)和單參數(shù)正則化解具有相同的形式。正則化方法是在殘差加權(quán)平方和的最小二乘準(zhǔn)則上，加入?yún)?shù)線性組合的最小范數(shù)，然后確定合適的因子(正則化參數(shù))來(lái)調(diào)節(jié)數(shù)據(jù)的擬合量和平滑量[9-10]。線性組合方法一般根據(jù)參數(shù)的特點(diǎn)，選擇一階或者二階差分操作算子[11]。當(dāng)設(shè)計(jì)陣的零空間和正則化矩陣的零空間不相交時(shí)，能得到唯一的正則化解。截?cái)嗥娈愔捣椒ㄊ菍⑾禂?shù)矩陣進(jìn)行奇異值分解后，將嚴(yán)重?cái)U(kuò)大參數(shù)方差的小奇異值截去，從而得到可靠的解。而修正奇異值方法是對(duì)小的奇異值進(jìn)行修正改善系數(shù)的病態(tài)性[6]。截?cái)嗥娈愔捣椒ê?jiǎn)單明了，僅需要考慮小奇異值對(duì)方差的影響，從而在大地測(cè)量領(lǐng)域得到廣泛關(guān)注。截?cái)嗥娈愔捣椒ǖ年P(guān)鍵問(wèn)題在于截?cái)鄥?shù)的選取。常用的有L曲線法、廣義交叉核實(shí)(GCV)法、F假設(shè)檢驗(yàn)法和均方誤差極小化方法[4]。林東方提出了顧及截?cái)嗥钣绊懙慕財(cái)嗥娈愔到財(cái)鄥?shù)確定方法，并與上述常用方法進(jìn)行比較[7]。目前的研究大部分聚焦于截?cái)鄥?shù)的選取本身，而對(duì)病態(tài)問(wèn)題的奇異值解的最優(yōu)化準(zhǔn)則缺乏研究。
在正則化方法中，對(duì)于某些實(shí)際問(wèn)題，附加合理的正則化矩陣能得到比單位正則化矩陣更好的結(jié)果[11]。文中通過(guò)對(duì)截?cái)嗥娈愔道碚摲治霭l(fā)現(xiàn)，對(duì)設(shè)計(jì)矩陣進(jìn)行奇異值分解后，刪除較小的奇異值及對(duì)應(yīng)的奇異值向量，組成新的秩虧系數(shù)矩陣后，截?cái)嗥娈愔到饩褪侵忍澯^測(cè)系統(tǒng)下的最小范數(shù)最小二乘解。為了改善截?cái)嗥娈愔倒烙?jì)的精度，借鑒正則化矩陣的選取方法，將最小范數(shù)條件‖x‖2最小替換為參數(shù)線性組合的最小范數(shù)條件‖Lx‖2最小，并在此條件下給出改進(jìn)的截?cái)嗥娈愔捣纸夥椒ǖ膮?shù)估計(jì)表達(dá)式，提出用L曲線法確定截?cái)鄥?shù)。數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)表明，修正的截?cái)嗥娈愔捣纸馑惴艿玫奖冉財(cái)嗥娈愔捣椒ㄔ诰秸`差意義下更好的解。
1 截?cái)嗥娈愔捣纸饧捌涞葍r(jià)形式
1.1 最小二乘解的奇異值分解表達(dá)式
測(cè)量數(shù)據(jù)處理中，一般是將觀測(cè)值表示成待定參數(shù)的線性或線性化函數(shù)，即經(jīng)典的Gauss-Markov模型：
y=Ax+e,
(1)
(2)
A=UΛVT.
(3)
在最小二乘準(zhǔn)則eTPe=min下，Gauss-Markov模型的最小二乘參數(shù)估值為：
(4)
將奇異值分解表達(dá)式(3)代入最小二乘估計(jì)式(4)，可以得到最小二乘解的奇異值表達(dá)式及相應(yīng)的方差矩陣為[4]：
(5)
(6)
1.2 病態(tài)問(wèn)題的截?cái)嗥娈愔捣椒?/h3>
minxTx，
(7)
s.t.φ(x)=(Akx-y)T(Akx-y)=min.
(8)
由于rank(Ak)=k(9)
(10)
具體證明見(jiàn)文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[13]。另外，由奇異值分解定理有[12]：
(11)
將式(11)代入式(10)，可以得到最小范數(shù)最小二乘解的奇異值分解形式為：
(12)
從式(12)可以看出，將系數(shù)陣A中的小奇異值刪除構(gòu)造近似矩陣Ak，將Ak代替式(1)中的設(shè)計(jì)矩陣，得到的最小范數(shù)最小二乘解與式(5)比較， 相當(dāng)于截去對(duì)應(yīng)于最小二乘解特征值較小部分的解分量，從而達(dá)到穩(wěn)定解的目的。與正則化估計(jì)和嶺估計(jì)類似，截?cái)嗥娈愔到獗茸钚《私饩哂懈〉木秸`差[4]，因此成為解病態(tài)問(wèn)題的一種重要方法。令V2=[vk+1vk+2…vn]，U2=[uk+1uk+2…un]，Λ2=diag[λk+1λk+2…λn]，對(duì)式(12)求期望，有：
(13)
可見(jiàn)，TSVD解不再是無(wú)偏估計(jì)量，其偏差為：
(14)
1.3 截?cái)鄥?shù)的確定
為了獲得穩(wěn)定且質(zhì)量可靠的參數(shù)估值，關(guān)鍵在于確定合適的截?cái)鄥?shù)。若k值過(guò)大，則部分小奇異值未刪除，解不穩(wěn)定。反之，則丟棄有用的觀測(cè)信息從而損失解的精度。這與Tikhonov正則化參數(shù)的選取原理相同，過(guò)小的正則化參數(shù)達(dá)不到穩(wěn)定解的作用，而過(guò)大的參數(shù)造成過(guò)度平滑。L曲線法是確定正則化參數(shù)的有效方法，它能合理地平衡病態(tài)模型的擬合部分和平滑部分[14-16]。對(duì)于正則化解：
(15)
(16)
(17)
2 修正的截?cái)嗥娈愔捣纸?/h2>
由1.2節(jié)易知，截?cái)嗥娈愔捣椒p弱病態(tài)性的方法與Tikhonov正則化方法類似，都是通過(guò)附加參數(shù)的范數(shù)最小條件，取觀測(cè)殘差的范數(shù)達(dá)到最小，從而求得最小范數(shù)最小二乘解。Tikhonov正則化解式(15)，實(shí)際上是條件極值問(wèn)題的解[14]。
(18)
式中:ε是一個(gè)很小的正數(shù)。根據(jù)約束極值問(wèn)題的Kuhn-Tucker條件，式(18)等價(jià)于求下列函數(shù)的極小值：
(19)
式中:α是Lagrange乘子(即正則化參數(shù))，應(yīng)滿足非負(fù)條件。正則化矩陣L可以取不同的形式。當(dāng)L=I(表示單位矩陣)時(shí)，表示附加參數(shù)的范數(shù)最小條件。當(dāng)已知參數(shù)間的某些特點(diǎn)時(shí)，常用一階或二階差分算子作為正則化矩陣，能得到比單位矩陣作為正則化矩陣更好的估計(jì)結(jié)果[11]。在重力場(chǎng)確定中，一般用Kaula準(zhǔn)則作為正則化矩陣，它是以階方差模型或先驗(yàn)重力場(chǎng)模型確定的信號(hào)方差作為對(duì)角元素。類似地，將式(8)的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行如下修正，從而建立起改進(jìn)的奇異值算法的目標(biāo)函數(shù)為：
(20)
(21)
與1.2節(jié)相同，首先求得式(21)的通解為式(9)，將其代入式(20)有：
(22)
可以證明，當(dāng)N(Ak)∩N(L)=0，即Ak和L的零空間線性無(wú)關(guān)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)式(22)極小條件下的t值為[13]：
t=-(LP)+Lg.
(23)
將式(23)代入式(9)，可以得到x的極小值為：
(24)
(25)
(26)
MTSVD解的偏差為：
(27)
3 算例分析與比較
第一類Fredholm積分方程是典型的病態(tài)問(wèn)題。在大地測(cè)量中，由衛(wèi)星重力數(shù)據(jù)恢復(fù)局部重力場(chǎng)實(shí)質(zhì)上就是對(duì)Fredholm積分方程的解算。該方程的一般形式為：
(28)
其中，z(y)表示含有誤差的觀測(cè)值;K(x,y)是已知的核函數(shù);f(x)是待定的函數(shù)，由觀測(cè)值和核函數(shù)通過(guò)積分方程來(lái)估計(jì)。本文算例采用文獻(xiàn)[5]提供的核函數(shù)和精確已知的函數(shù)f(x)來(lái)構(gòu)造病態(tài)模型。其中，
(29)
K(xi+1,yj)f(xi+1))Δx.
(30)
式中:j=1,2,…,401。式(30)可以進(jìn)一步化為：
(31)
首先繪制f(x)的真實(shí)曲線f(x)-real，見(jiàn)圖1。可以看到該曲線呈二次拋物線形狀，可以采用二階離散差分算子來(lái)表達(dá)其先驗(yàn)信息，它的具體形式為：
(32)
圖1 一次實(shí)驗(yàn)中3種方法的計(jì)算結(jié)果比較
在大地測(cè)量實(shí)際應(yīng)用中，常能預(yù)先知道參數(shù)間的某些先驗(yàn)信息，比如重力場(chǎng)中采用Kaula準(zhǔn)則等，可以根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況選擇合適的正則化矩陣。分別采用Tikhonov正則化方法(取正則化矩陣為單位矩陣)，截?cái)嗥娈愔捣纸夥椒ê透倪M(jìn)的截?cái)嗥娈愔捣纸夥椒ㄟM(jìn)行計(jì)算。選取其中一次計(jì)算的結(jié)果展示于圖1?？梢钥闯?，在一次實(shí)驗(yàn)中，3種方法都能減弱病態(tài)性的影響，得到與真值相近的估計(jì)。Tikhonov正則化方法和TSVD方法都是以參數(shù)的二次范數(shù)最小為平差準(zhǔn)則，未顧及參數(shù)間的先驗(yàn)信息，而MTSVD算法由于顧及參數(shù)間的先驗(yàn)信息，其結(jié)果與真值更為吻合。
表1 不同方法估值的均方根誤差比較
圖2 重復(fù)實(shí)驗(yàn)的誤差估計(jì)情況
4 結(jié) 論
測(cè)量平差模型的病態(tài)性主要是由于觀測(cè)方程系數(shù)矩陣中含有較小的奇異值，這部分較小的奇異值嚴(yán)重放大是觀測(cè)誤差的影響造成的，常用的截?cái)嗥娈愔捣纸夥椒ㄊ峭ㄟ^(guò)刪除小奇異值對(duì)應(yīng)的解分量，從而提高解的精度和可靠性。為了充分利用參數(shù)中可能存在的可靠先驗(yàn)信息，進(jìn)一步提高解的精度，本文提出改進(jìn)的截?cái)嗥娈愔捣纸夥椒?，主要解決以下問(wèn)題：
1)將系數(shù)矩陣進(jìn)行奇異值分解，刪除小奇異值及對(duì)應(yīng)的奇異向量，得到與系數(shù)矩陣近似的秩虧矩陣，證明該秩虧平差模型的最小范數(shù)最小二乘解就是常用的截?cái)嗥娈愔到猓?/p>
2)借鑒Tikhonov正則化算法的思想，對(duì)于能預(yù)先已知參數(shù)間先驗(yàn)信息的病態(tài)問(wèn)題，附加合適的正則化矩陣比單位正則化矩陣能獲得更優(yōu)的解。本文將常規(guī)截?cái)嗥娈愔祮?wèn)題中的最小范數(shù)條件擴(kuò)展為參數(shù)間線性函數(shù)的最小范數(shù)條件，提出改進(jìn)的截?cái)嗥娈愔邓惴ǖ臏?zhǔn)則，并得到MP廣義逆形式的解；
3)通過(guò)對(duì)典型病態(tài)問(wèn)題的解算，比較Tikhonov正則化方法、TSVD方法和本文提出的MTSVD算法的性能，從均方根誤差的角度，證明新方法優(yōu)于前兩種方法，能有效改善常規(guī)TSVD解的精度和可靠性。
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1 截?cái)嗥娈愔捣纸饧捌涞葍r(jià)形式
1.1 最小二乘解的奇異值分解表達(dá)式
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y=Ax+e,
(1)
(2)
A=UΛVT.
(3)
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(4)
將奇異值分解表達(dá)式(3)代入最小二乘估計(jì)式(4)，可以得到最小二乘解的奇異值表達(dá)式及相應(yīng)的方差矩陣為[4]：
(5)
(6)
1.2 病態(tài)問(wèn)題的截?cái)嗥娈愔捣椒?/h3>
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(7)
s.t.φ(x)=(Akx-y)T(Akx-y)=min.
(8)
由于rank(Ak)=k (9) (10) 具體證明見(jiàn)文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[13]。另外，由奇異值分解定理有[12]： (11) 將式(11)代入式(10)，可以得到最小范數(shù)最小二乘解的奇異值分解形式為： (12) 從式(12)可以看出，將系數(shù)陣A中的小奇異值刪除構(gòu)造近似矩陣Ak，將Ak代替式(1)中的設(shè)計(jì)矩陣，得到的最小范數(shù)最小二乘解與式(5)比較， 相當(dāng)于截去對(duì)應(yīng)于最小二乘解特征值較小部分的解分量，從而達(dá)到穩(wěn)定解的目的。與正則化估計(jì)和嶺估計(jì)類似，截?cái)嗥娈愔到獗茸钚《私饩哂懈〉木秸`差[4]，因此成為解病態(tài)問(wèn)題的一種重要方法。令V2=[vk+1vk+2…vn]，U2=[uk+1uk+2…un]，Λ2=diag[λk+1λk+2…λn]，對(duì)式(12)求期望，有： (13) 可見(jiàn)，TSVD解不再是無(wú)偏估計(jì)量，其偏差為： (14) 為了獲得穩(wěn)定且質(zhì)量可靠的參數(shù)估值，關(guān)鍵在于確定合適的截?cái)鄥?shù)。若k值過(guò)大，則部分小奇異值未刪除，解不穩(wěn)定。反之，則丟棄有用的觀測(cè)信息從而損失解的精度。這與Tikhonov正則化參數(shù)的選取原理相同，過(guò)小的正則化參數(shù)達(dá)不到穩(wěn)定解的作用，而過(guò)大的參數(shù)造成過(guò)度平滑。L曲線法是確定正則化參數(shù)的有效方法，它能合理地平衡病態(tài)模型的擬合部分和平滑部分[14-16]。對(duì)于正則化解： (15) (16) (17) 由1.2節(jié)易知，截?cái)嗥娈愔捣椒p弱病態(tài)性的方法與Tikhonov正則化方法類似，都是通過(guò)附加參數(shù)的范數(shù)最小條件，取觀測(cè)殘差的范數(shù)達(dá)到最小，從而求得最小范數(shù)最小二乘解。Tikhonov正則化解式(15)，實(shí)際上是條件極值問(wèn)題的解[14]。 (18) 式中:ε是一個(gè)很小的正數(shù)。根據(jù)約束極值問(wèn)題的Kuhn-Tucker條件，式(18)等價(jià)于求下列函數(shù)的極小值： (19) 式中:α是Lagrange乘子(即正則化參數(shù))，應(yīng)滿足非負(fù)條件。正則化矩陣L可以取不同的形式。當(dāng)L=I(表示單位矩陣)時(shí)，表示附加參數(shù)的范數(shù)最小條件。當(dāng)已知參數(shù)間的某些特點(diǎn)時(shí)，常用一階或二階差分算子作為正則化矩陣，能得到比單位矩陣作為正則化矩陣更好的估計(jì)結(jié)果[11]。在重力場(chǎng)確定中，一般用Kaula準(zhǔn)則作為正則化矩陣，它是以階方差模型或先驗(yàn)重力場(chǎng)模型確定的信號(hào)方差作為對(duì)角元素。類似地，將式(8)的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行如下修正，從而建立起改進(jìn)的奇異值算法的目標(biāo)函數(shù)為： (20) (21) 與1.2節(jié)相同，首先求得式(21)的通解為式(9)，將其代入式(20)有： (22) 可以證明，當(dāng)N(Ak)∩N(L)=0，即Ak和L的零空間線性無(wú)關(guān)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)式(22)極小條件下的t值為[13]： t=-(LP)+Lg. (23) 將式(23)代入式(9)，可以得到x的極小值為： (24) (25) (26) MTSVD解的偏差為： (27) 第一類Fredholm積分方程是典型的病態(tài)問(wèn)題。在大地測(cè)量中，由衛(wèi)星重力數(shù)據(jù)恢復(fù)局部重力場(chǎng)實(shí)質(zhì)上就是對(duì)Fredholm積分方程的解算。該方程的一般形式為： (28) 其中，z(y)表示含有誤差的觀測(cè)值;K(x,y)是已知的核函數(shù);f(x)是待定的函數(shù)，由觀測(cè)值和核函數(shù)通過(guò)積分方程來(lái)估計(jì)。本文算例采用文獻(xiàn)[5]提供的核函數(shù)和精確已知的函數(shù)f(x)來(lái)構(gòu)造病態(tài)模型。其中， (29) K(xi+1,yj)f(xi+1))Δx. (30) 式中:j=1,2,…,401。式(30)可以進(jìn)一步化為： (31) 首先繪制f(x)的真實(shí)曲線f(x)-real，見(jiàn)圖1。可以看到該曲線呈二次拋物線形狀，可以采用二階離散差分算子來(lái)表達(dá)其先驗(yàn)信息，它的具體形式為： (32) 圖1 一次實(shí)驗(yàn)中3種方法的計(jì)算結(jié)果比較 在大地測(cè)量實(shí)際應(yīng)用中，常能預(yù)先知道參數(shù)間的某些先驗(yàn)信息，比如重力場(chǎng)中采用Kaula準(zhǔn)則等，可以根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況選擇合適的正則化矩陣。分別采用Tikhonov正則化方法(取正則化矩陣為單位矩陣)，截?cái)嗥娈愔捣纸夥椒ê透倪M(jìn)的截?cái)嗥娈愔捣纸夥椒ㄟM(jìn)行計(jì)算。選取其中一次計(jì)算的結(jié)果展示于圖1?？梢钥闯?，在一次實(shí)驗(yàn)中，3種方法都能減弱病態(tài)性的影響，得到與真值相近的估計(jì)。Tikhonov正則化方法和TSVD方法都是以參數(shù)的二次范數(shù)最小為平差準(zhǔn)則，未顧及參數(shù)間的先驗(yàn)信息，而MTSVD算法由于顧及參數(shù)間的先驗(yàn)信息，其結(jié)果與真值更為吻合。 表1 不同方法估值的均方根誤差比較 圖2 重復(fù)實(shí)驗(yàn)的誤差估計(jì)情況 測(cè)量平差模型的病態(tài)性主要是由于觀測(cè)方程系數(shù)矩陣中含有較小的奇異值，這部分較小的奇異值嚴(yán)重放大是觀測(cè)誤差的影響造成的，常用的截?cái)嗥娈愔捣纸夥椒ㄊ峭ㄟ^(guò)刪除小奇異值對(duì)應(yīng)的解分量，從而提高解的精度和可靠性。為了充分利用參數(shù)中可能存在的可靠先驗(yàn)信息，進(jìn)一步提高解的精度，本文提出改進(jìn)的截?cái)嗥娈愔捣纸夥椒?，主要解決以下問(wèn)題： 1)將系數(shù)矩陣進(jìn)行奇異值分解，刪除小奇異值及對(duì)應(yīng)的奇異向量，得到與系數(shù)矩陣近似的秩虧矩陣，證明該秩虧平差模型的最小范數(shù)最小二乘解就是常用的截?cái)嗥娈愔到猓?/p> 2)借鑒Tikhonov正則化算法的思想，對(duì)于能預(yù)先已知參數(shù)間先驗(yàn)信息的病態(tài)問(wèn)題，附加合適的正則化矩陣比單位正則化矩陣能獲得更優(yōu)的解。本文將常規(guī)截?cái)嗥娈愔祮?wèn)題中的最小范數(shù)條件擴(kuò)展為參數(shù)間線性函數(shù)的最小范數(shù)條件，提出改進(jìn)的截?cái)嗥娈愔邓惴ǖ臏?zhǔn)則，并得到MP廣義逆形式的解； 3)通過(guò)對(duì)典型病態(tài)問(wèn)題的解算，比較Tikhonov正則化方法、TSVD方法和本文提出的MTSVD算法的性能，從均方根誤差的角度，證明新方法優(yōu)于前兩種方法，能有效改善常規(guī)TSVD解的精度和可靠性。1.3 截?cái)鄥?shù)的確定
2 修正的截?cái)嗥娈愔捣纸?/h2>
3 算例分析與比較
4 結(jié) 論
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