錢向東， 李震東， 李 晨

(河海大學力學與材料學院，江蘇 南京 210098)

阻尼是描述結(jié)構(gòu)振動過程中能量耗散的動力特性，是影響結(jié)構(gòu)動力反應的重要因素之一，但由于其機理復雜，是人們了解得最少的結(jié)構(gòu)動力學要素之一，不能像結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度等其他動力特性那樣比較確切地表達。在工程結(jié)構(gòu)動力分析中常將阻尼抽象為某種方便的數(shù)學模型，根據(jù)與結(jié)構(gòu)反應物理量等效的原則確定其參數(shù)。

目前，在結(jié)構(gòu)動力分析中最常用的阻尼模型為黏滯阻尼模型，該模型假定阻尼的大小與瞬時變形速度成正比，而方向與速度相反。黏滯阻尼模型由Rayleigh[1]首先提出，Rayleigh還進一步理想化地假設(shè)阻尼矩陣是質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合，因此這種阻尼模型還被稱為“瑞利阻尼”“比例阻尼”或“經(jīng)典阻尼”?；陴枘崮Ｐ偷慕Y(jié)構(gòu)動力方程現(xiàn)已形成了一系列成熟的求解方法。在水工設(shè)計領(lǐng)域，混凝土重力壩的地震響應分析和抗震設(shè)計也是采用基于黏滯阻尼模型的動力學理論和方法。然而，從黏滯阻尼的機理分析,不難看出其振動一周的耗能與外干擾頻率成正比,這與許多試驗研究所觀察到的結(jié)果不符合[2]。因此，基于黏滯阻尼模型的結(jié)構(gòu)動力響應分析結(jié)果可能與結(jié)構(gòu)的實際動力響應產(chǎn)生偏差，從而影響結(jié)構(gòu)設(shè)計方案的安全性和合理性。

為了更好地描述結(jié)構(gòu)振動的阻尼特性，人們提出了多種阻尼理論。這些理論基本上可以分為兩類：一類是基于阻尼過程的物理機理,每一種理論對應著一種具體的阻尼現(xiàn)象；另一類注重數(shù)學處理上的方便,并不對應某一種具體的阻尼機理。結(jié)構(gòu)地震反應分析中的阻尼所包含的耗能因素很多,機理相當復雜,難以采用具體的阻尼現(xiàn)象所對應的阻尼理論進行準確的解釋和模擬。因此，在選取阻尼模型時依然傾向于數(shù)學處理上的方便，其中卷積型非黏滯阻尼模型因其在數(shù)學表達上相對簡單，受到了研究者的關(guān)注[3-6]。該阻尼模型的阻尼力與速度的時間歷程相關(guān)，在數(shù)學上表示為某一核函數(shù)與速度的卷積，可以更廣泛地描述不同機制的阻尼作用，特別是阻尼作用的時滯效應。在卷積型非黏滯阻尼模型中，通過選擇不同的核函數(shù)表達不同的阻尼模型，當核函數(shù)為狄拉克-δ函數(shù)時，該模型退化為黏滯阻尼模型。

混凝土材料具有黏彈性性質(zhì)，彈性變形中的能量損耗與時間歷史相關(guān)。本文嘗試采用卷積型非黏滯阻尼模型分析混凝土重力壩的地震響應。選擇指數(shù)函數(shù)為非黏滯阻尼的核函數(shù)，導出了非黏滯阻尼振動方程的狀態(tài)空間表達式，以時域精細積分法求解地震作用下某重力壩響應時程，分析比較指數(shù)阻尼模型的松弛參數(shù)對壩體響應的影響。

1 非黏滯阻尼模型與振動方程

1.1 阻尼模型

在卷積型非黏滯阻尼模型中，指數(shù)阻尼模型是特別有前途的一種模型[6]，尤其在黏彈性材料領(lǐng)域，該阻尼模型是建立在良好的物理基礎(chǔ)之上的[7]。對于單自由度體系，阻尼力可以用卷積積分表示為

(1)

顯然，當μ→∞時，核函數(shù)g(t)=μe-μt→δ(t)。此時，指數(shù)阻尼模型退化為黏滯阻尼模型：

(2)

關(guān)于混凝土材料松弛參數(shù)μ的取值，目前還很少有相關(guān)的試驗資料，根據(jù)少量的針對鋼筋混凝土梁的試驗和阻尼參數(shù)設(shè)計的研究成果[9-11]，μ的取值在130 s-1左右。

1.2 振動方程

重力壩地震響應分析一般采用有限單元法將問題簡化為多自由度振動問題。對于多自由度體系，指數(shù)阻尼情況下的阻尼力向量可以表示為

(3)

如果取n=1，則具有N個自由度體系的振動方程為

(4)

只考慮地震作用時

(5)

當采用無質(zhì)量地基模型時，質(zhì)量矩陣M具有零主元素，其逆矩陣不存在。設(shè)M的非零主元素個數(shù)為m，則引入m個線性無關(guān)向量rj∈RN(j=1,2,…,m)，組成N×m階矩陣：

r=(r1,r2,…,rm)

(6)

(7)

對式(7)兩邊同時前乘rT，則有

(8)

2 振動方程的精細積分算法

非黏滯阻尼多自由度體系振動方程(4)或(8)是一組耦合的二階微分積分方程，常規(guī)的振型疊加法和數(shù)值積分法難以直接應用。通常采用引入輔助變量或狀態(tài)變量，在狀態(tài)空間中采用直接積分法和振型疊加法進行求解[12-13]，前者得到的計算結(jié)果精度高，但計算量巨大，而后者雖計算速度較快，但精度較低。也有研究者對傳統(tǒng)的數(shù)值積分法進行改進并應用于非黏滯阻尼振動方程的求解[14-17]。文獻[18]引入狀態(tài)空間并采用時域精細積分法求解了文獻[13]的算例，計算效率明顯提高。本文利用指數(shù)型非黏滯阻尼的特點，采用狀態(tài)空間時域精細積分法求解振動方程(8)。

(9)

則方程(8)可以寫為

(10)

對式(9)兩邊求導，可得

(11)

(12)

(13)

式中：I——m×m階單位矩陣。

(14)

對時間按等間距Δt進行離散后，則t0、t1=t0+Δt、t2=t1+Δt、…、tk+1=tk+Δt,…各時刻的數(shù)值解可以采用精細積分法計算得到，此處不再贅述，可參見文獻[19]。

3 算 例 分 析

以某重力壩的12號擋水壩段為例進行計算分析，重力壩體型和斷面如圖1所示。壩頂高程1 625.00 m，壩基面高程1 422.00 m，壩高203 m，壩頂寬16 m，正常蓄水位1 619 m。壩體采用平面應力單元，壩基采用平面應變單元。地基左右和底部邊界施加法向約束。有限元網(wǎng)格如圖2所示。

圖1 重力壩體型及斷面(單位：m)Fig.1 Body type and section of gravity dam (units: m)

圖2 有限元網(wǎng)格Fig.2 Finite element mesh

3.1 計算條件和參數(shù)

壩體混凝土靜態(tài)彈性模量為25 GPa,容重為24 kN/m3，泊松比為0.167；地基巖體靜態(tài)彈性模量為15 GPa，容重為27 kN/m3，泊松比為0.24。動彈性模量取靜彈性模量的1.5倍，振型阻尼比統(tǒng)一取為5%。動力計算時采用無質(zhì)量地基。計算時分別考慮空庫和滿庫2種情況，其中滿庫時動水壓力附加質(zhì)量采用Westergaard公式計算。

黏滯阻尼模型計算時采用Rayleigh阻尼，阻尼系數(shù)矩陣C=αM+βK，α、β由系統(tǒng)的振型阻尼比和前兩階自振頻率確定。非黏滯阻尼模型計算時，為了便于比較，采用與黏滯阻尼相同的阻尼系數(shù)矩陣C，而松弛參數(shù)μ的取值由于缺乏相關(guān)的試驗資料，作為對比研究，分別取μ=60 s-1、100 s-1、130 s-1和200 s-1進行計算。精細積分時采用的時間間隔Δt=0.01 s，指數(shù)矩陣高精度計算采用220類算法。

地震動輸入采用Koyna地震實測的加速度記錄，水平向峰值加速度為4.647 8 m/s2、豎向峰值加速度為3.056 4 m/s2，如圖 3所示。初始條件為t0=0，V(t0)=V0=0。

圖3 Koyna地震波Fig.3 Koyna seismic wave

3.2 計算結(jié)果

為了驗證有限元模型的正確性和合理性，首先分別計算了空庫和滿庫情況下大壩的前5階自振特性；然后采用狀態(tài)空間精細積分法，分別計算了空庫和滿庫情況下大壩在Koyna地震波作用下的位移、速度和加速度時程。

3.2.1 大壩自振特性

假定材料處于線彈性狀態(tài)，采用Ansys計算得到大壩的前5階自振頻率如表1所示。

3.2.2 空庫情況下壩體地震響應

實際計算時，先取μ=300 s-1進行試算，發(fā)現(xiàn)所得結(jié)果與黏滯阻尼的計算結(jié)果幾乎一樣。也驗證了當μ取值很大時指數(shù)非黏滯阻尼模型退化為黏滯阻尼模型。由圖4可以看出2組曲線基本重疊，說明就本算例而言μ=200 s-1時，指數(shù)非黏滯阻尼模型已接近黏滯阻尼模型。

圖4 空庫情況下壩頂水平向位移和加速度時程Fig.4 Time histories of displacement and acceleration at dam crest with empty reservoir

圖5給出了空庫情況下μ取不同值數(shù)值時壩頂水平向位移和加速度的時程曲線，表2為空庫各種阻尼情況下壩體水平向位移、速度和加速度的響應峰值。

圖5 空庫情況下松弛參數(shù)對壩體響應的影響Fig.5 Influence of relaxation parameter on dam responses with empty reservoir

表2 空庫情況下壩體響應峰值

3.2.3 滿庫情況下壩體地震響應

圖6給出了滿庫情況下μ取不同值數(shù)值時壩頂水平向位移和加速度的時程曲線，表3為滿庫各種阻尼情況下壩體水平向位移、速度和加速度的響應峰值。

圖6 滿庫情況下松弛參數(shù)對壩體響應的影響Fig.6 Influence of relaxation parameter on dam responses with full reservoir

3.3 結(jié)果分析與討論

由圖5和圖6可知，無論是空庫還是滿庫，非黏滯阻尼模型對加速度響應的影響明顯大于對位移響應的影響。從表2和表3也可以看出非黏滯阻尼模型對加速度峰值響應影響最大，其次是速度峰值響應，對位移峰值響應的影響最小。無論是空庫還是滿庫，非黏滯阻尼模型的峰值響應均大于黏滯阻尼模型的峰值響應。隨著μ的減小，非黏滯阻尼模型的峰值響應增大，說明黏滯阻尼模型的阻尼效應大于非黏滯阻尼模型。因此，采用黏滯阻尼模型分析工程結(jié)構(gòu)的動力響應時，可能會低估響應的峰值。

表4為μ取不同數(shù)值時非黏滯阻尼模型得到的壩體響應峰值相對于黏滯阻尼模型壩體響應峰值的增幅?？諑烨闆r下，當μ<100 s-1時，非黏滯阻尼模型的水平向加速度峰值增幅超過5%。而滿庫情況下，當μ<100 s-1時，非黏滯阻尼模型的水平向加速度峰值增幅超過10%。特別地，當μ<60 s-1時，水平向加速度峰值增幅超過20%。

表4 非黏滯阻尼模型相對于黏滯阻尼 模型壩體響應峰值的增幅

4 結(jié) 論

a.采用狀態(tài)空間時域精細積分法求解指數(shù)卷積型非黏滯阻尼結(jié)構(gòu)振動方程，可以避免各時刻的卷積積分及其誤差引起的數(shù)值不穩(wěn)定，也不需要額外的矩陣求逆運算，可應用于大型系統(tǒng)的非黏滯阻尼振動方程的求解。

b.本文算例表明，地震作用下非黏滯阻尼模型的峰值響應均大于黏滯阻尼模型的峰值響應。隨著μ取值的減小，即與黏滯阻尼模型的差別增大，非黏滯阻尼模型的峰值響應就越大，說明黏滯阻尼模型的阻尼效應大于非黏滯阻尼模型。因此，采用黏滯阻尼模型分析工程結(jié)構(gòu)的動力響應時，可能會低估響應的峰值。

c.本文算例表明，地震作用下非黏滯阻尼模型對結(jié)構(gòu)位移、速度和加速度響應的影響程度不盡相同，影響最大的是加速度響應，位移響應影響相對較小。

d.由于缺乏試驗資料，本文對混凝土松弛參數(shù)的取值可能不一定符合實際情況，因此本文的研究只是對非黏滯阻尼模型在混凝土大壩地震響應分析中的應用做一個嘗試，后續(xù)的研究應開展混凝土材料非黏滯阻尼特性的試驗和參數(shù)識別，正確認識和建立合理的混凝土材料阻尼模型，以便更加科學有效地開展混凝土結(jié)構(gòu)的地震響應分析和抗震設(shè)計。